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湖南省长沙市长郡中学2015届高三上学期第四次月考数学试卷(理科)

湖南省长沙市长郡中学 2015 届高三上学期第四次月考数学试卷 (理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)若复数 A.﹣2 B. 2 是纯虚数(i 是虚数单位) ,则 a 的值为() C. 1 D.﹣1

2. (5 分)若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,且 S8﹣S3=10,则 S11 的值为() A.12 B.18 C.22 D.44 3. (5 分)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()

A.2π+2

B.4π+2

C.2π+

D.4π+

4. (5 分)设若 f(x)= A.﹣1 B. 2 C. 1

,f(f(1) )=1,则 a 的值是() D.﹣2

5. (5 分)已知 α,β 表示两个不同的平面,m 为平面 α 内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的 () A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件

6. (5 分)△ ABC 中,锐角 A 满足 sin A﹣cos A≤sinA﹣cosA,则() A.0<A≤ B.0<A≤ C. ≤A≤ D. ≤A≤

4

4

7. (5 分)斜率为

的直线 l 与椭圆

交与不同的两点,且这两个交点

在 x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为() A. B. C. D.

8. (5 分)已知等边△ ABC 中,点 P 在线段 AB 上,且 数 λ 的值为() A.2 B. C.

=

,若

?

?

,则实

D.

9. (5 分)已知方程 kx+3﹣2k= A. B.

有两个不同的解,则实数 k 的取值范围是() C. D.

10. (5 分)考察正方体 6 个面的中心,甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线,乙也从这 6 个点种任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于() A. B. C. D.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡中对应题号后的横 线上. 11. (5 分) 的展开式中的常数项为.

12. (5 分)已知等比数列{an}的公比为正数,且 a5?a7=4a4 ,a2=1,则 a1=. 13. (5 分)由 l,2,3,4,5,6,7 这七个数字构成的七位正整数中,有且仅有两个偶数相 邻的个数是. 14. (5 分)存在 x<0 使得不等式 x <2﹣|x﹣t|成立,则实数 t 的取值范围是. 15. (5 分) 已知圆 O: x +y =1 与 x 轴交于点 A 和 B, 在线段 AB 上取一点 D (x, 0) , 作 DC⊥AB 与圆 O 的一个交点为 C,若线段 AD、BD、CD 可作为一个锐角三角形的三边长,则 x 的取值 范围为 .
2 2 2

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知函数

(Ⅰ)求 (Ⅱ)当

的值; 时,求 的最大值和最小值.

17. (12 分) 如图, 在底面是矩形的四棱锥 P﹣ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, PA=AB=2,BC=l, E 是 PD 的中点. (1)求 AB 与平面 AEC 所成角的正弦值; (2)若点 F 在线段 PD 上,二面角 E﹣AC﹣F 所成的角为 θ,且 tan ,求 的值.

18. (12 分)已知定理:“若 a,b 为常数,g(x)满足 g(a+x)+g(a﹣x)=2b,则函数 y=g (x)的图象关于点(a,b)中心对称”.设函数 (1)试证明 y=f(x)的图象关于点(a,﹣1)成中心对称; (2)当 x∈时,求证: ; ,定义域为 A.

(3)对于给定的 x1∈A,设计构造过程:x2=f(x1) ,x3=f(x2) ,…,xn+1=f(xn) .如果 xi∈A (i=2,3,4…) ,构造过程将继续下去;如果 xi?A,构造过程将停止.若对任意 x1∈A,构造 过程都可以无限进行下去,求 a 的值. 19. (13 分)已知数列{an}中,a1=1,且当 x= 时,函数 f(x)= an?x +(2 ﹣an+1)?x 取得 极值. (1)若 bn=2 ?an,求数列{bn}的通项公式; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn; (3)试证明:n>3(n∈N )时,Sn>
* n﹣1 2
﹣n



20. (13 分)如图,已知两点 A(﹣ 上移动. (Ⅰ)求点 C 的轨迹方程;

,0) 、B(

,0) ,△ ABC 的内切圆的圆心在直线 x=2

(Ⅱ)过点 M(2,0)作两条射线,分别交(Ⅰ)中所求轨迹于 P、Q 两点,且 求证:直线 PQ 必过定点.

=0,

21. (13 分)已知函数 f(x)=a(x﹣ )﹣2lnx(a∈R) . (1)若 a=2,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)设函数 g(x)=﹣ .若至少存在一个 x0∈,使得 f(x0)>g(x0)成立,求实数 a 的取 值范围.

湖南省长沙市长郡中学 2015 届高三上学期第四次月考数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)若复数 A.﹣2 B. 2 是纯虚数(i 是虚数单位) ,则 a 的值为() C. 1 D.﹣1

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 由复数的运算,化简可得复数为 解答: 解:∵ = = ,由纯虚数的定义可得答案. ,

因为为纯虚数,故 2﹣a=0 且 a+2≠0,解得 a=2, 故选 B 点评: 本题考查纯虚数的概念,涉及复数代数形式的乘除运算,属基础题. 2. (5 分)若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,且 S8﹣S3=10,则 S11 的值为()

A.12

B.18

C.22

D.44

考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 设公差为 d,由 S8﹣S3=10 可得 a1+5d=2,代入 S11=11a1+ 运算求得结果. 解答: 解: 设公差为 d, 由 S8﹣S3=10 可得, 8a1+ ∴S11=11a1+ 故选 C. 点评: 本题主要考查等差数列的前 n 项和公式的应用,求出 a1+5d=2,是解题的关键,属于 中档题. 3. (5 分)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为() =11(a1+5d )=22, ﹣3a1﹣ =10, 故有 a1+5d=2, =11(a1+5d )

A.2π+2

B.4π+2

C.2π+

D.4π+

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 立体几何. 分析: 由三视图及题设条件知,此几何体为一个上部是四棱锥,下部是圆柱其高已知,底 面是半径为 1 的圆,故分别求出两个几何体的体积,再相加即得组合体的体积. 解答: 解:此几何体为一个上部是正四棱锥,下部是圆柱 2 由于圆柱的底面半径为 1,其高为 2,故其体积为 π×1 ×2=2π 棱锥底面是对角线为 2 的正方形,故其边长为 ,其底面积为 2,又母线长为 2, 故其高为

由此知其体积为 故组合体的体积为 2π+

=

故选 C 点评: 本题考点是由三视图求几何体的面积、体积,考查对三视图的理解与应用,主要考 查三视图与实物图之间的关系, 用三视图中的数据还原出实物图的数据, 再根据相关的公式求 表面积与体积,本题求的是组合体的体积,其方法是分部来求,再求总体积.三视图的投影规 则是:“主视、俯视 长对正;主视、左视高平齐,左视、俯视 宽相等”.三视图是 2015 届高 考的新增考点,不时出现在 2015 届高考试题中,应予以重视.

4. (5 分)设若 f(x)= A.﹣1 B. 2 C. 1

,f(f(1) )=1,则 a 的值是() D.﹣2

考点: 定积分;分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的值. 专题: 计算题. 分析: 求出 f(1)的值,然后利用 f(f(1) )=1,通过积分求解 a 的值. 解答: 解:f(1)=lg1=0,又 f(f(1) )=1,所以 0+
3

=1,

a =1,解得 a=1. 故选 C. 点评: 本题考查定积分,分段函数的解析式求法及其图象的作法,函数的值的求法,考查 计算能力. 5. (5 分)已知 α,β 表示两个不同的平面,m 为平面 α 内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的 () A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件;空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离;简易逻辑. 分析: 判充要条件就是看谁能推出谁.由 m⊥β,m 为平面 α 内的一条直线,可得 α⊥β; 反之,α⊥β 时,若 m 平行于 α 和 β 的交线,则 m∥β,所以不一定能得到 m⊥β. 解答: 解:由平面与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面 α 内的一条直线,且 m⊥β,则 α⊥β,反之,α⊥β 时,若 m 平行于 α 和 β 的交线,则 m∥β,所以不一定能得到 m⊥β, 所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件. 故选 B. 点评: 本题考查线面垂直、面面垂直问题以及充要条件问题,属基本题. 6. (5 分)△ ABC 中,锐角 A 满足 sin A﹣cos A≤sinA﹣cosA,则() A.0<A≤ B.0<A≤ C. ≤A≤ D. ≤A≤
4 4

考点: 三角函数的化简求值. 专题: 三角函数的求值. 2 2 分析: 原不等式转化为:sin A﹣cos A=(sinA﹣cosA) (sinA+cosA)≤sinA﹣cosA,依题意, 可求得 sinA+cosA∈(1, ],继而可得 sinA﹣cosA≤0,于是可得答案. 4 4 2 2 2 2 2 2 解答: 解:∵sin A﹣cos A=(sin A﹣cos A) (sin A+cos A)=sin A﹣cos A, 2 2 ∴原不等式转化为:sin A﹣cos A=(sinA﹣cosA) (sinA+cosA)≤sinA﹣cosA, ∴(sinA﹣cosA)≤0. 又 A∈(0, ∴sinA+cosA= ) ,A+ ∈( , ) , ],

sin(A+

)∈(1,

∴sinA+cosA﹣1≥0, ∴sinA﹣cosA≤0, ∴0<A≤ .

故选:B. 点评: 本题考查三角函数的化简求值, 考察因式分解与辅助角公式的应用, 求得 sinA+cosA∈ (1, ]是关键,考查运算求解能力,是中档题.

7. (5 分)斜率为

的直线 l 与椭圆

交与不同的两点,且这两个交点

在 x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为() A. B. C. D.

考点: 椭圆的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 计算题. 分析: 先根据题意表示出两个焦点的交点坐标, 代入椭圆方程, 两边乘 2a b , 求得关于 的 方程求得 e. 解答: 解:两个交点横坐标是﹣c,c 所以两个交点分别为(﹣c,﹣ c) (c, c)
2 2

代入椭圆
2 2

=1

两边乘 2a b 2 2 2 2 2 则 c (2b +a )=2a b 2 2 2 ∵b =a ﹣c 2 2 2 2 2 c (3a ﹣2c )=2a^4﹣2a c 2 2 2a^4﹣5a c +2c^4=0 2 2 2 2 (2a ﹣c ) (a ﹣2c )=0

=2,或 ∵0<e<1 所以 e= = 故选 A 点评: 本题主要考查了椭圆的简单性质.考查了椭圆方程中 a,b 和 c 的关系.

8. (5 分)已知等边△ ABC 中,点 P 在线段 AB 上,且 数 λ 的值为() A.2 B. C.

=

,若

?

?

,则实

D.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 将 之. 解答: 解:因为等边△ ABC 中,点 P 在线段 AB 上,且 由 得( 所以﹣ ? ? ) + , =﹣λ , =﹣λ× , = , ? ? 利用已知三角形的三边对于向量表示,然后得到关于 λ 的等式解

所以 λ>0,

,解得 λ=

,由点 P 在线段 AB 上,且

=

,得

所以 λ= ; 故选 C. 点评: 本题考查了向量的数量积运算,考查学生的运算能力. 9. (5 分)已知方程 kx+3﹣2k= A. B. 有两个不同的解,则实数 k 的取值范围是() C. D.

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;直线与圆.

分析: 如图,当直线在 AC 位置时,斜率 k= 2=

= ,当直线和半圆相切时,由半径

解得 k 值,即得实数 k 的取值范围.

解答: 解: 由题意得, 半圆 y= 过定点 C(2,3) ,如图: 当直线在 AC 位置时,斜率 k= 当直线和半圆相切时,由半径 2=

和直线 y=kx﹣2k+3 有两个交点, 又直线 y=kx﹣2k+3

= . ,

解得 k=

,故实数 k 的取值范围是(

, ],

故选:C.

点评: 本题考查方程有两个实数解的条件,直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式的 应用,求出直线在 AC 位置时的斜率 k 值及切线 CD 的斜率,是解题的关键. 10. (5 分)考察正方体 6 个面的中心,甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线,乙也从这 6 个点种任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于() A. B. C. D.

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 计算题;压轴题. 2 分析: 先用组合数公式求出甲乙从这 6 个点中任意选两个点连成直线的条数共有 C6 ,再用 分步计数原理求出甲乙从中任选一条共有 225 种, 利用正八面体找出相互平行但不重合共有共 12 对,代入古典概型的概率公式求解. 2 解答: 解:甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线,共有 C6 =15 条,乙也从这 6 个点中任 意选两个点连成直线, 2 共有 C6 =15 条,甲乙从中任选一条共有 15×15=225 种不同取法,

因正方体 6 个面的中心构成一个正八面体,有六对相互平行但不重合的直线,则甲乙两人所 得直线相互平行但不重合共有 12 对, 这是一个古典概型,所以所求概率为 = ,

故选 D. 点评: 本题的考点是古典概型,利用组合数公式和分步计数原理求出所有基本事件的总数, 再通过正方体 6 个面的中心构成一个正八面体求出相互平行但不重合的对数,代入公式求解. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡中对应题号后的横 线上. 11. (5 分) 的展开式中的常数项为 15.

考点: 二项式定理. 专题: 计算题. 分析: 先写出二项式的展开式的通项,整理出最简形式,根据要求展开式的常数项,只要 使得变量的指数等于 0,求出 r 的值,代入系数求出结果. 解答: 解:∵ 的展开式的通项是 =

要求展开式中的常数项只要使得 5﹣5r=0,即 r=1 1 ∴常数项是 C5 ×3=15, 故答案为:15 点评: 本题考查二项式定理,本题解题的关键是写出展开式的通项,这是解决二项式定理 有关题目的通法,本题是一个基础题.
2

12. (5 分)已知等比数列{an}的公比为正数,且 a5?a7=4a4 ,a2=1,则 a1=



考点: 等比数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 利用等比数列的推广的通项公式将 a4,a5,a7 利用 a2 及公比表示,列出关于公比 q 的方程,求出公比 q,再利用通项公式求出首项. 解答: 解:设公比为 q 3 2 5 ∵a5=a2q ,a4=a2q ,a7=a2q 2 又 a5?a7=4a4 ,a2=1 8 4 ∴q =4q ∵等比数列{an}的公比为正数 ∴q= ∴

故答案为:



点评: 解决等比数列、等差数列问题一般的思路是围绕通项及前 n 项和公式列出方程组, 求解.即基本量法. 13. (5 分)由 l,2,3,4,5,6,7 这七个数字构成的七位正整数中,有且仅有两个偶数相 邻的个数是 2880. 考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 排列组合. 分析: 选两个偶数,并把这两个偶数捆绑在一起看做一个复合元素,再将这个复合元素和 另外一个偶数插入到 1,3,5,7 进行全排列形成 5 个间隔中,根据分步计数原理可得答案 解答: 解:先选两个偶数,并把这两个偶数捆绑在一起看做一个复合元素,再将这个复合 元素和另外一个偶数插入到 1,3,5,7 进行全排列形成 5 个间隔中, 故有且仅有两个偶数相邻的个数有 =2880

故答案为:2880 点评: 本题主要考查了分步计数原理,以及相邻问题用捆绑,不相邻问题用插空,属于中 档题
2

14. (5 分)存在 x<0 使得不等式 x <2﹣|x﹣t|成立,则实数 t 的取值范围是(﹣ ,2) .

考点: 绝对值不等式. 专题: 计算题. 2 分析: 本题利用纯代数讨论是很繁琐的,要用数形结合.原不等式 x <2﹣|x﹣t|,即|x﹣t| 2 2 <2﹣x ,分别画出函数 y1=|x﹣t|,y2=2﹣x ,这个很明确,是一个开口向下,关于 y 轴对称, 2 最大值为 2 的抛物线;要存在 x<0 使不等式|x﹣t|<2﹣x 成立,则 y1 的图象应该在第二象限 (x<0)和 y2 的图象有交点,再分两种临界讲座情况,当 t≤0 时,y1 的右半部分和 y2 在第二 象限相切;当 t>0 时,要使 y1 和 y2 在第二象限有交点,最后综上得出实数 t 的取值范围. 2 2 解答: 解:不等式 x <2﹣|x﹣t|,即|x﹣t|<2﹣x , 令 y1=|x﹣t|,y1 的图象是关于 x=t 对称的一个 V 字形图形,其象位于第一、二象限; 2 y2=2﹣x ,是一个开口向下,关于 y 轴对称,最大值为 2 的抛物线; 2 要存在 x<0,使不等式|x﹣t|<2﹣x 成立,则 y1 的图象应该在第二象限和 y2 的图象有交点, 两种临界情况,①当 t≤0 时,y1 的右半部分和 y2 在第二象限相切: y1 的右半部分即 y1=x﹣t, 2 联列方程 y=x﹣t,y=2﹣x ,只有一个解; 即 x﹣t=2﹣x ,即 x +x﹣t﹣2=0,△ =1+4t+8=0,得:t=﹣ ; 此时 y1 恒大于等于 y2,所以 t=﹣ 取不到; 所以﹣ <t≤0; ②当 t>0 时,要使 y1 和 y2 在第二象限有交点, 即 y1 的左半部分和 y2 的交点的位于第二象限; 无需联列方程,只要 y1 与 y 轴的交点小于 2 即可;
2 2

y1=t﹣x 与 y 轴的交点为(0,t) ,所以 t<2, 又因为 t>0,所以 0<t<2; 综上,实数 t 的取值范围是:﹣ <t<2; 故答案为: (﹣ ,2) .

点评: 本小题主要考查函数图象的应用、二次函数、绝对值不等式等基础知识,考查运算 求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题. 15. (5 分) 已知圆 O: x +y =1 与 x 轴交于点 A 和 B, 在线段 AB 上取一点 D (x, 0) , 作 DC⊥AB 与圆 O 的一个交点为 C,若线段 AD、BD、CD 可作为一个锐角三角形的三边长,则 x 的取值 范围为 ; . 考点: 圆方程的综合应用. 专题: 计算题. 2 2 分析: 本题考查的是如何判断三角形的形状,由圆 O:x +y =1 与 x 轴交于点 A 和 B,在线 段 AB 上取一点 D(x,0) ,作 DC⊥AB 与圆 O 的一个交点为 C,我们可以将线段 AD、BD、 CD 都用变量 x 表示,再根据判断三角形形状的方法,构造不等式,解不等式即可得到 x 的取 值范围 解答: 解:由已知易得 A(﹣1,0) ,B(1,0) , 若在线段 AB 上取一点 D(x,0) ,作 DC⊥AB 与圆 O 的一个交点为 C 则﹣1<x<1, 则 AD=x+1,BD=x﹣1,CD= 当 x<0 时,BD 为最大边, 此时若线段 AD、BD、CD 可作为一个锐角三角形的三边长,
2 2

则 BD <AD +CD 2 2 2 即: (x﹣1) <(x+1) +(1﹣x ) 解得: 同理可求:当 x>0 时, 又∵x=0 时,AD=BD=CD=1,也满足要求 综上 x 的取值范围为 故答案为: 点评: 要判断三角形的形状,我们要先判断出三角形的最大边 C,如果 2 2 2 ①c <a +b ,则三角形为锐角三角形; 2 2 2 ②c =a +b ,则三角形为直角三角形; 2 2 2 ③c >a +b ,则三角形为钝角三角形; 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知函数

2

2

2

(Ⅰ)求 (Ⅱ)当

的值; 时,求 的最大值和最小值.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;复合三角函数的单调性. 专题: 计算题;三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)利用二倍角的三角函数公式和诱导公式,对 f(x)的分子分母进行化简整理, 约分可得 f(x)=2cos2x,由此即可算出 (2)由(1)的结论,得 结合正弦函数的图象与性质,即可得到 g(x)的最大值为 解答: 解: (Ⅰ)∵cos x= ∴
2

的值; ,再根据 x 的取值范围, ,最小值为 1. )=cos( )

,cos 2x=

2

,sin(

=

…(4 分)

因此, (Ⅱ)∵f(x)=2cos2x, ∴ ,可得

…(6 分)

…(8 分) …(10 分)

∴当 即

时,

,当 x=0 时.gmin(x)=1 的最大值为 ,最小值为 1.…(12 分)

点评: 本题给出三角函数表达式,要求我们将其化简成最简形式并求函数 g(x)的最大、 最小值. 着重考查了三角函数的诱导公式、 二倍角的三角函数公式和三角函数的图象与性质等 知识,属于中档题. 17. (12 分) 如图, 在底面是矩形的四棱锥 P﹣ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, PA=AB=2,BC=l, E 是 PD 的中点. (1)求 AB 与平面 AEC 所成角的正弦值; (2)若点 F 在线段 PD 上,二面角 E﹣AC﹣F 所成的角为 θ,且 tan ,求 的值.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;用空间向量求直线与平面的夹角. 专题: 空间向量及应用. 分析: (1)建立空间直角坐标系 O﹣xyz,平面 AEC 的一个法向量 =(x,y,z) ,利用向 量垂直的性质求出一个法向量,利用法向量与 AB 的夹角解答; (2)设 , ) , =(0, ) ,平面 AFC 的一个法向量为 =(a,b,c) ,

利用法向量与平面内向量的垂直关系,得到关于 λ 的等式解之. 解答: 解: (1)如图建立空间直角坐标系 O﹣xyz,如图

则 A(0,0,0) ,B(2,0,0) ,C(2,1,0) ,E(0, ,1) , =(2,1,0) ,

=(0, ,1) ,

=(2,0,0) ,

设 AB 与平面 AEC 所成的角为 α,平面 AEC 的一个法向量 =(x,y,z) , 则 ,所以 ,取 y=﹣2, =(1,﹣2,1) ,

sinα=|cos< (2)设

>|= ,则 F(0,

; ) , =(0, ) ,

令平面 AFC 的一个法向量为 =(a,b,c) , 则 ,即

,取 b=﹣2,得 =(1,﹣2,λ) , 由 tanθ=
2

得 cosθ=

=|cos<

>|=



所以 3λ ﹣10λ﹣5=0,所以 λ= 又 λ>0,所以 λ= ,即

, .

点评: 本题考查了空间向量的运用解答线面角和面面角的有关问题,关键是适当的建立坐 标系,正确写出所需向量的坐标,利用线面角、面面角的三角函数与平面的法向量夹角的关系 解答,属于中档题. 18. (12 分)已知定理:“若 a,b 为常数,g(x)满足 g(a+x)+g(a﹣x)=2b,则函数 y=g (x)的图象关于点(a,b)中心对称”.设函数 (1)试证明 y=f(x)的图象关于点(a,﹣1)成中心对称; (2)当 x∈时,求证: ; ,定义域为 A.

(3)对于给定的 x1∈A,设计构造过程:x2=f(x1) ,x3=f(x2) ,…,xn+1=f(xn) .如果 xi∈A (i=2,3,4…) ,构造过程将继续下去;如果 xi?A,构造过程将停止.若对任意 x1∈A,构造 过程都可以无限进行下去,求 a 的值. 考点: 函数的值域;函数单调性的判断与证明. 专题: 计算题. 分析: 本题的要求较高,需要理解新的定理,第(1)小问是对函数对称性的考查,第(2) 小问是对函数值域求法的考查,相对比较容易,对于第(3)问要求理解构造的一个新数列的

各项不会出现函数定义域 A 之外的元素,构造过程才可以继续,这就转化为恒成立的问题, 进而分类讨论求出 a. 解答: (1)∵ ∴ , .

由已知定理,得 y=f(x)的图象关于点(a,﹣1)成中心对称. (3 分) (2)先证明 f(x)在上是增函数,只要证明 f(x)在(﹣∞,a)上是增函数. 设﹣∞<x1<x2<a,则 , ∴f(x)在(﹣∞,a)上是增函数.再由 f(x)在上是增函数,得 当 x∈时,f(x)∈,即 (3)∵构造过程可以无限进行下去,∴ ∴方程
2

. (7 分) 对任意 x∈A 恒成立.

无解,即方程(a+1)x=a +a﹣1 无解或有唯一解 x=a.





由此得到 a=﹣1(13 分)

点评: 本例考查的数学知识点有,函数的对称性,函数的定义域和值域的求法;数学思想 有极限思想,方程思想;是一道函数综合题.
2
﹣n

19. (13 分)已知数列{an}中,a1=1,且当 x= 时,函数 f(x)= an?x +(2 ﹣an+1)?x 取得 极值. (1)若 bn=2 ?an,求数列{bn}的通项公式; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn; (3)试证明:n>3(n∈N )时,Sn>
* n﹣1



考点: 数列与不等式的综合. 专题: 计算题;证明题;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)求出导数,由极值的定义,得 f′( )=0,得 an+1= an+2 ,由 bn=2
﹣n

n﹣1

?an,则

bn+1﹣bn=1,由等差数列的通项公式即可得到; (2)运用错位相减法求数列的和,注意解题步骤,运用等比数列求和公式即可得到; n n (3)运用二项式定理,展开 2 =(1+1) ,即可得证. ﹣n 解答: (1)解:f′(x)=anx+2 ﹣an+1, 由题意得 f′( )=0,得 an+1= an+2 ,
﹣n

由 an+1= an+2 ,得 2 an+1﹣2
n﹣1

﹣n

n

n﹣1

?an=1,

由 bn=2 ?an,则 bn+1﹣bn=1, 则数列{bn}的通项公式 bn=b1+(n﹣1)×1=1+n﹣1=n; 1﹣n (2)解:由(1)得,an=n?2 , 1﹣1 1﹣2 1﹣3 1﹣(n﹣1) 1﹣n 则 Sn=1?2 +2×2 +3×2 +…+(n﹣1)×2 +n?2 , ﹣ ﹣ ﹣ 1 1 1 2 2 n 2Sn=1×2+2×2 +3×2 +…+n?2 , 1﹣1 1﹣2 1﹣3 1﹣(n﹣1) 1﹣n 两式相减得,Sn=1×2+1×2 +1×2 +1×2 +…+1×2 ﹣n?2 = ﹣n?2
1﹣n

=4﹣



(3)证明:由 Sn=4﹣

=4﹣

=4﹣

n>3 时,Sn>4﹣

=4﹣

=4﹣

=



点评: 本题考查导数的运用:求极值,考查数列的通项公式的求法,注意构造数列,运用 等差数列的通项公式和等比数列求和公式, 考查错位相减求和, 以及二项式定理用于证明不等 式的方法,属于中档题和易错题. 20. (13 分)如图,已知两点 A(﹣ 上移动. (Ⅰ)求点 C 的轨迹方程; ,0) 、B( ,0) ,△ ABC 的内切圆的圆心在直线 x=2

(Ⅱ)过点 M(2,0)作两条射线,分别交(Ⅰ)中所求轨迹于 P、Q 两点,且 求证:直线 PQ 必过定点.

=0,

考点: 圆锥曲线的轨迹问题;直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ)由题意,根据平面几何知识可知 C 的轨迹是以 A、B 为焦点,实轴长为 4 的 双曲线的右支(不含右顶点) , 2 2 2 2 由|CA|﹣|CB|=|AD|﹣|BD|求出实半轴,结合 b =c ﹣a 求出 b ,则 C 点的轨迹可求; (Ⅱ)设出直线 PQ 与 x 轴的交点,由此写出直线 PQ 所在直线方程,和双曲线方程联立后化 为关于 y 的一元二次方程, 利用根与系数关系得到 P, Q 两点的纵坐标的和与积, 结合 列式求出 PQ 与 x 轴交点的横坐标为定值. =0

解答: 解: (Ⅰ)设△ ABC 内切圆切 AB 边于点 D, 则 . ∴点 C 的轨迹是以 A、B 为焦点,实轴长为 4 的双曲线的右支(不含右顶点) , 由 a=2,c= ,得 ; , .

所以点 C 的方程为 (Ⅱ)设 PQ:x=my+a(a>2) ,代入 得(m ﹣4)y +2amy+a ﹣4=0 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) , 则
2 2 2



∵ = .


2



化简,得 3a ﹣16a+20=0,解得 a=2(舍去)或 故直线 PQ 必过定点 .



点评: 本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用,直线与曲线联立,利用方程的 根与系数的关系是处理这类问题的最为常用的方法, 但圆锥曲线的特点是计算量比较大, 要求 考生具备较强的运算推理的能力,是难题. 21. (13 分)已知函数 f(x)=a(x﹣ )﹣2lnx(a∈R) . (1)若 a=2,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)设函数 g(x)=﹣ .若至少存在一个 x0∈,使得 f(x0)>g(x0)成立,求实数 a 的取 值范围. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;函数的最值及其几何意义;利用导数研究函数 的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)当 a=2 时求出 f(1) ,切线斜率 k=f′(1) ,利用点斜式即可求得切线方程; (2)求出函数定义域,分①当 a≤0,②当 a>0 两种情况讨论解不等式 f'(x)>0,f'(x) <0 即可;

(3) 存在一个 x0∈使得 f (x0) >g (x0) , 则 ax0>2lnx0, 等价于 等价于“当 x∈时,a>F(x)min”.利用导数易求其最小值. 解答: 解:函数的定义域为(0,+∞) ,

, 令





(1)当 a=2 时,函数

,f′(x)=



因为 f(1)=0,f'(1)=2. 所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 y﹣0=2(x﹣1) ,即 2x﹣y﹣2=0. (2)函数 f(x)的定义域为(0,+∞) . 2 ①当 a≤0 时,h(x)=ax ﹣2x+a<0 在(0,+∞)上恒成立, 则 f'(x)<0 在(0,+∞)上恒成立, 此时 f(x)在(0,+∞)上单调递减. ②当 a>0 时,△ =4﹣4a , (ⅰ)若 0<a<1, 由 f'(x)>0,即 h(x)>0,得 或 ;
2

由 f'(x)<0,即 h(x)<0,得



所以函数 f(x)的单调递增区间为





单调递减区间为



(ⅱ)若 a≥1,h(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立,则 f'(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立,此时 f(x)在(0,+∞)上单调递增. (3) )因为存在一个 x0∈使得 f(x0)>g(x0) , 则 ax0>2lnx0,等价于 .



,等价于“当 x∈时,a>F(x)min”. .

对 F(x)求导,得

因为当 x∈时,F'(x)≥0,所以 F(x)在上单调递增. 所以 F(x)min=F(1)=0,因此 a>0.

点评: 本题考查导数的几何意义、导数研究函数单调性及求函数的最值问题,考查学生分 析问题解决问题的能力,对于“能成立”问题及“恒成立”问题往往转化为函数最值解决.


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