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2016年5月北京市昌平区高三二模数学理科试卷及答案


昌平区 2016 年高三年级第二次统一练习 数学试卷(理科)
(满分 150 分,考试时间 120 分钟)2016.5

考生须知:
1. 2. 3. 本试卷共 6 页,分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填 写。 答题卡上第 I 卷(选择题)必须用 2B 铅笔作答,第 II 卷(非选择题)必须用黑色字迹 的签字笔作答, 作图时可以使用 2B 铅笔。 请按照题号顺序在各题目的答题区内作答, 未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。 修改时,选择题部分用塑料橡皮擦涂干净,不得使用涂改液。保持答题卡整洁,不 要折叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任何标记。 考试结束后,考生务必将答题卡交监考老师收回,试卷自己妥善保存。

4. 5.

第Ⅰ卷(选择题
一、

共 40 分)

选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选

出符合题目要求的一项.)

i ? 1? i 1 i 1 i A . ? B. ? ? 2 2 2 2 1 i 1 i C. ? ? D . ? 2 2 2 2
(1)复数 (2) 已知双曲线 C : mx2 ? ny 2 ? 1 的一个焦点为 F (?5,0) ,实轴长为 6,则双曲线 C 的渐 近线方程为

4 3 5 3 A. y ? ? x B. y ? ? x C. y ? ? x D. y ? ? x 3 4 3 5

? x ? 2, ? (3) 若 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z ? 2 x ? y 的最小值为 ? x ? y ? 2 ? 0, ?
A. 4 B.

1 C. 0 D. ?

1 2

(4)设 ? , ? 是两个不同的平面, b 是直线且 b ? ? . “ b ? ? ”是“ ? ? ? ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(5) 如图, 过点 A 和圆心 O 的直线交 ?

O 于 B, C 两点( AB ? AC ),AD 与 ? O 切于点 D ,
D

DE ? AC 于 E. AD ? 3 5, AB ? 3 ,则 BE 的长度为
A. 1 C. 2 B.

2

A

B

E

O

C

D. 5

(6)执行如图所示的程序框图, 如果输出的 S 值为 3,则判断框 内应填入的判断条件为 A. i ? 2 B. i ? 3 C. i ? 4 D. i ? 5 否 开始

S ? 0, i ? 1



S ? log2 (S ? 2)

S ? S ? 2i
输出 S

i ? i ?1
结束

(7)已知函数 f (x)是定义在 [?3,0) ? (0,3] 上的奇函数,当 x ? (0,3] 时,f (x)的图象如图所示,

x 那么满足不等式 f ( x) ? 2 ? 1 的 x 的取值范围是

A. [?3, ?2] ? [2,3] B. [?3, ?2] ? (0,1] C. [?2,0) ? [1,3] D. [?1,0) ? (0,1]

(8)将一圆的八个等分点分成相间的两组,连接每组的四个点得到两个正方形.去掉两个正方 形内部的八条线段后可以形成一正八角星,如图所示.设正八角星的中心为 O ,并且

uur u r uu u r u r u r u r OA ? e1 , OB ? e2 . 若将点 O 到正八角星 16 个顶点的向量,都写成为 ? e1 ? ? e2 , ? , ? ? R 的形
式,则 ? ? ? 的最大值为 A. 2 B. 2 C. 1 ? 2 D. 2 2
B e2 e1 O A

第Ⅱ卷(非选择题 二、

共 110 分)

填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)
?

(9)已知 S n 是等比数列 {a n } ( n ? N )的前 n 项和,若 S3 ? 14 ,公比 q ? 2 ,则数列 {a n } 的 通项公式 an ? . (10)在极坐标系中,O 为极点,点 A 为直线 l : ? sin ? ? ? cos ? ? 2 上一点,则 | OA | 的最小 值为________. (11)如图,点 D 是 ?ABC 的边 BC 上一点,

A

AB ? 7, AD ? 2, BD ? 1, ?ACB ? 45?. 那么

?ADB ? ___________; AC ? ____________.

B

D
1

C

(12) 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱 锥中最长棱的棱长为_________.
1 正(主)视图 1 1

1 侧(左)视图

俯视图

(13)2016 年 3 月 12 日,第四届北京农业嘉年华在昌平拉开帷幕.活动设置了“三馆两园一带 一谷”七大板块.“三馆”即精品农业馆、创意农业馆、智慧农业馆;“两园”即主题狂欢乐园、农事 体验乐园;“一带”即草莓休闲体验带;“一谷”即延寿生态观光谷.某校学生准备去参观,由于时 间有限,他们准备选择其中的“一馆一园一带一谷”进行参观,那么他们参观的不同路线最多

有______种. (用数字作答)

?an ? 1, an ? 1, ? (14)已知数列 {an } 中, a1 ? a(0 ? a ? 1), an ?1 ? ? (n ? N* ). 3 ? a ? ,( a ? 1), n n ? 2 ?

1 ①若 a3 ? , 则 a ? _________; 6
②记 Sn ? a1 ? a2 ? ... ? an , 则 S2016 ? ____________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) (15) (本小题满分 13 分) 已知函数

? f ( x) ? Asin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? ) 2
的部分图象如图所示. (Ⅰ)写出函数 f ( x ) 的解析式及 x 0 的值; (Ⅱ) 求函数 f ( x ) 在区间 [? , 大值与最小值.

π 4

π ] 上的最 4

(16) (本小题满分 13 分) 为了解高一新生数学基础,甲、乙两校对高一新生进行了数学测试.现从两校各随机 抽取 10 名新生的成绩作为样本,他们的测试成绩的茎叶图如下:

甲校乙校 5 1 9 1 1 2 4 3 3 8 4 7 7 4 3 2 7 7 8 8 6 5 7 8

(I) (II)

比较甲、乙两校新生的数学测试样本成绩的平均值及方差的大小; (只需要写出 结论) 如果将数学基础采用 A、B、C 等级制,各等级对应的测试成绩标准如下表: (满 分 100 分,所有学生成绩均在 60 分以上)

测试成绩 基础等级

[85,100]
A

[70,85)
B

(60, 70)
C

假 设 每 个 新 生 的 测试成 绩 互 相 独 立 . 根 据 所给数 据 ,以 事 件 发生的频率作为相应 事件发生的概率. 从甲、 乙两校新生中各随机抽取一名新生, 求甲校新 生 的 数 学 基础等级高于乙校新 生 的 数 学 基础等级的概率.

(17) (本小题满分 14 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, BC 垂直 于正方形 A1 ACC1 所在平面, AC ? 2, BC ? 1 ,

B1

E

B

D 为 AC 中点,E 为线段 BC1 上的一点 (端点除
外) , 平面 AB1E 与 BD 交于点 F .
(I)若 E 不是 BC1 的中点,求证: AB1 // EF ;

C1 F D A1 A

C

(II)若 E 是 BC1 的中点,求 AE 与平面 BC1D 所成角的正弦值; (III)在线段 BC1 上是否存在点 E ,使得 A1 E ? CE, 若存在,求出 在,请说明理由.

BE 的值,若不存 EC1

(18) (本小题满分 13 分) 已 知 函 数 f ( x) ? e
ax

, g ( x) ? ? x ? bx ? c(a, b, c ? R) , 且 曲 线 y ? f ( x) 与 曲 线
2

y ? g ( x) 在它们的交点 (0, c) 处具有公共切线. 设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) .
(I)求 c 的值,及 a , b 的关系式; (II)求函数 h( x) 的单调区间; (III)设 a ? 0 ,若对于任意 x1 , x2 ? [0,1] ,都有 h( x1 ) ? h( x2 ) ? e ? 1 ,求 a 的取值范围. (19) (本小题满分 13 分)

已知椭圆 M :

x2 y 2 , 3 点D 0 ? ? 1? a ? b ? 0? 的焦距为 2 , a 2 b2

?

? 在椭圆 M 上,过原点 O 作

直线交椭圆 M 于 A 、B 两点, 且点 A 不是椭圆 M 的顶点, 过点 A 作 x 轴的垂线, 垂足为 H , 点 C 是线段 AH 的中点,直线 BC 交椭圆 M 于点 P ,连接 AP . (Ⅰ)求椭圆 M 的方程及离心率; (Ⅱ)求证: AB ? AP .

(20) (本小题满分 14 分) 定义 max

?x1 ,x2 ,x3 ,?,xn ? 表示 x1 ,x2 ,x3 ,?,xn 中的最大值.
1000 2000 1500 , bn ? , cn ? ,其中 n ? m ? p ? 200 , m ? kn , n m p

已知数列 an ?

n, m, p, k ? N* .记 dn ? max ?an ,bn ,cn ? .
(I)求 max

?an ,bn ? ;

(II)当 k ? 2 时,求 d n 的最小值; (III) ?k ? N ,求 d n 的最小值.
*

昌平区 2016 年高三年级第二次统一练习 数学试卷参考答案及评分标准(理科) 2016.5

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项.) 1 2 题号 答案 B A 3 D 4 A 5 C 6 B 7 B 8 C

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) 2n (n ? N* ) (10) 2 (11) 120? ; 6 (12) 5 (13)144

1 (14) ;1512 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
(15) (本小题满分 13 分) 解: (I) f ( x) ? 2sin(2 x ? ), x0 ?

? 3

23? . 24

…………………7 分

π π π 5π ],2 x ? ?[? , ], 4 3 6 6 π ? ? ? 当 2 x ? ? ? 时,即 x ? ? , f ( x)min ? f (? ) ? ?1; 3 6 4 4 ? ? ? ? 当 2 x ? ? 时,即 x ? , f ( x)max ? f ( ) ? 2. 3 2 12 12
(II)由 x ?[? ,

π 4

……………………9 分

……………………13 分

(16) (本小题满分 13 分) 解: (I)两校新 生 的数学测试样本成绩的平均值相同;甲校新 生 的数学测试样本成绩的方 差小于乙校新 生 的数学测试样本成绩的方差. ……………………6 分 (II)设 事 件 D =“ 从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生,甲校新 生 的 数 学 基础 等级高于乙校新 生 的 数 学 基础等级” .

1 , 5 7 设 事 件 E2 = “ 从甲校新生中随机抽取一名新生, 其数 学 基础等级为 B” ,P ( E2 ) ? , 10 3 设 事 件 F1 = “ 从乙校新生中随机抽取一名新生, 其数 学 基础等级为 B” ,P ( F1 ) ? , 10 3 设 事 件 F2 = “ 从乙校新生中随机抽取一名新生, 其数 学 基础等级为 C” ,P ( F2 ) ? , 10
设 事 件 E1 =“ 从甲校新生中随机抽取一名新生,其数 学 基础等级为 A” , P ( E1 ) ? 根据题意, D ? E1 F1 ? E1 F2 ? E2 F2 , 所 以

P( D) ? P( E1 F1 ) ? P( E1 F2 ) ? P( E2 F2 ) ? P( E1 ) P( F1 ) ? P( E1 ) P( F2 ) ? P( E2 ) P( F2 )
1 3 1 3 7 3 33 . ? ? ? ? ? ? ? 5 10 5 10 10 10 100
因此,从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生,甲校新 生 的 数 学 基础等级高于乙 校新 生 的 数 学 基础等级的概率为

33 . ……………………13 分 100

(17) (本小题满分 14 分) (I)证明:连接 B1C ,交 BC1 于点 G ,连接 GD . 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, G 为 B1C 中点, 且 D 为 AC 中点, 所以 GD / / AB1 . 因为 GD ? 平面BC1D ,

z B1 G C1

E

B

C F D

y

AB1 ? 平面BC1D





A1 x

A

AB1 / / 平面BC1D .………………2 分
由已知,平面 AB1 E 与 BD 交于点 F , 所以 F ? 平面AB1E, 从而 EF ? 平面AB1EF , 又 EF ? 平面BC1D , 所以 平面BC1D ? 平面AB1EF ? EF , 所以 AB1 / / EF .……………………4 分 (II) 建立空间直角坐标系 C1 ? ACB1 如图所示.

A(2, 2, 0), A1 (2, 0, 0), C (0, 2, 0), C1 (0, 0, 0), 1 B(0, 2,1), B1 (0, 0,1), E (0,1, ), D(1, 2, 0). 2 ??? ? ???? ? 1 ???? AE ? (?2, ?1, ), C1 B ? (0, 2,1), C1 D ? (1, 2, 0) . 2 ? BC D n 1 设平面 的法向量为 ? ( x, y, z)

C1B ? 0, n? C1D ? 0, 得 ? 由 n? x ? 2 y ? 0. ,
?
? y ? 1, n 令 ,得 ? (?2,1, ?2) .……………………6 分

? ????

? ???? ?

?2 y ? z ? 0,

??? ?? ??? ? ? AE ?n 4 21 ? ? ? cos ? AE, n ?? ??? . ……………………8 分 63 | AE || n |
所以, AE 与平面 BC1D 所成角的正弦值为

4 21 .……………………9 分 63 BE 1

E (III) 在线段 BC1 上存在点 ,使得 A1E ? CE, 且 EC ? 4 .理由如下: 1
假 设 在 线 段 BC1 上 存 在 点 E , 使 得 A1E ? CE, 设 E (0, y1 , z1 ) ,

BE ? ? (? ? 0) . 则 EC1

??? ? ???? ? BE ? ? ? EC1 , (0, y1 ? 2, z1 ?1) ? ? (0, ? y1, ? z1 ) .

2 ? y1 ? , ? 2 1 ? 1? ? E (0, , ). ? 1? ? 1? ? ?z ? 1 , 1 ? 1? ? ?

………………11 分

???? ??? ? 2 1 ?2 ? 1 A1 E ? (?2, , ) , CE ? (0, , ). 1? ? 1? ? 1? ? 1? ?
?4? 1 ? ?0, 2 (1 ? ? ) (1 ? ? )2

1 ? ? . 解得: 4

………………13 分

所以,在线段 BC1 上存在点 E ,使得 A1E ? CE, 且 (18)(本小题满分 13 分) 解: (I)因为函数 f ( x) ? e , g ( x) ? ? x ? bx ? c ,
ax

BE 1 ? .………………14 分 EC1 4

2

所以函数 f '( x) ? ae , g '( x) ? ?2 x ? b .
ax

又因为曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 在它们的交点 (0, c ) 处具有公共切线,

所以 ?

? f (0) ? g (0), ?1 ? c, ,即 ? ………………4 分 ? f '(0) ? g '(0) ?a ? b.
ax 2

(II)由已知, h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? e ? x ? ax ? 1 . 所以 h '( x) ? ae ? 2 x ? a .
ax

设 F ( x) ? h '( x) ? ae ? 2 x ? a ,所以 F '( x) ? a e ? 2 ,
ax 2 ax

?a ? R, F '( x) ? 0 ,所以 h '( x) 在 (??, ??) 上为单调递增函数. ……………6 分
由(I)得, f '(0) ? g '(0), 所以 h '(0) ? f '(0) ? g '(0) ? 0 ,即 0 是 h '( x ) 的零点. 所以,函数 h( x) 的导函数 h '( x ) 有且只有一个零点 0.…………………………7 分 所以 h '( x) 及 h( x) 符号变化如下,

x

(??, 0)
?

0

(0, ??)
?

h '( x)

0

h( x )



极小值



所以函数 h( x) 的单调递减区间为 (??, 0) ,单调递增区间为 (0, ??) .……………9 分 (III)由(II)知当 x ? [0,1] 时, h( x) 是增函数. 对于任意 x1 , x2 ? [0,1] ,都有 h( x1 ) ? h( x2 ) ? e ? 1 等价于

h( x) max ? h( x) min ? h(1) ? h(0) ? e a ? a ? e ? 1 ,
等价于当 a ? 0 时, G (a ) ? e ? a ? (e ? 1) ? 0 ,
a

因为 G '(a ) ? e ? 1 ? 0 ,所以 G (a ) 在 [0, ??) 上是增函数,
a

又 G (1) ? 0 ,所以 a ? [0,1] .

……………13 分

(19) (本小题满分 13 分) 解:(I)由题意知 c ? 1, b ? 3 ,则 a ? b ? c ? 4 ,
2 2 2

所以椭圆 M 的方程为

x2 y 2 1 ? ? 1 ,椭圆 M 的离心率为 . ……………5 分 2 4 3
y0 ). 2

(II)设 A( x0 , y0 ), P( x1 , y1 ) ,则 B (? x0 , ? y0 ), C ( x0 , 由点 A, P 在椭圆上,所以

x0 2 y0 2 x2 y2 ? ? 1 ① 1 ? 1 ? 1② 4 3 4 3

y12 ? y02 3 点 A 不是椭圆 M 的顶点,②-①得 2 ?? . 2 x1 ? x0 4
y1 ? y0 , k BC x1 ? x0 3 y0 3 y 2 ? ? 0 , 且点 B, C , P 三点共线, 2 x0 4 x0

法一:又 k PB ?

所以

y1 ? y0 3 y0 y 4( y1 ? y0 ) , 即 0 ? ? . x0 3( x1 ? x0 ) x1 ? x0 4 x0
y0 y1 ? y0 4( y1 ? y0 ) y1 ? y0 4( y12 ? y0 2 ) 4 3 ? ? ? ? ? ? (? ) ? ?1, x0 x1 ? x0 3( x1 ? x0 ) x1 ? x0 3( x12 ? x0 2 ) 3 4

所以, k AB ?kPA ? 即 AB ? AP . 法二:

……………13 分

由 已 知 AB 与 AP 的 斜 率 都 存 在 , kPA ? kPB ?

y1 ? y0 y1 ? y0 y12 ? y0 2 ? ? x1 ? x0 x1 ? x0 x12 ? x0 2

3 ? ( x12 ? x0 2 ) 3 ? 4 2 ?? 2 x1 ? x0 4
又 k PB ? k BC ? 则 k AB ?k PA ?
3 y0 x , 得 k PA ? ? 0 , 4 x0 y0

y0 ? x0 ?( ) ? ?1 , x0 y0

即 AB ? AP . (20) (本小题满分 14 分) 解: (I)由题意, max ?an ,bn ? ? max ? 因为

……………13 分

?1000 2000 ? , ?, kn ? ? n

1000 2000 1000( k ? 2 ) ? ? , n kn kn 1000 2000 2000 ? 所以,当 k ? 1 时, ,则 max ?an ,bn ? ? bn ? , n kn n 1000 2000 1000 ? 当 k ? 2 时, ,则 max ?an ,bn ? ? an ? , n kn n 1000 2000 1000 ? 当 k ? 3 时, ,则 max ?an ,bn ? ? an ? . ……………4 分 n kn n
(II)当 k ? 2 时, d n ? max ?an ,bn ,cn ? ? max ?an ,cn ? ? max ? 因为数列 {an } 为单调递减数列,数列 {cn } 为单调递增数列,

?1000 1500 ? , ?, ? n 200 ? 3n ?

1000 1500 400 ? 时, dn 取得最小值,此时 n ? . n 200 ? 3n 9 400 ? 45 , 又因为 44 ? 9 250 300 而 d 44 ? max ?a44 ,c44 ? ? a44 ? , d 45 ? c45 ? ,有 d44 ? d45 . 11 13 250 所以 dn 的最小值为 . ……………8 分 11 250 (III)由(II)可知,当 k ? 2 时, dn 的最小值为 . 11
所以当 当 k ? 1 时, d n ? max ?an ,bn ,cn ? ? max ?bn ,cn ? ? max ?

? 2000 750 ? , ?. ? n 100 ? n ?

因为数列 {bn } 为单调递减数列,数列 {cn } 为单调递增数列,

2000 750 800 ? 时, dn 取得最小值,此时 n ? . n 100 ? n 11 800 ? 73 , 又因为 72 ? 11 250 250 而 d 72 ? b72 ? , d 73 ? c73 ? . 9 9 250 250 250 , ? 此时 dn 的最小值为 . 9 9 11
所以当 ⑵当 k ? 3 时,

1500 1500 375 , an ? bn , ? ? 200 ? (1 ? k )n 200 ? 4n 50 ? n

所以 d n ? max ?an ,bn ,cn ? ? max ?an ,cn ? ? max ?

?1000 375 ? , ?. ? n 50 ? n ?

设 hn ? max ?

?1000 375 ? , ?, ? n 50 ? n ?

375 } 为单调递增数列, 50 ? n 1000 375 400 ? 所以当 时, hn 取得最小值,此时 n ? . n 50 ? n 11 400 ? 37 , 又因为 36 ? 11 250 375 250 375 , ? 而 h36 ? a36 ? , h37 ? . 9 13 9 13 250 250 250 , ? 此时 dn 的最小值为 . 9 9 11 250 综上, dn 的最小值为 d 44 ? . ……………14 分 11
因为数列 {an } 为单调递减数列,数列 {


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