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不等式的应用(恒成立问题)


不等式的应用 ——含参数恒成立问题 ——含参数恒成立问题

恒成立, 的范围. 例1:当 x ∈ [1, 2] 时, ? 2 > 0恒成立,求a 的范围. ax 从数的角度: ax ? 2 > 0 的角度: Q

∴ ax > 2 又Q x > 0

2 1 ?1 ? ∴a > Q x ∈ [1, 2] ∴ ∈ ? ,1? x x ?2 ? 2 ∴ a > ∈ [1, 2] ∴ a > 2 x

结论1:(变量分离法) 结论1:(变量分离法)将不等式中的两个变量分别 变量分离法 置于不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的 置于不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的 最值问题求解 求解。 最值问题求解。 若 a > f ( x) ,则 a > ? f ( x ) ? ? ? max 若 a < f ( x ) ,则 a < ? f ( x ) ? ? ? min

例1:当 x ∈ [1, 2] 时, ? 2 > 0恒成立,求a 的范围. 恒成立, 的范围. ax

f 从形的角度: 当 x ∈ [1, 2]时, ( x ) = ax ? 2 > 0 恒成立, 的角度: 恒成立, 求 a的范围 y

o -2

1 2

x

? f (1) > 0 ? ?a ? 2 > 0 ?a > 2 ?? ?? ?a>2 ? ? f ( 2) > 0 ? 2a ? 2 > 0 ? a > 1 ?

思考: 思考:当 x ∈ [ m, n] 时,ax + b > 0 恒成立的条件
从形的角度: 考虑 f ( x ) = ax + b 的图象 的角度: y y y

o m n

x

o m n

x

o m n

x

结论2: 结论2

? f ( m) > 0 当 x ∈ [ m, n ]时,f ( x ) = ax + b > 0 恒成立的条件有 ? ? f ( n) > 0 ? f ( m) < 0 同理,当 x ∈ [ m, n] 时恒有f ( x ) = ax + b < 0 ,则有 ? 同理, ? f ( n) < 0

? f ( m) > 0 结论2 当 结论2: x ∈ [ m, n]时,f ( x ) = ax + b > 0 恒成立的条件有 ? f (n) > 0 ?

x 2 + xp + 1 > p ? 2 x 恒成立,求 x 的范围。 恒成立, 的范围。 例2: 若 p ≤ 2 ,
解:原不等式 ? x 2 + xp + 1 ? p + 2 x > 0 不等式即

( x ? 1) p + ( x 2 + 2 x + 1) > 0

2 设 f ( p ) = ( x ? 1) p + x + 2 x + 1 > 0 ,对p ∈ [ ?2, 2] 上恒成立, 上恒成立,

(

)

? f (?2) > 0 ? x2 + 3 > 0 ? 故有: 故有: ? ? f (2) > 0 即 ? x 2 + 4 x ? 1 > 0 ? ? ?x ∈ R ? 解得: 解得: ∴ x > 5 -2或 x < ? 5 ? 2 ? ? x > 5 -2或 x < ? 5 ? 2 ?
.

恒成立, 的范围。 例2:若 p ≤ 2 , x 2 + xp + 1 > p ? 2 x 恒成立,求 x 的范围。 例3:不等式 x 2 + xp + 1 > p ? 2 x 对 x ∈ R 恒成立,求 p 的范围。 恒成立, 的范围。
2 恒成立, 解:原不等式等价于 x + ( p + 2 ) x + 1 ? p > 0 对x ∈ R 恒成立,

2 恒成立, 设 f ( x ) = x + ( p + 2 ) x + 1 ? p > 0 对 x ∈ R 恒成立,

即 解得

? = ( p + 2 ) ? 4 (1 ? p ) < 0
2

?8 < p < 0

结论3 结论3:(二次函数型) 二次函数型) 对 x ∈ R有ax 2 + bx + c > 0(a ≠ 0)

ax 2 + bx + c < 0(a ≠ 0) 恒成立的条件 或
从形的角度: 的角度:

f ( x ) = ax 2 + bx + c > 0(a ≠ 0) 或 f ( x ) = ax + bx + c < 0(a ≠ 0) y y x o x o
2

?a > 0 ? ?? < 0



?a < 0 ? ?? < 0

2 例3:不等式 x + xp + 1 > p ? 2 x 对 x ∈ R 恒成立,求 p 的范围。 恒成立, 的范围。

变式: 恒成立, 的范围。 变式:不等式 x 2 + xp + 1 > p ? 2 x 对 x ∈ (1, +∞ ) 恒成立,求 p的范围。 f ( x ) = x2 + ( p + 2) x + 1 ? p > 0 对 解:原不等式可转化为 ⅰ)当 ⅰ)当 ? = ( p + 2 ) ? 4 (1 ? p ) < 0时,即?8 < p < 0 时,对一切
2

x ∈ (1, +∞ ) 恒成立

f ( x ) > 0恒成立; 恒成立;
2

ⅱ)当 ? = ( p + 2 ) ? 4 (1 ? p ) ≥ 0 时由图可得以下充要条件: 时由图可得以下充要条件: y ?
?? ≥ 0 ? ? f (1) ≥ 0 得 ? p+2 ?? ≤ 1, ? 2

p≥0
o 1 x

综合可得 p 的取值范围为( ?8, +∞ ) . 结论4:二次函数型在指定区间上的恒成立问题, 结论 :二次函数型在指定区间上的恒成立问题,可以利用根的 分布求解。 分布求解。

变式: 恒成立, 的范围。 变式:不等式 x 2 + xp + 1 > p ? 2 x 对 x ∈ (1, +∞ ) 恒成立,求 p的范围。 另解: 另解:原不等式可等价于 ( x ? 1) p > ? ( x 2 + 2 x + 1)

Qx >1
2

∴ x ?1 > 0
2

x + 2 x + 1 ( x ? 1) + 4 ( x ? 1) + 4 4 ? ? p>? =? = ? ?( x ? 1) + 4 + 则 x ?1 x ?1 x ? 1? ? ?
4 Q ( x ? 1) + 4 + ≥ 4+2 x ?1 4 +8 ( x ? 1) × x ?1

4 ? ? ∴? ?( x ? 1) + 4 + 时取等号) ? ≤ ?8 (当且仅当 x = 3 时取等号) x ? 1? ?

∴ p > ?8

一次函数型

二次函数型
求函数最值

从数的角度: 的角度: 变量分离法

从形的角度: 的角度: 图象法(函数性质及图象) 图象法(函数性质及图象) 设函数 步骤: 步骤: 画图 列式

例4:设 lg x ? 3 + x + 7 ? a > 0 ,如果 : 的范围. 求 a 的范围

(

)

x∈R

恒成立, 恒成立,

解:原不等式等价于 lg ( x ? 3 + x + 7 ) > a 设 f ( x) = x ? 3 + x + 7 , 可求得 f ( x ) ≥ 10

∴ lg ( x ? 3 + x + 7 ) ≥ lg10 = 1

∴a < 1

恒成立, 的范围。 例5:当 x ∈ (1, 2]时,不等式( x ? 1) < log a x 恒成立,求 a 的范围。 :
2

解:设 y1 = ( x ? 1) , y2 = log a x 则 y1 的图象为下图所示的抛物线, 的图象为下图所示的抛物线,
2

y

y1=(x-1)2

y

y1=(x-1)2 y2=logax

1 o

1 1 2 x y2=logax o 1 2 x

0 < a <1

a >1

∴ log a 2 > 1且a > 1 ∴1 < a < 2 结论5:若能画出不等号两边函数的图象, 结论 :若能画出不等号两边函数的图象,则可以通过图 象法解题。 象法解题。

y 显然 a > 1 , 要使对一切 x ∈ (1, 2] , 1 < y2 恒成立, 恒成立, y 并且必须也只需当 x = 2 时, 2 的函数值大于 y1的函数值。 的函数值。

反思总结: ? 含参数恒成立问题基本方法 含参数恒成立问题基本方法:
变量分离法 从数的角度: 的角度: 求函数最值

从形的角度: 的角度: 图象法(函数性质及图象) 图象法(函数性质及图象) 设函数 步骤: 步骤: 画图 列式

? 数学思想:转化、数形结合、分类讨论等 数学思想: 转化、数形结合、


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