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天津市天津一中2014届高三上学期第二次月考 文科数学


天津市天津一中 2014 届高三上学期第二次月考 文科数学
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的

1.复数 z 满足: ( z ? i)(2 ? i) ? 5 ,则 z ? (



A. ?2 ? 2i

B. ?2 ? 2i

C. ? ? ?i

D. ? ? ?i

2. 下列结论错误的是(



A.命题“若 p ,则 q ”与命题“若 ?q, 则 ?p ”互为逆否命题;

x 2 B.命题 p : ?x ? [0,1], e ? 1 ,命题 q : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0, 则 p ? q 为真;

C.“若 am ? bm , 则 a ? b ”的逆命题为真命题;
2 2

D.若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题.

3. 如下框图,当 x1 ? 6, x2 ? 9, p ? 8.5 时, x3 等于(



A. 7

B. 8

C.10

D.11

第页

1

4.设 l 为直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是(



A.若 l //? , l // ? ,则 ? // ?

B.若 l ? ? , l ? ? ,则 ? // ?

C.若 l ? ? , l // ? ,则 ? // ?

D.若 ? ? ? , l //? ,则 l ? ?

5.集合 A ? ?x||x-a|<1,x ? R? , B ? ? x |1 ? x ? 5, x ? R? .若A ? B ? ?, 则实数 a 的取值

范围是(



A. ?a | 0 ? a ? 6?

B. ?a | a ? 2, 或a ? 4?

C. ?a | a ? 0, 或a ? 6?

D. ?a | 2 ? a ? 4?

6.在平行四边形 ABCD 中, AD = 1, ?BAD ? 60? , E 为 CD 的中点. 若 AC ? BE ? 1 , 则 AB 的长为(

)

A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D. 1

7.已知 a

?5

log 2 3.4

,b ? 5

log 4 3.6

?1? ,c ? ? ? ?5?

log3 0.3

, 则(



A. a ? b ? c

B. b ? a ? c

C. a ? c ? b

D. c ? a ? b

8.已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,对任意 x ? R ,都有 f (2+x)=-f ( x) ,且当 x ? [0,1] 时在

f ( x) ? ? x 2 ? 1,若 a[ f ( x)]2 ? bf ( x) ? 3 ? 0 在 [?1,5] 上有 5 个根 xi (i ? 1, 2,3, 4,5) ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 的值为(


A.7

B. 8

C.9

D.10

第页

2

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。把答案填在题中横线上

9.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别

为 1,2,3,则此球的表面积为_________________

10.一几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积为_______________





11.函数 y ? log a ( x ? 3) -1 (a ? 0且a ? 1) 的图像恒过定点 A,若点 A 在直线 mx ? ny ? 2 ? 0 上, 其中 mn ? 0, 则

1 2 ? 的最小值为 m n

12. 函数 f ( x) ? sin(? ? ? x)cos ? x ? cos2 ? x ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? ,将函数 y ? f ( x) 的图像上各点 的横坐标缩短到原来的 小值是_______________
2 ? ? ? x ? 4 x ? 10( x ? 2) 13. 已知函数 f ( x) ? ? ,若 f (6 ? a 2 ) ? f (5a) ,则实数 a 的取值 ? ?log 3 ( x ? 1) ? 6( x ? 2)

1 ? ?? ,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图像,则函数 y ? g ( x) 在区间 ?0, ? 上的最 2 ? 16 ?

范围是__________________

第页

3

14.设函数 f ( x) ? x ?

1 ,对任意 x ? [1,??) , f (mx) ? mf ( x) ? 0 恒成立,则实数 x

m 的取值范围是_____________________

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤

15.(本小题满分 13 分)

以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数。乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中 经 X 表示。

(Ⅰ)如果 X=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差

(Ⅱ)如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数为 19 的概率。

16. (本小题满分 13 分)

已知 △ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 cos A ?

2 5 3 10 , cos B ? . 5 10

第页

4

(Ⅰ)求 cos? A ? B ?的值

(Ⅱ)设 a ? 10 ,求 △ABC 的面积.

17.(本小题满分 13 分) 已知 S n 是等比数列 {an } 的前 n 项和, S 4 , S 2 , S 3 成等差数列,且 a2 ? a3 ? a4 ? ?18 .(Ⅰ)求数列 {an } 的 通项公式; (Ⅱ)是否存在正整数 n ,使得 Sn ? 2013 ?若存在,求出符合条件的所有 n 的集合; 若不存在,说明理由.

第页

5

18.(本小题满分 13 分)

P

如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面

E A C D

ABCD ,

AB ? AD,AC ? CD,?ABC ? 60° ,
PA ? AB ? BC , E 是 PC 的中点

B
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(Ⅰ)证明 CD ? AE ;

(Ⅱ)证明 PD ? 平面 ABE ;

(Ⅲ)求二面角 A ? PD ? C 的正弦值的大小

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19.(本小题满分 14 分)

已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且对于任意的 n ? N ,恒有 Sn ? 2an ? n ,
*

设 bn ? log 2 (an ? 1) .

(Ⅰ)求证:数列 {an ? 1} 是等比数列;

第页

6

(Ⅱ)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式 an 和 bn ;

2bn (Ⅲ)若 cn ? an ? an ?1

,证明: c1 ? c2 ? ? ? cn ?

4 . 3

20.(本小题满分 14 分)

?? x 3 ? ax 2 ? bx,??( x ? 1) 已知函数 f ( x) ? ? 的图像在点 (?2, f (?2)) 处的切线方程为 16 x ? y ? 20 ? 0 . ?c ln x,??( x ≥ 1)
(Ⅰ)求实数 a 、 b 的值;

(Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [?1,2] 上的最大值; (Ⅲ)曲线 y ? f ( x) 上存在两点 M 、 N ,使得△ MON 是以坐标原点 O 为直角顶点的直角三角形,且斜边

MN 的中点在 y 轴上,求实数 c 的取值范围.

参考答案 1-8 D C B B C C C D 9. 14π 13. ?? 6,1? 10. 200+9π 11.4 12.1

14.(-?,-1)

第页

7

15. 【解析】:

(Ⅰ)当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10,

所以平均数为 x ?

8 ? 8 ? 9 ? 10 35 1 35 35 35 11 ? ; 方差为 s 2 ? [(8 ? ) 2 ? (9 ? ) 2 ? (10 ? ) 2 ] ? . 4 4 4 4 4 4 16

(Ⅱ)记甲组四名同学为 A1,A2,A3,A4,他们植树的棵数依次为 9,9,11,11;乙组四名同学为 B1,B2,B3,B4,他们植树的棵数依次为 9,8,9,10,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,所有 可能的结果有 16 个,它们是:(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2,B1), (A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(A3,B1),(A2,B2),(A3,B3),(A1,B4),(A4, B1),(A4,B2),(A4,B3),(A4,B4),用 C 表示:“选出的两名同学的植树总棵数为 19”这一 事件,则 C 中的结果有 4 个,它们是:(A1,B4),(A2,B4),(A3,B2),(A4,B2),故所求概 率为 P(C ) ?

4 1 ? . 16 4

16. (I)知, A ? B ? 45 ∴ C ? 135
? ?

(Ⅱ)由

10 sin B a b ? 10 ? 10 ? 5 ∵ a ? 10 ,由正弦定理 得 b ? a? ? sin A sin A sin B 5 5

第页

8

∴ S ?ABC ?

1 1 2 5 ab sin C ? ? 10 ? 5 ? ? 2 2 2 2

17. 18.

P M

(Ⅰ)证明:在四棱锥 P ? ABCD 中,因 PA ? 底面
A

E D C

ABCD , CD ? 平面 ABCD ,故 PA ? CD

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B

∵ AC ? CD,PA ? AC ? A ,∴CD ? 平面 PAC

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而 AE ? 平面 PAC ,∴CD ? AE

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(Ⅱ)证明:由 PA ? AB ? BC , ?ABC ? 60° ,可得 AC ? PA

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9

∵ E 是 PC 的中点,∴ AE ? PC

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由(Ⅰ)知, AE ? CD ,且 PC ? CD ? C ,所以 AE ? 平面 PCD

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而 PD ? 平面 PCD ,∴ AE ? PD

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∵ PA ? 底面 ABCD,PD 在底面 ABCD 内的射影是 AD , AB ? AD ,∴ AB ? PD

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又∵ AB ? AE ? A ,综上得 PD ? 平面 ABE

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(Ⅲ)解法一:过点 A 作 AM ? PD ,垂足为 M ,连结 EM 平面 PCD 内的射影是 EM ,则 EM ? PD

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则(Ⅱ)知, AE ? 平面 PCD , AM 在

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因此 ?AME 是二面角 A ? PD ? C 的平面角

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由已知,得 ?CAD ? 30° 设 AC ? a ,
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可得 PA ? a,AD ?

2 3 21 2 a,PD ? a,AE ? a 3 3 2

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在 Rt△ADP 中,∵ AM ? PD ,

P

∴ AM · PD ? PA · AD ,
E

2 3 a · a PA · AD 2 7 3 ? ? a 则 AM ? PD 7 21 a 3
在 Rt△AEM 中, sin AME ?

M D C

A
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B

AE 14 ? AM 4

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解法二:由题设 PA ? 底面 ABCD , PA ? 平面 PAD ,则平面 PAD ? 平面 ACD ,交线为 AD

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过点 C 作 CF ? AD ,垂足为 F ,故 CF ? 平面 PAD 过点 F 作 FM ? PD ,垂足为 M ,连结 CM ,
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故 CM ? PD 因此 ?CMP 是二面角 A ? PD ? C 的平面角
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由已知,可得 ?CAD ? 30° ,设 AC ? a ,

可得 PA ? a,AD ?

2 3 21 1 3 a,PD ? a,CF ? a,FD ? a 3 3 2 6

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∵△FMD ∽△PAD ,∴

FM FD ? PA PD

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3 a ·a FD · PA 7 ? 6 ? a 于是, FM ? PD 14 21 a 3

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1 a CF 2 在 Rt△CMF 中, tan CMF ? ? ? 7 FM 7 a 14

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19. 解(1)当 n ? 1时, S1 ? 2a1 ? 1 ,得 a1 ? 1 .

∵ S n ? 2an ? n ,∴当 n ? 2 时, S n?1 ? 2an?1 ? (n ? 1) ,

两式相减得: an ? 2an ? 2an?1 ? 1 ,∴ an ? 2an?1 ? 1 .

∴ an ? 1 ? 2an?1 ? 2 ? 2(an?1 ? 1) ,

∴ {an ? 1} 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列.

(2)由(1)得 an ? 1 ? 2 ? 2 n?1 ? 2 n ,∴ an ? 2 n ? 1, n ? N * .

∴ bn ? log 2 (an ? 1) ? log 2 2 n ? n , n ? N * .

第页

11

(3) c n ?

2n 2 n?1 , c n?1 ? , a n a n ?1 a n?1a n? 2

由 {an } 为正项数列,所以 {cn } 也为正项数列,
cn?1 2a n 2(2 n ? 1) 2(2 n ? 1) 1 ? ? n? 2 ? n? 2 ? ,所以数列 {cn } 递减. cn a n? 2 2 ?1 2 ?4 2

从而

1 1 ? ( )n 1 1 2 1 n?1 2 ?c ? 4 . 所以 c1 ? c2 ? ? ? cn ? c1 ? c1 ? ( ) c1 ? ? ? ( ) c1 ? 1 1 3 2 2 2 1? 2

另证:由 cn ?

2n (2 ? 1)(2
n n ?1

? 1)

?

1 2 ?1
n

?

1 2
n ?1

?1



所以 c1 ? c2 ? ? ? cn ? (
1 2 ?1
n

1 2 ?1 ? 1?
1

?

1 2 ?1 1
2

)?(

1 2 ?1 4 . 3
2

?

1 2 ?1
3

) ??

?

1 2
n ?1

?1

2

n ?1

?1

?1?

20. 当 1 ≤ x ≤ 2 时, f ( x) ? c ? ln x , 当 c ≤ 0 时, c ? ln x ≤ 0 恒成立, f ( x) ≤ 0 ? 2 , 此时 f ( x) 在 [?1, 2] 上的最大值为 f (?1) ? 2 ; 当 c ? 0 时, f ( x) ? c ? ln x 在 [1, 2] 上单调递增,且 f (2) ? c ? ln 2 . 令 c ? ln 2 ? 2 ,则 c ?

2 2 ,所以当 c ? 时, ln 2 ln 2

f ( x) 在 [?1, 2] 上的最大值为 f (2) ? c ? ln 2 ;
当0 ? c≤

2 时, f ( x) 在 [?1, 2] 上的最大值为 f (?1) ? 2 . ln 2 2 时, f ( x) 在 [?1, 2] 上的最大值为 2 ; ln 2

综上可知,当 c ≤ 当c ?

2 时, f ( x) 在 [?1, 2] 上的最大值为 c ? ln 2 . ln 2
?? x3 ? x 2 ,??( x ? 1) ?c ln x,??( x ≥ 1)
,根据条件 M , N 的横坐标互为相反数,不妨设

⑶ f ( x) ? ?

M (?t , t 3 ? t 2 ) ,

N (t , f (t )) , (t ? 0) .
第页 12

若 t ? 1 ,则 f (t ) ? ?t ? t ,
3 2

由 ?MON 是直角得, OM ? ON ? 0 ,即 ?t ? (t ? t )(?t ? t ) ? 0 ,
2 3 2 3 2

???? ? ????

即 t ? t ? 1 ? 0 .此时无解;
4 2

若 t ≥ 1 ,则 f (t ) ? c ? ln t . 由于 MN 的中点在 y 轴上,且 ?MON ? 90 ,所以 N 点不可能在 x 轴
?

上,即 t ? 1. 同理有 OM ? ON ? 0 ,即 ?t ? (t ? t ) ? c ln t ? 0 ,
2 3 2

???? ? ????

c?

1 . 由于函数 (t ? 1) ln t

g (t ) ?

1 (t ? 1) 的值域是 (0, ??) ,实数 c 的取值范围是 (0, ??) 即为所求. (t ? 1) ln t

第页

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