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1993年考研数学三真题及全面解析汇报

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1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分,把答案填在题中横线上.)

(1)

3x2 ? 5 2

lim

sin ?

.

x?? 5x ? 3 x

(2)

已知 y ?

f

? ??

3x 3x

? ?

2 2

? ??

,

f ?? x? ? arctan x2, 则 dy
dx

x?0

?

.

? (3) 级数 ? (ln 3)n 的和为
2n
n?0

.

(4) 设 4 阶方阵 A 的秩为 2 ,则其伴随矩阵 A* 的秩为

.

(5) 设总体 X 的方差为 1,根据来自 X 的容量为 100 的简单随机样本,测得样本均值为 5,则

X 的数学期望的置信度近似等于 0.95 的置信区间为

.

二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

?

(1)



f

?x? ?

? ?

1 x sin x2 ,

x ? 0, 则 f ? x? 在点 x ? 0 处

??0,

x ? 0,

(A) 极限不存在 (C) 连续但不可导

(B) 极限存在但不连续 (D) 可导

()

? (2) 设 f ? x? 为连续函数,且 F ? x? ?

ln x 1

f

?t ?dt,



F?? x? 等于

x

()

(A)

1 x

f

?ln

x? ?

1 x2

f

? ??

1 x

? ??

(B)

1 x

f

?ln x? ?

f

? ??

1? x ??

(C)

1 x

f

?ln

x? ?

1 x2

f

? ??

1 x

? ??

(D)

f

?ln

x?

?

f

? ??

1 x

? ??

(3) n 阶方阵 A 具有 n 个不同的特征值是 A 与对角阵相似的

(A) 充分必要条件

(B) 充分而非必要条件

(C) 必要而非充分条件

(D) 既非充分也非必要条件

(4) 假设事件 A 和 B 满足 P(B A) ?1 ,则

() ()

(A) A 是必然事件 (C) A ? B

(B) P(B A) ? 0 . (D) A ? B

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(5) 设随机变量 X 的密度函数为 ?(x) ,且 ?(?x) ? ?(x) . F(x) 是 X 的分布函数,则对任

意实数 a ,有
a
? (A) F (?a) ? 1? ?(x)dx . 0
(C) F(?a) ? F(a)

? (B)

F(?a) ? 1 ?

a
?(x)dx

20

(D) F(?a) ? 2F(a) ?1

()

三、(本题满分 5 分)
设 z ? f ? x, y? 是由方程 z ? y ? x ? xez?y?x ? 0 所确定的二元函数,求 dz .

四、(本题满分 7 分)

? 已知

lim
x??

? ??

x x

? ?

a a

?x ??

?

?? 4x2e?2xdx ,求常数 a 的值.
a

五、(本题满分 9 分)
设某产品的成本函数为 C ? aq2 ? bq ? c, 需求函数为 q ? 1 (d ? p),其中 C 为成本, q e
为需求量(即产量), p 为单价, a,b, c, d, e 都是正的常数,且 d ? b ,求:
(1) 利润最大时的产量及最大利润; (2) 需求对价格的弹性; (3) 需求对价格弹性的绝对值为 1 时的产量.
六、(本题满分 8 分)
假设:(1) 函数 y ? f (x)(0 ? x ? ??) 满足条件 f (0) ? 0 和 0 ? f (x) ? ex ?1 ;
(2) 平行于 y 轴的动直线 MN 与曲线 y ? f (x) 和 y ? ex ?1分别相交于点 P1 和 P2 ;
(3) 曲线 y ? f (x) ,直线 MN 与 x 轴所围封闭图形的面积 S 恒等于线段 P1P2 的长度.
求函数 y ? f (x) 的表达式.

七、(本题满分 6 分)
假设函数 f (x) 在[0,1] 上连续,在 (0,1) 内二阶可导,过点 A(0, f (0)) 与 B(1, f (1)) 的直 线与曲线 y ? f (x) 相交于点 C(c, f (c)) ,其中 0 ? c ?1.
证明:在 (0,1) 内至少存在一点? ,使 f ??(? ) ? 0 .

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八、(本题满分 10 分)
k 为何值时,线性方程组

????xx11

? ?

x2 ? kx3 kx2 ? x3

? ?

4, k2

,

?? x1 ? x2 ? 2x3 ? ?4

有惟一解,无解,有无穷多组解?在有解情况下,求出其全部解.

九、(本题满分 9 分) 设二次型
f ? x12 ? x22 ? x32 ? 2? x1x2 ? 2? x2 x3 ? 2x1x3
经正交变换 X ? PY 化成 f ? y22 ? 2 y32 ,其中 X ? (x1, x2 , x3 )T 和 Y ? ( y1, y2 , y3 )T 是三维列
向量, P 是 3 阶正交矩阵.试求常数?, ? .

十、(本题满分 8 分)
设随机变量 X 和Y 同分布, X 的概率密度为

f

(

x)

?

? ? ?

3 8

x2

,

0 ? x ? 2,

?? 0, 其他.

(1) 已知事件 A ? ?X ? a?和 B ? ?Y ? a?独立,且 P ? A
(2) 求 1 的数学期望. X2

B? ? 3 .求常数 a.
4

十一、(本题满分 8 分)
假设一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N ?t ? 服从参数为 ?t 的泊松分
布.
(1) 求相继两次故障之间时间间隔T 的概率分布; (2) 求在设备已经无故障工作 8 小时的情形下,再无故障运行 8 小时的概率 Q .

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1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析

一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)

(1)【答案】 6 5

【解析】

lim
x??

3x2 ? 5 5x ? 3

sin

2 x

?

2

lim
x??

3x2 ? 5 5x2 ? 3x

?

lim
x??

sin 2

2 x

,

x

极限

sin 2

lim
x??

x 2

? lim sin t t?0 t

?1,



lim 3x2 ? 5 洛 lim 6x ? 3 , x?? 5x2 ? 3x x?? 10x 5

x

所以

lim 3x2 ? 5 sin 2 ? 2 ? 3 ?1 ? 6 .

x?? 5x ? 3 x 5 5

(2)【答案】 3? 4

【解析】令 g ? x? ? 3x ? 2 , 则有 g ?0? ? ?1,
3x ? 2

g??

x?

?

12
?3x ? 2?2

,则

g??0? ? 3,

由复合函数求导法则知

dy ? f ?? g ?0?? g??0? ? 3 f ???1? ? 3arctan1 ? 3? .

dx x?0

4

(3)【答案】 2 2 ? ln 3

??
【解析】利用几何级数求和公式 xn ?

1

( x ? 1), 令 x ? ln 3 ,即得

n?0

1? x

2

?? (ln 3)n ? 1 ? 2 .

2n
n?0

1? ln 3 2 ? ln 3

2

(4)【答案】 0
【解析】本题考查伴随矩阵的定义及矩阵的秩的定义.

由于 r ? A? ? 2 ,说明 A 中 3 阶子式全为 0,于是 A 的代数余子式 Aij ? 0, 故 A* ? 0 .

? ? 所以秩 r A* ? 0.

若熟悉伴随矩阵 A* 秩的关系式

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? ? 易知 r A* ? 0.

?n, r ? A? ? n,

r

?

A*

?

?

? ?1,

r ? A? ? n ?1,

??0, r ? A? ? n ?1,

注:按定义

? A11 A21

A*

?

? ?

A12

A22

?

? ?

A1n

A2n

An1 ?

An

2

? ?

,

?

Ann

? ?

伴随矩阵是 n 阶矩阵,它的元素是行列式 A 的代数余子式,是 n ?1阶子式.

(5)【答案】 (4.804,5.196)

【解析】此题是求一个一般总体、大样本、方差已知的关于期望值 ? 的置信区间,可以
用正态总体的区间估计公式近似求其置信区间.
因 X 的方差为? ?1,设 X 的期望为 ? ,则U ? X ? ? N(0,1) . ?/ n
当置信度为1?? ? 0.95 ,时? ? 0.05,有正态分布表知 u? ? u0.025 ? 1.96 .因此用公式:
2

I

? (x ?

? n

u?
2

,

x

?

? n

u?
2

)

.

将 x ? 5,? ? 1, n ? 100,u? ? 1.96 代入上式,得到所求的置信区间为 I ? (4.804,5.196) .
2

二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)

(1)【答案】(C)

【解析】利用函数连续定义判定.

由于当 x

? 0 时, sin

1 x2

为有界变量,

x 为无穷小量,则

lim f ? x? ? lim

x?0

x?0

x

sin

1 x2

? 0 ,且

f

?0? ? 0.

于是 f ? x? 在 x ? 0 处连续.故(A)(B)不正确.

又因为 lim x?0?

x

sin

1 x2

?

f

?0?

?

lim

x?0

x?0?

1

x sin x2 ? lim

x

x?0?

1 sin x

1 x2

不存在,所以

f

?x?

在 x ? 0 处不可导,所以选(C).

【相关知识点】函数连续定义:如果函数在

x0

处连续,则有

lim
x?x0 ?

f

(x)

?

lim
x?x0 ?

f

(x)

?

f

(x0 ) .

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(2)【答案】(A)

【解析】

F??x? ?

f

?ln x? 1 ?
x

f

? ??

1 x

? ??

? ??

?

1 x2

? ??

?

f

?ln x? ?
x

1 x2

f

? ??

1 x

??? .

【相关知识点】积分上限函数的求导公式:

d dx

??x?
?? ? x?

f

?t ?dt

?

f

??

? x?? ? ?? x? ?

f

??

? x??? ?? x? .

(3)【答案】(B)

【解析】 A ? ? A 有 n 个线性无关的特征向量.

由于当特征值 ?1 ? ?2 时,特征向量?1,?2 线性无关.从而知,当 A 有 n 个不同特征值时,
矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量,那么矩阵 A 可以相似对角化. 因为当 A 的特征值有重根时,矩阵 A 仍有可能相似对角化(当特征根的代数重数等于其
几何重数的时候),所以特征值不同仅是能相似对角化的充分条件,故应选(B). (4)【答案】(D)

【解析】P(B A) ?1 的充分必要条件是 P( AB) ? 1 ,即 P(AB) ? P(A) .显然四个选项中, P( A)

当 A ? B 时, AB ? A ,可得 P( AB) ? P( A) .因此 A ? B 是 P(B A) ?1 的充分条件.因此

选(D). (5)【答案】(B)
【解析】题目即考查概率论方面的知识,在计算过程中又用到定积分的一些知识. 由积分的性质,换元积分,并改变积分上下限有

?a

x??t a

??

? ? ? F(?a) ? ?(x)dx ? ? ?(t)dt ? ?(x)dx,

??

??

a

??
? 随机变量 X 的密度函数为?(x) ,则 ?(x)dx ? 1,又由于?(?x) ? ?(x) ,所以 ??

? ? 0
?(x)dx ?

??
?(x)dx

?

1

,(偶函数积分的性质)

??

0

2

? ? ? ? 即

?a
?(x)dx ?

0

a

?(x)dx ? ?(x)dx ?

??
?(x)dx

?

1

.

??

?a

0

a

2

? ? ? ? ? 于是

F(?a) ?

?a
?(x)dx ?

??
?(x)dx ?

??
?(x)dx ?

a
?(x)dx

?

1

?

a
?(x)dx .

??

a

0

0

20

故应选(B).

三、(本题满分 5 分) 【解析】方法一:利用一阶微分形式的不变性,将方程两端微分,得
dz ? dy ? dx ? ez?y?xdx ? xez?y?x ?dz ? dy ? dx? ? 0.

整理后得

? ? ? ? ? ? 1? xez?y?x dz ? 1? xez?y?x ? ez?y?x dx ? 1? xez?y?x dy.

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由此,得 dz

?

1?

xez? y?x ? ez? y?x 1? xez? y?x

dx

?

dy

.

方法二:应先求出函数对 x, y 的偏导数,将 z ? y ? x ? xez?y?x ? 0 两边分别对 x, y 求偏导,

? ? z?x ?1? ez? y?x ? xez? y?x z?x ?1 ? 0,
? ? z?y ?1? xez?y?x z?y ?1 ? 0,

解之得

? ? 1? x ?1 ez? y?x
z?x ? 1 ? xez? y?x ,

z?y ? 1.



dz

?

z?xdx

?

z?y dy

?

1? ? x
1?

? ?1 ez? y?x
xez? y?x

dx

?

dy

.

四、(本题满分 7 分)

【解析】

lim
x??

? ??

x?a x?a

?x ? ?

?

lim
x??

???1

?

2a x?a

?x ? ?

?

lim
x??

???1

?

2a x?a

? , ? ???

?

x?a 2a

???????

?

2ax x?a

? ??

?

令 ? 2a ? t ,则当 x ? ? 时, t ? 0 , x?a

? ? lim
x??

???1

?

2a ?? ??

?

x?a 2a

? ??

x ? a ??

? lim t?0

1? t

1 t

? e,

所以

lim
x??

???1

?

2a x?a

?? ??

?

x?a 2a

???????

?

2ax x?a

? ??

??

?

e xl?im????

?

2ax x?a

? ??

?

e?2a .



? ? ? ?? 4x2e?2xdx ? ?2 a

?? x2de?2x
a

?

???2

x

2e?2

x

??

?? a

?4

?? xe?2xdx
a

? ? ? ? lim ?2b e2 ?2b ? 2a2e?2a ? 2 ?? xde?2x

b???

a

? ? 2a e2 ?2a

?

???2

xe?2

x

??

?? a

?2

?? e?2xdx
a

?

2a2e?2a

?

lim
b???

???2be?2b

?

2ae?2a

??

?

lim
b???

???e?2b

?

e?2a

??

? 2a2e?2a ? 2ae?2a ? e?2a ,

由 e?2a ? 2a e2 ?2a ? 2ae?2a ? e?2a ,得 a2 ? a ? 0 ,所以 a ? 0 或 a ? 1.

五、(本题满分 9 分) 【解析】(1) 利润函数为

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L ? pq ? C ? (d ? eq)q ? (aq2 ? bq ? c) ? (d ? b)q ? (e ? a)q2 ? c ,

对 q 求导,并令 dL ? 0 ,得 dL ? (d ? b) ? 2(e ? a)q ? 0 ,得 q ? d ? b .

dq

dq

2(e ? a)

因为

d2L dq2

?

?2(e

?

a)

?

0, 所以,当

q

?

d ?b 2(e ? a)

时为利润函数的极大值点,根据题意也是利

润的最大值点,所以

Lmax

?

(d ? b)2 4(e ? a)

?

c

.

(2) 因为 q( p) ? 1 (d ? p) ,所以 q?( p) ? ? 1 ,故需求对价格的弹性为? ? p q? ? eq ? d .

e

e

q

eq

(3) 由 ? ?1, 得 q ? d . 2e

六、(本题满分 8 分)

【解析】由题设可得示意图如右.设 P1(x, f (x)), P2 (x, ex ?1) ,则 S ? P1P2 ,



? x f (t)dt ? ex ?1? f (x) . 0

两端求导,得 f (x) ? ex ? f ?(x) ,即 f (x) ? f ?(x) ? ex .

由一阶线性非齐次微分方程求解公式,得

? f (x) ? e?? p(x)dx ( q(x)e? p(x)dxdx ? C)

? ? ? e??dx ( exe?dxdx ? C) ? ( exexdx ? C)e?x ? Ce?x ? 1 ex. 2

由初始条件 f (0) ? 0 ,得 C ? ? 1 .因此,所求函数为 f (x) ? 1 (ex ? e?x ) .

2

2

【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程 y? ? p(x) y ? q(x) 的通解公式为:

? y

?

?
e

?

p( x)dx

(

q(x)e? p(x)dxdx ? C) ,其中 C 为常数.

七、(本题满分 6 分)
【 解 析 】 因 为 f (x) 分 别 在 [ 0,c ]和 [c,1] 上 满 足 拉 格 朗 日 中 值 定 理 的 条 件 , 故 存 在

?1 ? (0, c),?2 ? (c,1) ,使得

f ?(?1) ?

f

(c) c

? ?

f 0

(0)

,

f

?(?2 )

?

f (1) ? f (c) , 1? c

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由于点 C 在弦 AB 上,故有 f (c) ? f (0) ? f (1) ? f (c) ? f (1) ? f (0) ? f (1) ? f (0),

c?0

1? c

1? 0

从而

f ?(?1) ? f ?(?2 ) ? f (1) ? f (0).

这表明 f ?(x) 在区间[?1,?2 ] 上满足罗尔定理的条件,于是存在? ? (?1,?2 ) ? (0,1) ,使得

f ??(? ) ? 0 .

八、(本题满分 10 分) 【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换,
第一行和第三行互换,再第一行分别乘以 ?1? 、??1? 加到第二行和第三行上,再第二行和

第三行互换,再第二行乘以

? ??

1

? 2

k

? ??

加到第三行上,有

? 1 1 k 4 ? ? 1 ?1 2 ?4?

A ? ???1 k 1

k

2

? ?

?

???1

k

1

k

2

? ?

?? 1 ?1 2 ?4?? ?? 1 1 k 4 ??

?1 ?1 2 ? ??0 k ?1 3
??0 2 k ? 2

?4 ? ?1 ?1 2 k 2 ? 4?? ? ??0 2 k ? 2
8 ?? ??0 k ?1 3

?

?1 ?1

2

? ??0 2

k ?2

? ?0

0

(1? k)(4 ? k)

?

2

?

?4 ?

8

? ?

.

?

k(k ? 4)? ?

(1)当 k ? ?1且 k ? 4时, r( A) ? r( A) ? 3 ,方程组有唯一解,即

?4 ?

8

? ?

k 2 ? 4??

x1

?

k 2 ? 2k k ?1

,

x2

?

k2

? 2k ? k ?1

4

,

x3

?

?2k . k ?1

(2)当 k ? ?1时, r( A) ? 3, r( A) ? 2 方程组无解.

?1 ?1 2 ?4? ?1 0 3 0?

(3)当 k ? 4 时,有 A ? ??0 2 2

8

? ?

?

??0

1

1

4?? .

??0 0 0 0 ?? ??0 0 0 0??

因为 r( A) ? r( A) ? 2 ? 3 ,方程组有无穷多解.

取 x3 为自由变量,得方程组的特解为? ? (0, 4, 0)T .
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又导出组的基础解系为? ? (?3, ?1,1)T ,所以方程组的通解为? ? k? ,其中 k 为任意常数.
【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理:
设 A 是 m ? n 矩阵,线性方程组 Ax ? b 有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广
矩阵 A ? ? A b? 的秩,即 r( A) ? r( A) .(或者说, b 可由 A 的列向量?1,?2 , ,?n 线表出,亦

等同于?1,?2 , ,?n 与?1,?2 , ,?n , b 是等价向量组) 设 A 是 m ? n 矩阵,线性方程组 Ax ? b ,则

(1) 有唯一解

? r( A) ? r( A) ? n.

(2) 有无穷多解 ? r( A) ? r( A) ? n.

(3) 无解

? r( A) ?1 ? r( A).

? b 不能由 A 的列向量?1,?2 , ,?n 线表出.

九、(本题满分 9 分)

?1 ? 1 ? ?0

?

【解析】经正交变换二次型 f 的矩阵分别为 A ? ???

1

?

? ?

,

B

?

? ?

1

? ?

.

?? 1 ? 1 ?? ??

2??

由于 P 是正交矩阵,有 P?1AP ? B ,即知矩阵 A 的特征值是 0,1,2.那么有

?? ?

A

?

2??

??2

?

?2

?

0,

??

?

?

?

0.

?? E ? A ? ?2?? ? 0.

【相关知识点】二次型的定义:含有 n 个变量 x1, x2 , , xn 的二次齐次多项式(即每项都是二

次的多项式)

nn

? ? f ? x1, x2, , xn ? ?

aij xi x j , 其中 aij ? a ji ,

i?1 j?1

? ? 称为 n 元二次型,令 x ? ? x1, x2, ? , xn T , A ? aij ,则二次型可用矩阵乘法表示为

f ? x1, x2, , xn ? ? xT Ax,
? ? 其中 A 是对称矩阵 AT ? A ,称 A 为二次型 f ? x1, x2, , xn ? 的矩阵.

十、(本题满分 8 分)
【解析】(1)依题意,因为随机变量 X 和Y 同分布,则

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P? A? ? P? X ? a? ? P?Y ? a? ? P?B?,

又事件 A ? ?X ? a?和B ? ?Y ? a?独立,故 P? AB? ? P? A? P?B? .

估计广义加法公式:

P?A

B?

?

P?

A?

?

P?

B?

?

P

?

A?

P

?

B?

?

2P

?

A?

?

??P

?

A??? 2

?

3 4

.

解以 P( A) 为未知量的方程

?? P ?

A???2

?

2P

?

A?

?

3 4

?

0. 得

P( A)

?

1 2

,(因

P( A)

?

3 2

不合题

意).

再依题设条件可知

? ? 1 ? P(A) ? P{X ? a} ?

??
f (x)dx ?

2 3 x2dx ? 1 (8 ? a3) .

2

a

a8

8

再解以 a 为未知量的方程: 8 ? a3 ? 4 ,得 a ? 3 4 .
(2) 直接根据公式可求得随机变量函数的数学期望:

? ? ? E

? ??

1 X2

? ??

?

?? ??

1 x2

f

? x? dx

?

2 0

1 x2

?

3 8

x2dx

?

23 dx
08

?

3 8

x

2 0

?

3. 4

十一、(本题满分 8 分)

【解析】本题的关键在于理解随机变量 N ?t ? 的意义,事件{N ?t ? ? k}表示设备在任何长为 t

的时间内发生

k

次故障,其概率为

P{N

?t?

?

k} ?

(?t)k k!

e??t

(k

?

0,1, 2

).

由于T 表示相继两次故障之间时间间隔,故当 t ? 0 时, F ?t? ? P?T ? t? ? 0; 当 t ? 0 时,

事件?T ? t? 与?T ? t?是互逆事件,并且?T ? t? 表示在长为 t 的时间内没有发生故障,它等

价于事件 N ?t? ? 0 .
(1)易见T 是只取非负值的连续型随机变量.
当 t ? 0 时, F ?t? ? P?T ? t? ? 0;

当 t ? 0 时,事件?T ? t? 与?N ?t? ? ?0 等价.于是有

F ?t? ? P?T ? t? ?1? P?T ? t? ?1? P?N ?t? ? 0? ?1? e??t .

因此

F

?t

?

?

?1 ? ?

e??t

,??t

?

0

.

?0,??????????t ? ?

计算得知T 服从参数为 ? 的指数分布.
(2)由于指数分布具有“无记忆性”,因此

Q ? P?T ?16 | T ? 8? ? P?T ? 8? ?1? P?T ? 8? ?1? F(8) ?1? (1? e?8? ) ? e?8? .

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