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2.3直线、平面垂直的判定及其性质


2.3
1.直线与平面垂直 (1)判定直线和平面垂直的方法

直线、平面垂直的判定及其性质

①定义法 ②利用判定定理:一条直线和一个平面内的两条________直线都垂直,则该直线和此平面垂直. ③推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于一个平面,那么另一条直线也________这个平面. (2)直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面,则垂直于平面内________直线. ③垂直于同一直线的两平面________.

②垂直于同一个平面的两条直线________.

2.斜线和平面所成的角 :斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫斜线和平面所成的角. 3.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法

②利用判定定理:一个平面过另一个平面的____________,则这两个平面垂直. (2)平面与平面垂直的性质:两平面垂直,则一个平面内垂直于________的直线垂直于另一个平面. 4.二面角的有关概念 (1)二面角:从一条直线出发的________________所组成的图形叫做二面角. (2)二面角的平面角:二面角棱上的一点,在两个半平面内分别作与棱________的射线,则两射线所成的角叫做二 面角的平面角.

1.若直线 a 与平面 α 不垂直,那么在平面 α 内与直线 a 垂直的直线有________条. 2.过△ABC 所在平面 α 外一点 P,作 PO⊥α,垂足为 O,连接 PA、PB、PC, (1)若 PA=PB=PC,∠C=90° ,则点 O 是 AB 边的________点. (2)若 PA=PB=PC,则点 O 是△ABC 的________ 心. (3)若 PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点 O 是△ABC 的________心.

3.m、n 是空间中两条不同直线,α、β 是两个不同平面,下面有四个命题: ①m⊥α,n∥β,α∥β?m⊥n;②m⊥n,α∥β,m⊥α?n∥β; ③m⊥n,α∥β,m∥α?n⊥β;④m⊥α,m∥n,α∥β?n⊥β. 其中,所有真命题的编号是________. 4.已知平面 α⊥β,α∩β=l,P 是空间一点,且 P 到平面 α、β 的距离分别是 1、2,则点 P 到 l 的距离为________. 5.设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则下列四个命题: ①若 α∥β,m?α,则 m∥β;②若 m∥α,n?α,则 m∥n;③若 α⊥β,m∥α,则 m⊥β;④若 m⊥α,m∥β,则 α⊥β. 其中为真命题的是 A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ ( )

题型一 直线与平面垂直的判定与性质 例1 如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,

∠ABC=60° ,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点.证明:(1)CD⊥AE;(2)PD⊥平面 ABE. 证明 (1)由四棱锥 P—ABCD 中,∵PA⊥底面 ABCD,CD?平面 ABCD,

∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面 PAC. 而 AE?平面 PAC,∴CD⊥AE. (2)由 PA=AB=BC,∠ABC=60° ,可得 AC=PA.∵E 是 PC 的中点,∴AE⊥PC.
1

由(1),知 AE⊥CD,且 PC∩CD=C,∴AE⊥平面 PCD. 而 PD?平面 PCD,∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面 ABCD,∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD 且 PA∩AD=A, ∴AB⊥平面 PAD,而 PD?平面 PAD, ∴AB⊥PD.又∵AB∩AE=A, ∴PD⊥平面 ABE. 探究提高 破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质,注意平面图形中的一些线线垂直关系

的灵活利用,这是证明空间垂直关系的基础.由于“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”之间可以相互转化, 因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开,这是化解空间垂直关系难点的技巧所在. 如图所示,P 是四边形 ABCD 所在平面外的一点,四边形 ABCD 是∠DAB=60° 且边长为 a 的菱形,侧面 PAD 为正三角形,其所在平面垂直于底面 ABCD.若 G 为 AD 边的中点, 求证:BG⊥平面 PAD.

题型二 平面与平面垂直的判定与性质 例2 如图所示,△ABC 为正三角形,EC⊥平面 ABC,BD∥CE,EC=CA=2BD,M 是 EA 的中点.求证:

(1) DE=DA;(2)平面 BDM⊥平面 ECA. 证明 (1)如图所示,取 EC 中点 F,连接 DF.∵EC⊥平面 ABC,BD∥CE,

1 ∴DB⊥平面 ABC.∴DB⊥AB.∵BD∥CE,BD= CE=FC,∴四边形 FCBD 是矩形, 2 ∴DF⊥EC.又 BA=BC=DF,∴Rt△DEF≌Rt△ADB,∴DE=DA. 1 (2)如图所示,取 AC 中点 N,连接 MN、NB,∵M 是 EA 的中点,∴MN 綊 EC. 2 1 由 BD 綊 EC,且 BD⊥平面 ABC,可得四边形 MNBD 是矩形,于是 DM⊥MN. 2 ∵DE=DA,M 是 EA 的中点,∴DM⊥EA.又 EA∩MN=M,∴DM⊥平面 ECA,而 DM?平面 BDM, ∴平面 BDM⊥平面 ECA. 探究提高 面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决. (2011· 江苏)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠BAD=60° ,E, F 分别是 AP,AD 的中点.求证:(1)直线 EF∥平面 PCD;(2)平面 BEF⊥平面 PAD.

题型三 线面、面面垂直的综合应用 例3 如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB∥DC,△PAD

是等边三角形,已知 BD=2AD=8,AB=2DC=4 5. (1) 设 M 是 PC 上的一点,求证:平面 MBD⊥平面 PAD; (2)求四棱锥 P—ABCD 的体积. (1)证明 在△ABD 中,∵AD=4,BD=8,AB=4 5,∴AD2+BD2=AB2.∴AD⊥BD. 又∵面 PAD⊥面 ABCD,面 PAD∩面 ABCD=AD,BD?面 ABCD, ∴BD⊥面 PAD. 又 BD?面 BDM, ∴面 MBD⊥面 PAD. (2)解 过 P 作 PO⊥AD,
2

∵面 PAD⊥面 ABCD,∴PO⊥面 ABCD,即 PO 为四棱锥 P—ABCD 的高.又△PAD 是边长为 4 的等边三角形, ∴PO=2 3. 在底面四边形 ABCD 中,AB∥DC,AB=2DC,∴四边形 ABCD 为梯形. 4×8 8 5 在 Rt△ADB 中,斜边 AB 边上的高为 = ,此即为梯形的高. 5 4 5 2 5+4 5 8 5 1 ∴S 四边形 ABCD= × =24. ∴VP—ABCD= ×24×2 3=16 3. 2 5 3 探究提高 当两个平面垂直时,常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线,把面面垂直转化为线面垂直,进

而可以证明线线垂直. 1 (2011· 辽宁)如图,四边形 ABCD 为正方形,QA⊥平面 ABCD,PD∥QA,QA=AB= PD. 2 (1)证明:PQ⊥平面 DCQ;(2)求棱锥 Q-ABCD 的体积与棱锥 P-DCQ 的体积的比值.

题型四 线面、二面角的求法 例4 如图,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ADEF 是正方形,FA⊥平面 ABCD,BC∥AD,CD=1,

AD=2 2,∠BAD=∠CDA=45° .(1)求异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值; (2) 证明:CD⊥平面 ABF; (3)求二面角 B-EF-A 的正切值. (1)解 因为四边形 ADEF 是正方形,所以 FA∥ED.所以∠CED 为异面直线 CE 与 AF 所成的角.

因为 FA⊥平面 ABCD,所以 FA⊥CD.故 ED⊥CD.在 Rt△CDE 中,CD=1,ED=2 2,CE= CD2+ED2=3, ED 2 2 2 2 所以 cos ∠CED= = . 故异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值为 . CE 3 3 (3) 证明 如图,过点 B 作 BG∥CD,交 AD 于点 G,则∠BGA=∠CDA=45° . 由∠BAD=45° ,可得 BG⊥AB,从而 CD⊥AB.又 CD⊥FA,FA∩AB=A,所以 CD⊥平面 ABF. (3)解 由(2)及已知,可得 AG= 2,即 G 为 AD 的中点.取 EF 的中点 N,连接 GN,则 GN⊥EF. 因为 BC∥AD,所以 BC∥EF.过点 N 作 NM⊥EF,交 BC 于点 M, 则∠GNM 为二面角 B-EF-A 的平面角.连接 GM,可得 AD⊥平面 GNM,故 AD⊥GM,从而 BC⊥GM. 由已知,可得 GM= 探究提高 2 GM 1 .由 NG∥FA,FA⊥GM,得 NG⊥GM.在 Rt△NGM 中,tan ∠GNM= = . 2 NG 4

解二面角首先要作出其平面角,一种重要的方法就是垂线法,即在二面角的一个半平面内找一点作另

一个半平面的垂线,再过这条垂线的垂足作二面角棱的垂线,这样二面角的棱就垂直于这两条垂线所确定的平面, 问题就解决了.这里的关键是如何作一个面的垂线,一个最重要的思路就是根据面面垂直的性质定理,在两个互相 垂直的平面中的一个平面内作它们交线的垂线. 在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形.已知 AB=3,AD=2,PA=2,PD=2 2,∠PAB=60° . (1)证明:AD⊥平面 PAB; (2)求异面直线 PC 与 AD 所成的角的正切值的大小; (3)求二面角 P—BD—A 的正切值的大小.

3

5.几何证明过程要规范 试题:(12 分)如图所示,M,N,K 分别是正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 AB,CD,C1D1 的中点. 求证:(1)AN∥平面 A1MK;(2)平面 A1B1C⊥平面 A1MK. 学生解答展示 审题视角 (1)要证线面平行,需证线线平行. (2)要证面面垂直,需证线面垂直,需证线线垂直. 规范解答 证明 (1)如图所示,连接 NK.

在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, ∵四边形 AA1D1D,DD1C1C 都为正方形, ∴AA1∥DD1,AA1=DD1,C1D1∥CD,C1D1=CD. [2 分]

∵N,K 分别为 CD,C1D1 的中点,∴DN∥D1K,DN=D1K, ∴四边形 DD1KN 为平行四边形.[3 分] ∴KN∥DD1,KN=DD1,∴AA1∥KN,AA1=KN. ∴四边形 AA1KN 为平行四边形.∴AN∥A1K. ∵A1K?平面 A1MK,AN?平面 A1MK,∴AN∥平面 A1MK. (2)连接 BC1.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB∥C1D1,AB=C1D1. ∵M,K 分别为 AB,C1D1 的中点,∴BM∥C1K,BM=C1K.∴四边形 BC1KM 为平行四边形.∴MK∥BC1.[8 分] 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,A1B1⊥平面 BB1C1C,BC1?平面 BB1C1C,∴A1B1⊥BC1. ∵MK∥BC1,∴A1B1⊥MK.∵四边形 BB1C1C 为正方形,∴BC1⊥B1C. [10 分] [6 分] [4 分]

∴MK⊥B1C.∵A1B1?平面 A1B1C,B1C?平面 A1B1C,A1B1∩B1C=B1,∴MK⊥平面 A1B1C. 又∵MK?平面 A1MK,∴平面 A1MK⊥平面 A1B1C. 批阅笔记 [12 分]

(1)本题考查的是线面平行、面面垂直的证明.难度不大,但学生解答时出现的问题较多.

(2)定理应用不严谨.如:要证 AN∥平面 A1MK,必须强调 AN?平面 A1MK. (3)解题过程不完整,缺少关键步骤,如第(1)问中,应先证四边形 ANKA1 为平行四边形.第(2)问中,缺少必要的条 件,使思维不严谨,过程不流畅.

方法与技巧 1.证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义:a 与 α 内任何直线都垂直?a⊥α; (2)判定定理 1: m、n?α,m∩n=A? ? ??l⊥α; (3)判定定理 2:a∥b,a⊥α?b⊥α; ? l⊥m,l⊥n ?

(4)面面平行的性质:α∥β,a⊥α?a⊥β; (5)面面垂直的性质:α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l?a⊥β. 2.证明线线垂直的方法(1)定义:两条直线所成的角为 90° ;(2)平面几何中证明线线垂直的方法; (3)线面垂直的性质:a⊥α,b?α?a⊥b;(4)线面垂直的性质:a⊥α,b∥α?a⊥b. 3.证明面面垂直的方法 (1)利用定义:两个平面相交,所成的二面角是直二面角; (2)判定定理:a?α,a⊥β?α⊥β.
4

2.3
一、选择题

直线、平面垂直的判定及其性质
A 组 专项基础训练题组

1.已知平面 α 与平面 β 相交,直线 m⊥α,则

(

)

A.β 内必存在直线与 m 平行,且存在直线与 m 垂直 B.β 内不一定存在直线与 m 平行,不一定存在直线与 m 垂直 C.β 内不一定存在直线与 m 平行, 但必存在直线与 m 垂直 D.β 内必存在直线与 m 平行, 不一定存在直线与 m 垂直 2.已知 l,m 是不同的两条直线,α,β 是不重合的两个平面,则下列准确的是 ( A.若 l⊥α,α⊥β,则 l∥β C.若 l⊥m,α∥β,m?β,则 l⊥α B.若 l∥α,α⊥β,则 l∥β D.若 l⊥α,α∥β,m?β,则 l⊥m ( ) )

3.设 α,β 为不重合的平面,m,n 为不重合的直线,则下列命题正确的是 A.若 α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则 m⊥α C.若 m∥α,n∥β,m⊥n,则 α⊥β 二、填空题 B.若 m?α,n?β,m∥n,则 α∥β D.若 n⊥α,n⊥β,m⊥β,则 m⊥α

4.α、β 是两个不同的平面,m、n 是平面 α 及 β 之外的两条不同的直线,给出四个论断:①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β; ④m⊥α,以其中三个论断作为条件,剩余的一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题 ____________________________. 5.设 α、β、γ 为彼此不重合的三个平面,l 为直线,给出下列命题: ①若 α∥β,α⊥γ,则 β⊥γ; ②若 α⊥γ,β⊥γ,且 α∩β=l,则 l⊥γ;

③若直线 l 与平面 α 内的无数条直线垂直,则直线 l 与平面 α 垂直; ④若 α 内存在不共线的三点到 β 的距离相等,则平面 α 平行于平面 β. 上面命题中,真命题的序号为________. 6.已知平面 α,β 和直线 m,给出条件:①m∥α;②m⊥α;③m?α;④α∥β.当满足条件________时,有 m⊥β.(填所 选条件的序号) 7.如图,PA⊥圆 O 所在的平面,AB 是圆 O 的直径,C 是圆 O 上的一点,E、F 分别是点 A 在 PB、PC 上的正投影,给出下列结论:①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面 PBC. 其中正确结论的序号是________. 三、解答题 8.如图,已知 PA 垂直于矩形 ABCD 所在平面, M、N 分别是 AB、PC 的中点,若∠PDA=45° , 求证:MN⊥平面 PCD.

B 组 专项能力提升题组 一、选择题 1.下列命题中,m、n 表示两条不同的直线,α、β、γ 表示三个不同的平面. ①若 m⊥α,n∥α,则 m⊥n;②若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β;③若 m∥α,n∥α,则 m∥n;④若 α∥β,β∥γ,m⊥α, 则 m⊥γ. 正确的命题是 ( )
5

A.①③

B.②③

C.①④

D.②④ )

2.如图,在正四面体 P—ABC 中,D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点,下面四个结论不成立的是 ( A.BC∥平面 PDF B.DF⊥平面 PAE C.平面 PDF⊥平面 PAE 3.如图,在斜三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠BAC=90° , BC1⊥AC,则 C1 在底面 ABC 上的射影 H 必在( ) D.平面 PDE⊥平面 ABC

A.直线 AB 上 B.直线 BC 上 C.直线 AC 上 D.△ABC 内部 二、填空题 4.正四棱锥 S—ABCD 的底面边长为 2,高为 2,E 是边 BC 的中点,动点 P 在表面上运动,并且总保持 PE⊥AC,则 动点 P 的轨迹的周长为________. 5.在正四棱锥 P—ABCD 中,PA= PM 垂直的直线有________条. 6.已知 a、b、l 表示三条不同的直线,α、β、γ 表示三个不同的平面,有下列四个命题: ①若 α∩β=a,β∩γ=b,且 a∥b,则 α∥γ;②若 a、b 相交,且都在 α、β 外,a∥α,a∥β,b∥α,b∥β,则 α∥β; ③若 α⊥β,α∩β=a,b?β,a⊥b,则 b⊥α;④若 a?α,b?α,l⊥a,l⊥b,l?α,则 l⊥α. 其中正确命题的序号是________. 三、解答题 7.如图所示,在三棱锥 P—ABC 中,△PAB 是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90° . (1)证明:AB⊥PC;(2)若 PC=4,且平面 PAC⊥平面 PBC,求三棱锥 P—ABC 的体积. 3 AB,M 是 BC 的中点,G 是△PAD 的重心,则在平面 PAD 中经过 G 点且与直线 2

8.(14 分)(2011· 杭州调研)如图所示,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 AB 的中点. (1)求直线 B1C 与 A1E 所成角的余弦值; (2)求证:平面 EB1D⊥平面 B1CD; (3)求二面角 E-B1C-D 的余弦值.

6

2.4 答案
要点梳理 1.(1)②相交 ③垂直 基础自测 1.无数 2.(1)中 (2)外 (2)①任意 ②平行 ③平行 3.(1)②一条垂线 (2)交线 4.(1)两个半平面 (2)垂直 (3)垂 3.①④ 4. 5 5.C

变式训练 1 证明 连接 PG,BD,∵△PAD 为正三角形,G 是 AD 的中点, ∴PG⊥AD.又平面 PAD⊥平面 ABCD,∴PG⊥平面 ABCD.∴PG⊥BG. 又∵四边形 ABCD 是菱形且∠DAB=60° ,∴△ABD 是正三角形.∴BG⊥AD. 又 AD∩PG=G,∴BG⊥平面 PAD. 变式训练 2 证明 (1)如图,在△PAD 中,因为 E,F 分别为 AP,AD 的中点,

所以 EF∥PD.又因为 EF?平面 PCD,PD?平面 PCD,所以直线 EF∥平面 PCD. (2)连接 BD.因为 AB=AD,∠BAD=60° ,所以△ABD 为正三角形. 因为 F 是 AD 的中点,所以 BF⊥AD.因为平面 PAD⊥平面 ABCD,BF?平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD,所以 BF⊥平面 PAD.又因为 BF?平面 BEF,所以平面 BEF⊥平面 PAD. 变式训练 3 (1)证明 由条件知四边形 PDAQ 为直角梯形.因为 QA⊥平面 ABCD,QA?平面 PDAQ, 所以平面 PDAQ⊥平面 ABCD,交线为 AD,所以 QA⊥DC,又四边形 ABCD 为正方形,DC⊥AD, 所以 DC⊥平面 PDAQ,可得 PQ⊥DC.在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ=PQ= 又 DQ∩DC=D,所以 PQ⊥平面 DCQ. 1 (2)解 设 AB=a.由题设知 AQ 为棱锥 Q-ABCD 的高,所以棱锥 Q-ABCD 的体积 V1= a3. 3 由(1)知 PQ 为棱锥 P-DCQ 的高,而 PQ= 2a,△DCQ 的面积为 2 2 1 a ,所以棱锥 P-DCQ 的体积 V2= a3. 2 3 2 PD,则 PQ⊥QD. 2

1 故棱锥 Q-ABCD 的体积与棱锥 P-DCQ 的体积的比值为 1.所以二面角 B-EF-A 的正切值为 . 4 变式训练 4 (1)证明 在△PAD 中,由题设 PA=2,AD=2,PD=2 2,可得 PA2+AD2=PD2,于是 AD⊥PA. 在矩形 ABCD 中,AB⊥AD,又 PA∩AB=A,所以 AD⊥平面 PAB. (2)解 由题设,BC∥AD,所以∠PCB(或其补角)是异面直线 PC 与 AD 所成的角. 在△PAB 中,由余弦定理得 PB= PA2+AB2-2PA· AB· cos∠PAB= 7. 由(1)知 AD⊥平面 PAB,PB?平面 PAB,所以 AD⊥PB,因而 BC⊥PB,于是△PBC 是直角三角形, PB 7 7 故 tan∠PCB= = .故异面直线 PC 与 AD 所成的角的正切值的大小为 . BC 2 2 (3)解 如图所示,过点 P 作 PH⊥AB 于 H,过点 H 作 HE⊥BD 于 E,连接 PE. 因为 AD⊥平面 PAB,PH?平面 PAB,所以 AD⊥PH.又 AD∩AB=A, 因而 PH⊥平面 ABCD,故 HE 为 PE 在平面 ABCD 内的射影, ∴BD⊥PE.从而∠PEH 是二面角 P—BD—A 的平面角.由题设可得,PH=PA· sin 60° = 3, AH=PA· cos 60° =1,BH=AB-AH=2,BD= AB2+AD2= 13, 由 Rt△BEH∽Rt△BAD 知, HE HB 4 13 PH 39 = ,∴HE= .∴tan∠PEH= = . AD BD 13 HE 4 39 . 4
7

故二面角 P—BD—A 的正切值的大小为

课时规范训练 A 组 1.C 2.D 3.D 4.可填①③④?②与②③④?①中的一个 5.①② 6.②④ 7.①②③

8.证明 方法一 取 CD 的中点 E,连接 NE、ME、MC、PM. PA⊥平面 ABCD?PA⊥AD.∠PDA=45° ?PA=AD=BC.又 M 是 AB 的中点, Rt△PAM≌Rt△CBM?MP=MC? ? ??MN⊥PC. ? N是PC的中点 ? DA⊥平面ABCD?PA⊥CD? AD⊥CD PA∩AD=A ?CD⊥NE ? ? ? ?CD⊥平面MNE? ?CD⊥PD? ? ? ? ME⊥CD ? ??CD⊥平面 PAD ? ? ? PD∥NE ? MN?平面MNE ? ? ? ME∩NE=E? ?

?MN⊥CD ? ? MN⊥PC ??MN⊥平面 PCD. PC∩CD=C? ?

1 方法二 如图,取 PD 的中点 F,连接 AF,NF,∵F,N 分别为 PD,PC 的中点,∴FN 綊 CD. 2 又∵CD 綊 AB,∴FN // 1 AB,即 FN 綊 AM,∴四边形 AFNM 为平行四边形,∴MN∥AF. 2

∵PA⊥平面 ABCD 且∠PDA=45° ,∴△PAD 为等腰直角三角形,∴AF⊥PD. 又∵CD⊥AD,CD⊥PA,AD∩PA=A,∴CD⊥平面 PAD,又 AF?平面 PAD,∴CD⊥AF.又 PD∩CD=D, ∴AF⊥平面 PDC.又∵AF∥MN,∴MN⊥平面 PDC. B 组 1.C 2.D 3.A 4. 2+ 6 5.无数 6.②③

7.(1)证明 由 PA=PB,∠PAC=∠PBC=90° ,且 PC 为△PAC 与△PBC 的公共边, 则△PAC≌△PBC,因此 AC=BC,取 AB 中点 D,连接 PD,CD, 则 PD⊥AB,CD⊥AB,因此 AB⊥平面 PDC,则 AB⊥PC. (2)解 作 BE⊥PC 垂足为 E,连接 AE.由△PAC≌△PBC 知 AE⊥PC, 则∠BEA=90° .可证△PBE≌△ABE,则∠BPC=45° .△PBC 为等腰直角三角形,则 E 为 PC 中点. 1 8 VP—ABC=VP—ABE+VC—ABE= S△ABE· PC= . 3 3 8. .(1)解 连接 A1D,则由 A1D∥B1C 知,B1C 与 DE 所成角即为 A1D 与 DE 所成角.(2 分) 连接 A1E,可设正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,则 A1D= 2a,A1E=DE= ∴cos∠DA1E= 5 a, 2

10 10 .∴直线 B1C 与 A1E 成角的余弦值是 .(6 分) 5 5 (2)证明 取 B1C 的中点 F,B1D 的中点 G,连接 BF,EG,GF.∵CD⊥平面 BCC1B1, 且 BF?平面 BCC1B1,∴CD⊥BF.又∵BF⊥B1C,CD∩B1C=C,∴BF⊥平面 B1CD.(8 分) 1 1 又∵GF 綊 CD,BE 綊 CD,∴GF 綊 BE,∴四边形 BFGE 是平行四边形,∴BF∥GE,∴GE⊥平面 B1CD. 2 2 ∵GE?平面 EB1D,∴平面 EB1D⊥B1CD.(10 分) (3)解 连接 EF.∵CD⊥B1C,GF∥CD,∴GF⊥B1C. 又∵GE⊥平面 B1CD,∴GE⊥B1C.又∵GE∩GF=G,∴B1C⊥平面 GEF,∴EF⊥B1C, 1 3 ∴∠EFG 是二面角 E-B1C-D 的平面角.(12 分)设正方体的棱长为 a,则在△EFG 中,GF= a,EF= a, 2 2 GF 3 3 GE⊥GF,∴cos∠EFG= = ,∴二面角 E-B1C-D 的余弦值为 .(14 分) EF 3 3
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