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周考十九


周考十九 一选择题 1.下列有关命题的说法正确的是 ( )

2 2 A.命题“ ?x ? R , 均有 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R , 使得 x ? x ? 1 ? 0 ”

2 B.“ x ? 3 ”是“ 2 x ? 7 x ? 3 ? 0 ”成立的充分不必要条件

?x ? a ? ?b ? 对 应 的 直 线 一 定 经 过 其 样 本 数 据 点 C . 线 性 回 归 方 程 y

? x1, y1 ? , ? x2 , y2 ? ,?, ? xn , yn ? 中的一个点
D.若“ p ? (?q) ”为真命题,则“ p ? q ”也为真命题 2.已知集合 A ? x | x ? 3 ,B ? x | y ? lg ? x ? 1? ,则集合 A ? B 为( A. 0,3?

?

?

?

?



?

B. 1,3?

?

C. ?1,3?

D. ? ?3,1

?

3 .已知 f ( x) 是定义在 R 上的函数,且 f ( x) 的图像关于坐标原点对称;当 x ? 0 时,

f ( x ) ? ? x 2 ? 2015x .若 f ( 2 ? a 2 ) ? f ( a) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是(
A. ( ??, ?1) ? ( 2, ??) C. ( ?1, 2 )
?



B. ( ??, ?2) ? (1, ??)

D. ( ?2,1)

4.计算 A. ? ? 2

? ? ?1 ? cos x ?dx =(
2 ? 2

) D. ?2

B. ? ? 2

C. ?

3 5.已知点 A(1,2) 在函数 f ( x) ? ax 的图象上,则过点 A 的曲线 C: y ? f ( x) 的切线方程

是( ) A. 6 x ? y ? 4 ? 0 B. x ? 4 y ? 7 ? 0 D. 6 x ? y ? 4 ? 0 或 3x ? 2 y ? 1 ? 0

C. 6 x ? y ? 4 ? 0 或 x ? 4 y ? 7 ? 0

6.函数 y ? cos 2 x 的图象经过下列何种平移可得函数 y ? sin(2 x ?

?
3

) 的图象(



A.向右平移

5? 个单位 12

B.向左平移

? 个单位 6
? 个单位 3

C.向右平移

? 个单位 12

D.向右平移

7. 若将函数 y ? 2sin(4 x ? ? ) 的图象向右平移 的最小值是( A. ) B.

? 个单位, 得到的图象关于 y 轴对称, 则|? | 6

? 6


? 5
中 ,

C.

? 4
,

D.

? 3
设 点 )

8

?ABC

?A ? 90?

AB ? 2, AC ? 1,

P, Q





A ? P?
A.

, A ? B ? (? A1 Q ? ? ) R. 若 BQ A ? CP C ? ?2 ,则 ? ? (
B.

1 3

2 3

C.

4 3

D. 2

9.已知数列 ?an ? 的通项公式是 an ? 2 ? 3n ,则该数列的第五项是( A. ? 13 B. 13
2 2



C. ? 11

D. ? 16

10. 设正实数 x、y、z 满足 x ? 3xy ? 4 y ? z ? 0 , 则当 最大值为( ) A.0 B. 2 C .

z 取得最小值时,x ? 2 y ? z 的 xy

9 8

D.

9 4


11.若双曲线

x2 y2 ? ? 1 的离心率为 2,则其渐近线的斜率为( a2 b2
B. ? 3 C. ?

A. ? 5

3 3

D. ?

5 5

12. i 是虚数单位,

i ?( ) 3 ? 3i
1 3 ? i 4 12
C.

A.

1 3 ? i 4 12

B.

1 3 ? i 2 6

D.

1 3 ? i 2 6

二填空题 13.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_______.

14.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3:3:4,现用分层抽样的方法从该校高 中三个年级的学生中抽取容量为 80 的样本,则应从高一年级抽取 名学生. 15.程序框图如下图,若输出的 S 值为 62,则 n 的值为 .

16.下列 4 个命题: ①“如果 x ? y ? 0 ,则 x 、 y 互为相反数”的逆命题
2 ②“如果 x ? x ? 6 ? 0 ,则 x ? 2 ”的否命题

③在 ?ABC 中, “ A ? 30 ”是“ sin A ?
?

1 ”的充分不必要条件 2

④“函数 f ( x) ? tan(x ? ? ) 为奇函数”的充要条件是“ ? ? k? (k ? Z ) ” 其中真命题的序号是_________. 三解答题 17.设函数 f ? x ? ? x ? x ? a ln ? x ? 1? ,其中 a ? 0.
2

(1)若 a ? ?6 ,求 f ? x ? 在 ? 0,3? 上的最值; (2)若 f ? x ? 在定义域内既有极大值又有极小值,求实数 a 的取值范围; (3)当 a ? ?1 时,令 g ? x ? ? x ? x ? f ? x ? ,试证: ln ?
3

? n ? 1 ? n ?1 ? ? ? 3 ? n ? N ? 恒成立. ? n ? n

18 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 △ABC 中 , a, b, c 分 别 为 内 角 A, B, C 的 对 边 , 面 积

S?

3 ab c o s C. 2

(1)求角 C 的大小;

(2)设函数 f ( x) ? 3 sin 值.

x x x cos ? cos 2 ,求 f ( B ) 的最大值,及取得最大值时角 B 的 2 2 2

19. (本小题满分 13 分)已知 ABCD ? A1 B1C1 D1 是边长为 1 的正方体,求:

(Ⅰ)直线 AC1 与平面 AA1 B1 B 所成角的正切值; (Ⅱ)二面角 B ? AC1 ? B1 的大小.

20. (本题满分 15 分)已知椭圆 C :

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 M (1, ) ,其离心率为 2 a b 2

2 ,经过点 (0,2 ) ,斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P、Q 两点. 2
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求 k 的取值范围; (Ⅲ)设椭圆 C 与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴分别相交于 A、B 两点,则是否存在常数 k , 使得向量 OP? OQ 与 AB 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由. 21. (本小题满分 12 分)有一种密码,明文是由三个字符组成,密码是由明文对应的五个数 字组成,编码规则如下表:明文由表中每一排取一个字符组成,且第一排取的字符放在第一 位,第二排取的字符放在第二位,第三排取的字符放在第三位,对应的密码由明文对应的数 字按相同的次序排成一组组成. 第一排 第二排 第三排 明文字符 密码字符 明文字符 密码字符 明文字符 密码字符 A 11 E 21 M 1 B 12 F 22 N 2 C 13 G 23 P 3 D 14 H 24 Q 4
? ?

?

设随机变量 ? 表示密码中所含不同数字的个数. (1)求 P(? ? 2) ;

(2)求随机变量 ? 的分布列和它的数学期望. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为: ? 点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2. (1)求 C2 的方程; (2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB .

? x ? 2cos ? ( ? 为参数) ,M 是 C1 上的动 ? y ? 2 ? 2sin ?

? 与 C1 的异于极点的交 3

参考答案 1.B 【解析】
2 试 题 分 析 : A . 命 题 “ ? x ? R , 均 有 x ? x ? 1 ? 0 ” 的 否 定 是 : “ ?x ? R , 使 得

?x ? a ? ?b ? 对应的直线一定经过其样本数 x2 ? x ? 1 ? 0 ”;故 A 错误;C.线性回归方程 y
据点 ? x1, y1 ? ,

? x2 , y2 ? ,?, ? xn , yn ? 的中心 ? x, y ? ,故 C 错误;D.若 p, ?q 均是真命题,则

“ p ? (?q) ”为真命题,但“ p ? q ”为假命题,故 D 错误;故选 B. 考点:命题真假的判断. 2.C 【解析】 试题分析:因为 A ? ?x | ?3 ? x ? 3?,B ? ?x | x ? 1 ? ,所以 A ? B = ?1,3? . 考点:集合的交集运算. 3.A 【解析】 试题分析:因为 f ( x) 的图象关于坐标原点对称,所以函数 f ( x ) 为奇函数, 当 x ? 0 时,有 f ( x) ? ? x ? 2015x ,它在 (??, 0) 上为增函数,从而有 f ( x ) 在 (0, ??) 也
2

为 增 函 数 , 又 它 在 x ? 0 处 不 间 断 , 所 以 函 数 f ( x ) 在 (??, ??) 为 增 函 数 , 因 此
2 2 f ( 2 ? a 2 ) ? f ( a) ? 0 , 等价于 f (2 ? a ) ? f (?a) , 即 2 ? a ? ?a , 解得 a ? ?1 或 a ? 2 ,

故选择 A. 考点:函数性质的综合应用及解一元二次不等式. 4.B 【解析】
?

?
2

试题分析:由

?? ?1 ? cos x ?dx = ( x ? sin x)
2

?

2

? ( ? 1) ? (? ? 1) ? ? ? 2 .故选 B. ? 2 2 ? 2

?

?

考点:定积分的运算 5.D. 【解析】
3 3 试题分析:由于点 A(1,2) 在函数 f ( x) ? ax 的图象上,则 a ? 2 ,即 y ? 2 x ,所 以

y ' ? 6x 2 ,
2m 3 ? 2 ? 6m 2 , 设切点为 (m,2m ) ,则切线的斜率为 k ? 6m .由两点的斜率公式得, m ?1
3
2
2 即有 2m ? m ? 1 ? 0 ,解得 m ? 1 或 m ? ?

1 1 3 ,则切线的斜率为 k ? 6 或 k ? 6 ? ? , 2 4 2

则过点 A 的曲线 C : y ? f ( x) 的切线方程是: y ? 2 ? 6( x ? 1) 或 y ? 2 ?

3 ( x ? 1) ,即 2

6 x ? y ? 4 ? 0 或 3x ? 2 y ? 1 ? 0 .故应选 D.
考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 6.A 【解析】 试题分析: 由题可知:y ? cos 2 x ? sin( 2 x ?

?
2

) ? sin( 2 x ?

?
3

?

5? 5? ? ) ? sin[ 2( x ? ) ? ] , 6 12 3

由图像移动的原则,可得图像是向右平移 考点:三角函数图像与性质 7.A. 【解析】

5? 个单位得到 y ? cos 2 x 。 12

试题分析:将函数 y ? 2sin(4x ? ? ) 的图象向右平移

? 个单位后得到的图象对应函数为 6

? 2? y ? 2sin(4( x ? ) ? ? ) ? 2sin(4 x ? ? ? ) ,又图象关于 y 轴对称,所以所得函数为偶函数,在 6 3
??
2? ? 7? ? ? k? ? (k ? Z ) ,即 ? ? k? ? (k ? Z ) ,所以 | ? | 的最小值为 ,故选 A. 3 2 6 6

考点:函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像及其性质. 8.A. 【解析】 试题分析:以点 A 为坐标原点,以 AB 为 x 轴的正方向, AC 为 y 轴的正方向,建立平面直 角 坐 标 系 , 由 题 知 B(2, 0) , C (0,1) , P(2? , 0) , Q(0,1 ? ? ) , BQ ? (?2,1 ? ? ) ,

CP ? (2?, ?1) ,∵ BQ ? CP ? ?2 ,
∴ 1 ? 3? ? 2 ,解得 ? ?

1 ,故选 A. 3

考点:平面向量的坐标表示及数量积. 9.A 【解析】 试题分析:由题意 a5 ? 2 ? 3 ? 5 ? ?13 考点:数列的项 10.B

【解析】 试题分析:由已知得

z x2 ? 3xy ? 4 y 2 x 4 y x 4y ? ? ? ?3? 2 ? ? 3 ?1 , x ? 2y 时 xy xy y x y x
2 2 2

等号成立,代入已知得 z ? y ,则 x ? 2 y ? z =4 y ? 2 y ? ?2( y ?1) ? 2 ? 2 。 11.B 【解析】

x2 y2 b 试题分析:双曲线 2 ? 2 ? 1 渐近线方程为 y ? ? x ,因为双曲线的离心率为 2,所以 a a b

c c2 a2 ? b2 b ? 2, 2 ? ? 4 ,解得 ? 3 ,所以渐近线的斜率为 ? 3 . 2 a a a a
考点:双曲线的性质. 12.B 【解析】 试题分析:由题意 考点:复数的运算. 13.

i i ? ( 3 ? 3i) 3 ? 3i 1 3 ? ? ? ? i ,故选 B. 12 4 12 3 ? 3i ( 3 ? 3i) ? ( 3 ? 3i)

1 3

【解析】 试题分析:由三视图知该几何体是一个倒立的四棱锥,故体积 V ?

1 1 ? 1? 1? 1 ? 3 3

考点:三视图及几何体体积 14.24 【解析】 试题分析:由题可知:三个年级的人数分别为 3k,3k,4k,共有人数 10k,现在样本容量为 80,即 k=8,则高一年级应抽取 24 人。 考点:分层抽样的概念 15.6 【解析】
2 3 n 试题分析: 由题可知, 此框图计算的是 S ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 , 由框图知,

2(1 ? 2 n ) ? 62 , 1? 2

得出 n=5,所以判断框中的条件应为 i ? 6 ,进而进入循环结构。 考点:?程序框图的计算?等比数列的求和公式 16.①②. 【解析】 试题分析:①“如果 x ? y ? 0 ,则 x 、 y 互为相反数”的逆命题为“如果 x 、 y 互为相反

数,则 x ? y ? 0 ” 为真命题;
2 2 ②“如果 x ? x ? 6 ? 0 ,则 x ? 2 ”的否命题为“如果 x ? x ? 6 ? 0 ,则 x ? 2 ” ,解

x 2 ? x ? 6 ? 0 ,得 ? 3 ? x ? 2 ,满足 x ? 2 ,为真命题;
③在 ?ABC 中, sin A ? 不充分条件; ④ ? y ? tan x 的对称中心为 (

1 1 ? 30 0 ? A ? 150 0 ,所以“ A ? 30? ”是“ sin A ? ”的必要 2 2

k? ,0), k ? Z ,所以“函数 f ( x) ? tan(x ? ? ) 为奇函数”的 2

充要条件是“ ? ?

k? ,k ? Z ” ;故选①②. 2

考点:命题真假的判定、充分条件与必要条件. 17. (1)参考解析, (2) 0 ? a ? 【解析】 试题分析: (1)当 a ? ?6 时,对函数 f ? x ? 求导,在定义域内根据导函数的正负性可得到 函数的单调性,即可求得函数的最值. ( 2 )由函数 f ? x ? 在定义域内既有极大值又有极小值,即导函数的值为零时的根在

1 . (3)参考解析 8

? ?1, ??? 上有两个不等的实数解.再根据区间根的运算即可得到结论.
3x3 ? ? x ? 1? 1 ? (3)当 a ? ?1 时,对 g ( x) 求导即可得到, 即 g ? ? x ? ? 3x ? 2 x ? , x ?1 x ?1
2 2

所以当 x ? 0, g '( x) ? 0 恒成立,由题意要证 ln ?

? n ? 1 ? n ?1 ? ? ? 3 ? n ? N ? ,其中的变量为正 n n ? ?
1 1 * . ? 0, n ? N ,以及 n n

数,所以当 x ? 0 时,函数 g ( x) 是单调递增的 . 再通过令 x ?

g (0) ? 0即可得到结论.
试题解析: (1)由题意知, f ? x ? 的定义域为 ? ?1, ?? ? ,

a ? ?6 时,由 f ? ? x ? ? 2 x ? 1 ?

6 2 x 2 ? 3x ? 5 ? ? 0, x ?1 x ?1

得 x ? 1? x ? ? 舍去 ? 2 分 当 x ? ? 0,1? 时, f ? ? x ? ? 0,当x ? ?1,3?时,f ? ? x ? ? 0 ,

? ?

5 2

? ?

?当x ?? 0,1? , f ? x ? 单调递减,当 x ? ?1,3? 时, f ? x ? 单调递增.
所以 f ? x ?min ? f ?1? ? 2 ? 6ln 2. 又因为 f ? 0? ? 0, f ?3? ? 3 ? 3 ? 6ln 4 ? 12 ?1 ? ln 2? ? 0,
2

所以 f ? x ?max ? f ? 3? ? 12 ?1 ? ln 2? . 所以 f ? x ?min ? 2 ? 6ln 2. , f ? x ?max ? 12 ?1 ? ln 2? . (2) 依题意, f ? ? x ? ? 2 x ? 1 ?
2

a 2 x 2 ? 3x ? 1 ? a ? ? 0 在 ? ?1, ?? ? 上有两个不等实根, x ?1 x ?1

即 2 x ? 3x ? a ? 1 ? 0 在 ? ?1, ?? ? 上有两个不等实根, 6 分 设 h ? x ? ? 2x ? 3x ? a ?1 ,则 ?
2

? 1 ?? ? 9 ? 8 ? a ? 1? ? 0, ,解得 0 ? a ? . 8 ? ?h ? ?1? ? 0
3 2

8分

(3) g ? x ? ? x ? x ? f ? x ? = x ? x ? ln ? x ? 1? ,
3

3x3 ? ? x ? 1? 1 g ? ? x ? ? 3x ? 2 x ? ? x ?1 x ?1
2

2

显然,当 x ? ? 0, ??? 时, g? ? x ? ? 0, 所以 g ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递增, 所以,当 x ? ? 0, ??? 时, g ? x ? ? g ? 0? ? 0,即x ? x ? ln ? x ? 1? 恒成立. 10 分
2 3

令x?

1 n ? 1 n ?1 ?1 ? 1 1 ? ? 0, ?? ? ? n ? N ? ? ,则有 ln ? ? 1? ? 2 ? 3 ,即ln ? 3 . 12 分 n n n ?n ? n n

考点:1.利用导数求函数的最值.2.函数的极值.3.函数与不等式的关系.4.构建函数的数学 思想. 18. (1) 【解析】 试题分析: (1)由已知 S ?

? ? 3 ; (2) B ? 时, f ( B ) 有最大值是 3 3 2

3 ab cosC 以及面积公式即可得到 tanC= 3 ,从而得到角 C 2

的大小; (2) 首先需将 f ( x) ? 3 sin 围求函数的的最值. 试题解析: (1)由 S=

x x x ? 1 cos ? cos 2 化为 ? sin( x ? ) ? 然后再利用角的范 6 2 2 2 2

3 1 1 absinC 及题设条件得 absinC= abcosC 2 2 2
2分

1分

即 sinC= 3 cosC,? tanC= 3 ,

? 0<C< ? , ? C=

? 3

4分

(2) f ( x) ?

x x x 3 1 1 3 sin cos ? cos 2 ? sin x ? cos x ? 2 2 2 2 2 2
9分

7分

? 1 ? sin( x ? ) ? , 6 2
∵ C=

2? ? ) ∴ B ? (0, 3 3



? ? 5? ? B? ? 6 6 6

(没讨论,扣 1 分) 10 分

当B?

? ? ? 3 ? ,即 B ? 时, f ( B ) 有最大值是 6 2 3 2

12 分

考点:三角函数及其最值 19. (Ⅰ)

2 ; (Ⅱ)60° 2

【解析】 试题分析: (Ⅰ)先根据其为正方体得到∠C1AB1 就是 AC1 与平面 AA1B1B 所成的角;然后在 RT△C1AB1 中求其正切即可; (Ⅱ)先过 B1 作 B1E⊥BC1 于 E,过 E 作 EF⊥AC1 于 F,连接 B1F;根据 AB⊥平面 B1C1CB 推得 B1E?AC1;进而得到∠B1FE 是二面角 B﹣AC1﹣B1 的平面角;然后通过求三角形的边长得到二 面角 B﹣AC1﹣B1 的大小即可. 试题解析: (Ⅰ)连接 AB1,∵ABCD﹣A1B1C1D1 是正方体 ∴B1C1⊥平面 ABB1A1,AB1 是 AC1 在平面 AA1B1B 上的射影 ∴∠C1AB1 就是 AC1 与平面 AA1B1B 所成的角 在 RT△C1AB1 中,tan∠C1AB1=

1 2 ? 2 2
2 . 2

∴直线 AC1 与平面 AA1B1B 所成的角的正切值为

(Ⅱ)过 B1 作 B1E⊥BC1 于 E,过 E 作 EF⊥AC1 于 F,连接 B1F;

∵AB⊥平面 B1C1CB,?AB⊥B1E?B1E?平面 ABC1?B1E?AC1 ∴∠B1FE 是二面角 B﹣AC1﹣B1 的平面角 在 RT△BB1C1 中,B1E=C1E=

1 2 BC1= , 2 2

在 RT△ABC1 中,sin∠BC1A=

AB 3 ? AC1 3

∴EF=C1E?sin∠BC1A=

6 , 6

∴tan∠B1FE=

B1 E ? 3 EF

∴∠B1FE=60°,即二面角 B﹣AC1﹣B1 的大小为 60°.

考点:线面角以及二面角的平面角及其求法. 20. (Ⅰ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)由已知椭圆 C 的离心率为 e ?
? ? 2? ? 2 x2 ?∞, ? , ? ∞? ? y2 ? 1 ; (Ⅱ) ? (Ⅲ)没有符合题意的常数 k . ? ? ? ? ? ?; 2 2 2 ? ? ? ?

c 2 2 2 可得, a ? 2b ,即椭圆的方程为 ? a 2

x2 y2 ? ?1; 2b 2 b 2
2 又因为其图像过点 M (1, ) ,将其坐标直接代入即可计算出参数 a , b ,即可写出椭圆的方 2 程; (Ⅱ)首先写

出直线 l 的方程 y ? kx ? 2 , 然后联立直线 l 和椭圆方程并将直线 l 的方程代入椭圆方程整 理得 ?1 2? 2 ?1 2? 2 2 ? ? k ? x ? 2 2kx ? 1 ? 0 ,由题意知, ? ? 8k ? 4 ? ? k ? ? 4k ? 2 ? 0 ,即可解出 k 的取值 ?2 ? ?2 ? 范围; (Ⅲ)假设

存 在 常 数 k , 使 得 向 量 OP? OQ 与 AB 共 线 , 则 设 P( x1,y1 ),Q( x2,y2 ) , 则

?

?

?

OP? OQ ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ,
由(Ⅱ)知 x1 ? x2 , y1 ? y 2 可用含 k 的式子表示出来,然后根据假设可得等式关系

?

?

x1 ? x2 ? ? 2( y1 ? y2 ) ,
即可解出 k 的值,最后验证 k 的值是否满足(Ⅱ)中解出的 k 的取值范围. 试题解析: (Ⅰ)因为椭圆 C 的离心率 e ?

c 2 2 2 2 ? , a ? b 2 ? c 2 , ? a ? 2b a 2

? 椭圆方程为

x2 y 2 2 ? ? 1 ,将点 M (1, ) 代入,得 b 2 ? 1 , a 2 ? 2 2b2 b2 2
x2 ? y2 ? 1 . 2

? 所求椭圆方程为

(Ⅱ)由已知条件,直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,代入椭圆方程得
?1 ? 整理得 ? ? k 2 ? x2 ? 2 2kx ? 1 ? 0 ?2 ?

x2 ? (kx ? 2) 2 ? 1 . 2



?1 ? 直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 ? ? 8k 2 ? 4 ? ? k 2 ? ? 4k 2 ? 2 ? 0 , ?2 ?

解得 k ? ?

? ? 2 2 2? ? 2 ?∞, ? , ? ∞? 或k ? .即 k 的取值范围为 ? ? ? ? ? ? ?. 2 ? ? 2 2 2 ? ?
? ?

(Ⅲ)设 P( x1,y1 ),Q(x2,y2 ) ,则 OP? OQ ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) , 由方程①, x1 ? x2 ? ?
4 2k 1 ? 2k 2

② ③

又 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 2
?

而 A( 2 ,0), B(0,1) , AB ? (? 2 ,1) . 所以 OP? OQ 与 AB 共线等价于 x1 ? x2 ? ? 2( y1 ? y2 ) , 将②③代入上式,解得 k ? 由(1)知 k ? ?
2 . 2
? ?

?

2 2 或k ? ,故没有符合题意的常数 k . 2 2 考点:椭圆的综合应用;向量的共线.

21. (1) 1 ; (2)
8

101 . 32

【解析】 试题分析: (1)先确定 ξ =2 时,只能取 1 和 2,然后分别找出所有的可能性和满足条件的 情况数,即得概率; (2)仿(1) ,分别找出所有可能情况,再注意计算 ξ =2,3,4 的概率, 分布列和期望得解. 试题解析: (1)密码中不同数字的个数为 2 的事件为密码中只有两个数字,注意到密码的第 1,2 列分别总是 1,2,即只能取表格第 1,2 列中的数字作为密码 . ? P(? ? 2) ? 23 ? 1 .
4 8
3

4分 (2)由题意可知, ? 的取值为 2,3,4 三种情形. 若 ? ? 3 ,注意表格的第一排总含有数字 1,第二排总含有数字 2 则密码中只可能取数字 1, 2,3 或 1,2,4. ? P(? ? 3) ?
1 2 2(22 A3 ? 2C3 ? 1) 19 ? . 3 32 4

若 ? ? 4, 则 P (? ? 4) ?

1 2 2 A3 A2 ? A32 A2 9 ? (或用 1 ? P(? ? 2) ? P(? ? 3) 求得). 3 4 32

8分

? ? 的分布列为:

?
p

2

3

4

1 8

19 32

9 32

1 19 9 101 ? E? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? . 8 32 32 32 考点:古典概型,概率分布列,期望
22. (1) ? 【解析】

12 分

? x ? 4cos ? (?为参数);(2) 2 3 . ? y ? 4 ? 4sin ?

?x ? 2 cos ? ? x y ?2 试题分析: (1) 设P (x, y) , 则由条件知 M ( , ) . 由于 M 点在 C1 上, 所以 ? 2 2 ? y ? 2 ? 2 sin ? ? ?2
从而求 2 的参数方程; (2) 曲线 C1 的极坐标方程为?=4sin?, 曲线 C2 的极坐标方程为?=8sin?. 射 线?=

? ? ? ? 与 C1 的交点 A 的极径为?1=4sin , 射线?= 与 C2 的交点 B 的极径为?2=8sin . 所 3 3 3 3

以|AB|=|?2-?1|即可求出结果. 试题解析:解: (1)设 P(x,y) ,则由条件知 M ( , ) .由于 M 点在 C1 上,所以

x y 2 2

?x ? 2 cos ? ? ?2 ? ? y ? 2 ? 2 sin ? ? ?2
从而 C2 的参数方程为

即?

? x ? 4cos ? ? y ? 4 ? 4sin ?

? x ? 4cos ? (?为参数) ? ? y ? 4 ? 4sin ?

5分

(2)曲线 C1 的极坐标方程为?=4sin?,曲线 C2 的极坐标方程为?=8sin?. 射线?=

? ? 与 C1 的交点 A 的极径为?1=4sin , 3 3 ? ? 与 C2 的交点 B 的极径为?2=8sin . 3 3
10 分.

射线?=

所以|AB|=|?2-?1|= 2 3 .

考点:1.参数方程;2.极坐标.


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