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【步步高 通用(理)】2014届高三《考前三个月》专题复习篇【配套课件】专题二 第一讲_图文

思想解读

专题二 第一讲

专题二

集合与常用逻辑用语、不等式、函数 与导数 第一讲 集合与常用逻辑用语

本 讲 栏 目 开

1.集合的概念、运算 (1)集合元素的三个特性:确定性、互异性、无序性,是 判断某些对象能否构成一个集合或判断两集合是否相 等的依据 . (2)集合的表示方法:列举法、描述法、图示法.

思想解读

专题二 第一讲

(3)集合间的关系:子集、真子集、空集、集合相等,在集 合间的运算中要注意空集的情形 .
本 讲 栏 目 开

(4)重要结论: A∩ B= A? A? B; A∪ B= A? B?A. 2.命题 (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)含有量词的命题的否定: ? x∈ M, p(x)的否定是? x∈ M,綈 p(x); ? x∈ M, p(x)的否定是? x∈ M,綈 p(x).

思想解读

专题二 第一讲

3.充要条件 设集合 A= {x|x 满足条件 p}, B={x|x 满足条件 q},则有
本 讲 栏 目 开

从逻辑观点看 p 是 q 的充分不必要条件 (p? q, q? p) p 是 q 的必要不充分条件 (q? p, p? q) p 是 q 的充要条件 (p? q) p 是 q 的既不充分也不必要条件 (p?q, q? p)

从集合观点看 A? B B? A A= B A 与 B 互不包含

真题感悟

专题二 第一讲

1.(2013· 辽宁)已知集合 A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则
本 讲 栏 目 开

A∩B 等于 A.(0,1) B.(0,2] C.(1,2) D.(1,2]

( D )

解析 A={x|1<x<4}, B={x|x≤2}, ∴A∩B={x|1<x≤2}.

真题感悟

专题二 第一讲

2.(2013· 北京)“φ=π”是“曲线 y= sin(2x+φ)过坐标原点” 的
本 讲 栏 目 开

( A ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

解析 当 φ=π 时,y=sin(2x+φ)=-sin 2 x 过原点.当曲线 过原点时,φ=kπ,k∈Z,不一定有 φ=π.∴“φ=π”是“曲 线 y=sin(2x+φ)过原点”的充分不必要条件.

真题感悟

专题二 第一讲

3.(2013· 四川 )设 x∈ Z,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数集 .若 命题 p: ? x∈ A,2x∈ B,则
本 讲 栏 目 开

( D ) B.綈 p:? x? A,2x? B D.綈 p: ? x∈ A,2x? B

A.綈 p: ? x∈ A,2x∈ B C.綈 p: ? x? A,2x∈ B

解析 命题 p:?x∈A,2x∈B 是一个全称命题,其命题的否 定綈 p 应为?x∈A,2x?B,选 D.

真题感悟
4.(2013· 天津)已知下列三个命题:

专题二 第一讲

1 1 ①若一个球的半径缩小到原来的 ,则其体积缩小到原来的 ; 2 8 ②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等; 1 2 2 ③直线 x+y+1=0 与圆 x +y = 相切. 2 其中真命题的序号是 A.①②③ C.①③ B.①② D.②③ ( )

本 讲 栏 目 开

4 ?R?3 1 4 3 解析 对于命题①,设球的半径为 R,则3π? 2? =8· 3πR ,故 ? ? 1 体积缩小到原来的8,命题正确;

真题感悟

专题二 第一讲

对于命题②, 若两组数据的平均数相同, 则它们的标准差不一 定相同, 例如数据 1,3,5 和 3,3,3 的平均数相同, 但标准差不同,
本 讲 栏 目 开

命题不正确;

1 对于命题③,圆 x +y =2的圆心(0,0)到直线 x+y+1=0 的距 1 2 离 d= = 2 ,等于圆的半径,所以直线与圆相切,命题正确. 2
2 2

答案 C

真题感悟

专题二 第一讲

5.(2013· 四川 )设 P1,P2,?,Pn 为平面 α 内的 n 个点,在平面 α 内的所有点中,若点 P 到点 P1, P2,?,Pn 的距离之和 最小,则称点 P 为点 P1,P2,?,Pn 的一个“中位点”.
本 讲 栏 目 开

例如,线段 AB 上的任意点都是端点 A、B 的中位点.现有下 列命题: ①若三个点 A,B,C 共线,C 在线段 AB 上,则 C 是 A,B, C 的中位点; ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点; ③若四个点 A,B,C,D 共线,则它们的中位点存在且唯一; ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点 . 其中的真命题是 ________.(写出所有真命题的序号 )

真题感悟
解析

专题二 第一讲

∵|CA|+ |CB|≥ |AB|,当且仅当点 C 在线段 AB 上等号

成立,即三个点 A,B,C,

∴点 C 在线段 AB 上,
本 讲 栏 目 开

∴点 C 是 A,B,C 的中位点,故①是真命题.
如图(1),在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,P 是 AB 的 中点,CH⊥AB,点 P,H 不重合,则|PC|>|HC|.

又|HA |+|HB |=|PA |+|PB |=|AB |, ∴|HA |+|HB |+|HC|<|PA |+|PB |+|PC|,
∴点 P 不是点 A,B,C 的中位点,故②是假命题.

真题感悟

专题二 第一讲

如图(2),A,B,C,D 是数轴上的四个点,若 P 点在线段 BC 上,则|PA|+|PB|+ |PC|+|PD|= |AD|+ |BC|,由中位点的定义 及①可知,点 P 是点 A,B,C,D 的中位点.显然点 P 有无数 个,故③是假命题.
本 讲 栏 目 开

如图(3),由①可知,若点 P 是点 A,C 的中位 点,则点 P 在线段 AC 上,若点 P 是点 B,D 的中位点,则点 P 在线段 BD 上,∴若点 P 是 点 A,B,C,D 的中位点,则 P 是 AC,BD 的交点,∴梯形 对角线的交点是梯形四个顶点的唯一中位点,故④是真命题.

答案 ①④

题型与方法

专题二 第一讲

题型一
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集合的概念与运算问题

例 1 (1)(2012· 湖北)已知集合 A= {x|x2-3x+2=0,x∈R},B ={x|0<x<5,x∈N}, 则满足条件 A? C?B 的集合 C 的个数 为 A.1 B.2 C.3 D.4 ( D.{6} ) ( )

(2)定义 A- B={x|x∈A 且 x? B},若 M={1,2,3,4,5},N= {2,3,6},则 N- M 等于 A.M B.N C.{1,4,5}

题型与方法

专题二 第一讲

审题破题 (1)先对集合 A、B 进行化简,注意 B 中元素的性 质,然后根据子集的定义列举全部适合条件的集合 C 即可. (2)透彻理解 A-B 的定义是解答本题的关键, 要和补集区别开来.
解析 (1)由 x2-3x+2=0 得 x=1 或 x=2,∴A={1,2}.
本 讲 栏 目 开

由题意知 B={1,2,3,4},∴满足条件的 C 可为{1,2},{1,2,3}, {1,2,4},{1,2,3,4}.
(2)N-M={x|x∈N 且 x?M}.
∵2∈N 且 2∈M,∴2?N-M; 3∈N 且 3∈M,∴3?N-M;

6∈N 且 6?M,∴6∈N-M.
∴故 N-M={6}.
答案 (1)D

(2)D

题型与方法

专题二 第一讲

反思归纳
本 讲 栏 目 开

(1)解答集合间关系与运算问题的一般步骤:先正

确理解各个集合的含义, 认清集合元素的属性; 再依据元素的 不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解. (2)两点提醒:①要注意集合中元素的互异性;②当 B?A 时, 应注意讨论 B 是否为?.

题型与方法

专题二 第一讲
? ? 2- x ? ? S={x|log2(x+1)>0},T=?x| <0?, ? ? 2+ x ? ?

变式训练 1 若集合 则 S∩T 等于
本 讲 栏 目 开

( D ) B.(0,2) D.(2,+∞)

A.(-1,2) C.(-1,+∞)

解析 S={x|x+1>1}={x|x>0},
T={x|x>2 或 x<-2}. ∴S∩T={x|x>2}.

题型与方法
题型二 命题的真假与否定问题

专题二 第一讲

例 2 下列叙述正确的个数是 l∥ α;

(

)

① l 为直线,α、β 为两个不重合的平面,若 l⊥ β,α⊥ β,则
本 讲 栏 目 开

②若命题 p:? x0∈ R, x2 0- x0+ 1≤ 0,则綈 p:? x∈ R, x2- x+ 1>0; 1 ③在△ ABC 中,“∠ A= 60° ”是“ cos A= ”的充要条件; 2 ④若向量 a, b 满足 a· b<0,则 a 与 b 的夹角为钝角 . A.1 B.2 C.3 D.4

题型与方法

专题二 第一讲

审题破题 判定叙述是否正确, 对命题首先要分清命题的条件 与结论,再结合涉及知识进行判定;对含量词的命题的否定, 要改变其中的量词和判断词.
本 讲 栏 目 开

解析 对于①,直线 l 不一定在平面 α 外,错误;
对于②, 命题 p 是特称命题, 否定时要写成全称命题并改变判 断词,正确;
③注意到△ABC 中条件,正确;
④a· b<0 可能〈a,b〉=π,错误.故叙述正确的个数为 2. 答案 B

题型与方法

专题二 第一讲

反思归纳 (1)命题真假的判定方法: ①一般命题 p 的真假由涉及到的相关知识辨别;
本 讲 栏 目 开

②四种命题的真假的判断根据: 一个命题和它的逆否命题同真 假,而与它的其他两个命题的真假无此规律; ③形如 p∨q, p∧ q,綈 p 命题的真假根据真值表判定. (2)区分命题的否定和否命题;含一个量词的命题的否定一定 要改变量词.

题型与方法

专题二 第一讲

变式训练 2 给出下列命题: ①? x∈ R,不等式 x2+ 2x>4x- 3 均成立; ②若 log2x+ logx2≥ 2,则 x>1; c c ③“若 a>b>0 且 c<0,则 > ”的逆否命题; a b ④若命题 p:? x∈ R, x2+ 1≥ 1,命题 q:? x∈ R, x2- x - 1≤ 0,则命题 p∧綈 q 是真命题 . 其中真命题只有 A.①②③ C.①③④ B.①②④ D.②③④ ( )

本 讲 栏 目 开

题型与方法
解析

专题二 第一讲

①中不等式可表示为(x-1)2+2>0,恒成立;

1 ②中不等式可变为 log2x+ ≥2,得 x>1; log2x
本 讲 栏 目 开

1 1 ③中由 a>b>0,得 < ,而 c<0,所以原命题是真命题,则它 a b 的逆否命题也为真;
? 1?2 5 -x-1=?x-2? -4, ? ?

④中綈 q:?x∈R,x -x-1>0,由于 x

2

2

则存在 x 值使 x2-x-1≤0,故綈 q 为假命题,则 p∧綈 q 为 假命题.

答案 A

题型与方法
题型三 例3 充要条件的判断问题

专题二 第一讲

(1)甲: x≠ 2 或 y≠ 3;乙: x+ y≠ 5,则

(

)

A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件
本 讲 栏 目 开

C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件 (2)设命题 p:|4x- 3|≤ 1; 命题 q:x2- (2a+ 1)x+a(a+ 1)≤ 0, 若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件, 则实数 a 的取值范围是(
? 1? A.?0, ? 2? ? ? 1? B.?0, ? 2? ?

)

?1 ? C.(-∞, 0)∪? ,+∞ ? ?2 ?

?1 ? D.(-∞, 0)∪? ,+∞ ? ?2 ?

题型与方法
审题破题

专题二 第一讲
(1)利用逆否命题判别甲、乙的关系;(2)转化为两

个集合间的包含关系,利用数轴解决. 解析 (1)“甲?乙”,即“x≠2 或 y≠3”?“x+y≠5”,其
逆否命题为:“x+y=5”?“x=2 且 y=3”显然不正确.同
本 讲 栏 目 开

理,可判断命题“乙?甲”为真命题.所以甲是乙的必要不充 分条件.

(2)綈 p:|4x-3|>1;綈 q:x2-(2a+1)x+a(a+1)>0, 1 解得綈 p:x>1 或 x<2;綈 q:x>a+1 或 x<a.
? 1 ?a≤ 若綈 p?綈 q,则? 2 ? ?a+1>1 ? 1 ?a< 1 2 或? ,即 0≤a≤2. ? ?a+1≥1

答案 (1)B (2)A

题型与方法

专题二 第一讲

反思归纳
本 讲 栏 目 开

(1)充要条件判断的三种方法:定义法、集合法、

等价命题法;(2)判断充分、必要条件时应注意的问题:①要 弄清先后顺序: “ A 的充分不必要条件是 B”是指 B 能推出 A, 且 A 不能推出 B;而“ A 是 B 的充分不必要条件”则是指 A 能推出 B,且 B 不能推出 A;②要善于举出反例:如果从正面 判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时, 可以通过举出 恰当的反例来说明.

题型与方法

专题二 第一讲

变式训练 3 (1)(2012· 山东)设 a>0 且 a≠1,则“函数 f(x)= ax 在 R 上是减函数”是“函数 g(x)=(2-a)x3 在 R 上是增函 数”的
本 讲 栏 目 开

( A ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

解析 由题意知函数 f(x)=ax 在 R 上是减函数等价于 0<a<1, 函数 g(x)=(2-a)x3 在 R 上是增函数等价于 0<a<1 或 1<a<2, ∴“函数 f(x)=ax 在 R 上是减函数”是“函数 g(x)=(2-a)x3 在 R 上是增函数”的充分不必要条件.

题型与方法

专题二 第一讲

x (2)设 A={x| <0}, B={x|0<x<m}, 若 B 是 A 成立的必要不 x-1 充分条件,则 m 的取值范围是 A.m<1
本 讲 栏 目 开

( D )

B.m≤ 1 D.m>1

C.m≥1

x 解析 <0?0<x<1. x-1

/ 0<x<1, 由已知得,0<x<m?
但 0<x<1?0<x<m 成立. ∴m>1.

阅卷评析

专题二 第一讲

本 讲 栏 目 开

典例

设非空集合 S={x|m≤ x≤ l}满足: 当 x∈S 时, 有 x2∈ S.

给出如下三个命题: 1 1 ①若 m= 1,则 S={1};②若 m=- ,则 ≤ l≤ 1; 2 4 1 2 ③若 l= ,则- ≤ m≤0. 2 2 其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 ( )

阅卷评析
解析 ①m=1 时,l≥m=1 且 x2≥1,

专题二 第一讲

∴l=1,故①正确.
本 讲 栏 目 开

1 1 1 2 ②m=- 时,m = ,故 l≥ . 2 4 4

又 l≤1,∴②正确.
1 1 2 2 ③l= 时,m ≤ 且 m≤0,则- ≤m≤0, 2 2 2
∴③正确.
答案 D

阅卷评析

专题二 第一讲

得分技巧

创新性试题中最常见的是以新定义的方式给出试

题, 这类试题要求在新的情境中使用已知的数学知识分析解决 问题, 解决这类试题的关键是透彻理解新定义, 抓住新定义的
本 讲 栏 目 开

本质, 判断给出的各个结论, 适当的时候可以通过反例推翻其 中的结论 . 阅卷老师提醒 在给出的几个命题中要求找出其中正确命题 类的试题实际上就是一个多项选择题, 解答这类试题时要对各 个命题反复进行推敲, 确定可能正确的要进行严格的证明, 确 定可能错误的要举出反例,这样才能有效避免答错试题.

小题冲关

专题二 第一讲

1.已知集合 A={x|x2+x-2=0},B={x|ax=1},若 A∩B=B,
本 讲 栏 目 开

则 a 等于 1 A.- 或 1 2

( D ) B.2 或-1

1 C.-2 或 1 或 0 D.- 或 1 或 0 2 解析 依题意可得 A∩B=B?B?A.
因为集合 A={x|x2+x-2=0}={-2,1}, 1 当 x=-2 时,-2a=1,解得 a=- ; 2 当 x=1 时,a=1;
又因为 B 是空集时也符合题意,这时 a=0,故选 D.

小题冲关

专题二 第一讲

2.(2013· 浙江)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R), π 则“f(x)是奇函数”是“φ= ”的 ( B ) 2 A.充分不必要条件
本 讲 栏 目 开

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

C.充分必要条件

? π π? 解析 φ=2?f(x)=Acos?ωx+2?=-A sin ωx 为奇函数, ? ? π ∴“f(x)是奇函数”是“φ=2”的必要条件. π 又 f(x)=Acos(ωx+φ)是奇函数?f(0)=0?φ=2+ π kπ(k∈Z)?φ=2. π ∴“f(x)是奇函数”不是“φ=2”的充分条件.

小题冲关

专题二 第一讲

3.(2012· 辽宁 ) 已知命题 p: ? x1 , x2∈ R, (f(x2)- f(x1))· (x2- x1)≥ 0,则綈 p 是 A.? x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤ 0 B.?x1,x2∈R,(f(x2)- f(x1))(x2-x1)≤ 0 C.? x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 D.? x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 ( C )

本 讲 栏 目 开

解析 根据全称命题的否定是特称命题知. 綈 p:?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0.

小题冲关

专题二 第一讲

4.已知集合 P= {x|x2≤ 1}, M={a}.若 P∪ M= P,则 a 的取值 范围为
本 讲 栏 目 开

( C ) B.[1,+∞ ) D.(-∞,- 1]∪ [1,+∞ )

A.(-∞,- 1] C.[- 1,1]

解析 由 P={x|x2≤1}得 P={x|-1≤x≤1}.
由 P∪M=P 得 M?P.又 M={a},∴-1≤a≤1.

小题冲关
5.下列命题中错误的是 x≠ 2,则 x2- 5x+ 6≠ 0” B.若
本 讲 栏 目 开

专题二 第一讲
( C )

A.命题“若 x2- 5x+ 6= 0,则 x= 2”的逆否命题是“若
?x+ y? ?2 x,y∈ R,则“ x= y”是“ xy≤? ? 2 ? 中等号成立”的 ? ?

充要条件 C.已知命题 p 和 q,若 p∨ q 为假命题,则命题 p 与 q 中必 一真一假 D.对命题 p:? x∈ R,使得 x2+ x+ 1<0,则綈 p:? x∈ R, x2+ x+ 1≥ 0
解析 易知选项 A,B,D 都正确;选项 C 中,若 p∨q 为 假命题,根据真值表,可知 p,q 必都为假,故 C 错.


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