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高三一轮复习解答题专题训练(1)(三角函数—有详细答案)


高三一轮复习解答题专项训练(1) 姓名
1. 在三角形 ABC 中, ?A 、 ?B 、 ? C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,若 b cos C ? (2a ? c)cos B (Ⅰ)求 ?B 的大小; (Ⅱ)若 b ? 7 , a ? c ? 4 ,求三角形 ABC 的面积。

2.已知函数 f ( x) ?

sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2 sin x

(I)求 f ( x) 的定义域; (II)求 f ( x) 的值域; (III)设α 的锐角,且 tan

?
2

?

1 , 求 f (? ) 的值. 2

-1-

3. 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a,b,c,且 a ? c ? b ?
2 2 2

1 ac. 2

(1)求 sin

2

A?C ? cos 2 B 的值; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值. 2

4. 已知函数 f ( x) ?

1 1 cos 2 x ? sin x cos x ? sin 2 x. 2 2

(I)求 f ( x) 的最小正周期; (II)求 f ( x) 函数图象的对称轴方程; (III)求 f ( x) 的单调区间.

-2-

5. △ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2 sin

2

C C ? cos ? 2 2 2

(1)求角 C 的大小; (2)若 a,b,c 成等比数列,求 sinA 的值.

6. 设函数 f ( x) ? 3 cos2 ? x ? sin ? xcos? x ? ? (其中 ? ? 0, ? ? R ) ,且 f ( x ) 的图象在 y 轴右侧的第一个最 高点的横坐标为

? 。 6
? ? 5? ? 上的最小值为 3 ,求 ? 的值。 , ? 3 6 ? ?

(I)求 ? 的值。 (II)如果 f ( x ) 在区间 ? ?

-3-

? 7.如图,函数 y ? 2sin( ? x ? ? ) , x ? R ( 其中 0 ≤ ? ≤ ) 的图象与 y 轴交于点 ( 0 , 1 ) . y
2

P N

(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)设 P 是图象上的最高点, M 、N 是图象与 x 轴的交点, 求 PM 与 PN 的夹角的余弦值.

x

M O

8. f ( x) ? A sin (? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ?
2

?
2

) ,且 y ? f ( x) 的最大值为 2,其图象相邻两对称轴间的距

离为 2,并过点(1,2). (I)求 ? (II)计算 f (1) ? f (2) ?

? f (2008) .

-4-

高 2011 级高三一轮复习解答题专题训练(1) 参考答案姓名
1. 在三角形 ABC 中, ?A 、 ?B 、 ? C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,若 b cos C ? (2a ? c)cos B (Ⅰ)求 ?B 的大小; (Ⅱ)若 b ? 7 、 a ? c ? 4 ,求三角形 ABC 的面积。 解: (Ⅰ )∵ b cos C ? (2a ? c)cos B ∴ 由正弦定理可得: sin B cos C ? (2sin A ? sin C) cos B ? 2sin A cos B ? sin C cos B 即 2sin A cos B ? sin B cos C ? cos B sin C ? sin ? B ? C ? ? sin A ∵在三角形 ABC 中, sin A ? 0 ,∴2 cos B ? 1 , ∴cos B ?

1 ? ,∵ B ? (0, ? ) ,∴B ? 2 3
2 2 2

(Ⅱ )在 ?ABC 中,由余弦定理可得: b ? 7 ? a ? c ? 2ac cos B ∴ ( 7) ? a ? c ? 2ac cos
2 2 2

?
3

,整理得: 7 ? a ? c ? ac =
2 2

∵ a ? c ? 4 ,∴?a ? c? ? 16 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ……②
2

∴ 由①②可得 2.已知函数 f ( x) ?

ac ? 3 ,∴S ?ABC ?

1 1 3 3 3 ac sin B = ? 3 ? ? 2 2 2 4

sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2 sin x

(I)求 f ( x) 的定义域; (II)求 f ( x) 的值域; (III)设 ? 为锐角,且 tan 解: (I)由 2 sin x ? 0, 可得 x ? k? (k ? Z ) , ∴ 函数 f ( x) 的定义域为 {x | x ? k? , k ? Z} . 解: (II)当 x ? k? (k ? Z ) 时

?
2

?

1 , 求 f (? ) 的值. 2

f ( x) ?

2 ? sin 2x ? c o 2 s x ?1 2s i n xc o s x ? 2s i n x ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ), ? 4 2s i n x 2s i n x

∴ 函数 f ( x) 的值域为: {y | ? 2 ? y ?

2, 且y ? ?1} .

1 解: (III)∵ tan ? ,∴tan? ? 2 2
又 sin ? ? cos ? ? 1
2 2

?

2 tan

?
2

1 ? tan2

?
2

?

sin ? sin ? 4 4 ? , ∵ tan ? ? ,∴ cos ? cos ? 3 3

4 4 ? ? sin ? ? sin ? ? ? ? sin ? 4 ? ? ? ? ? ? 5 5 解方程组 ? cos ? 3 可得: ? 或 ? 2 2 ?cos ? ? 3 ?cos ? ? ? 3 ? ?sin ? ? cos ? ? 1 ? ? 5 5 ? ? 4 3 7 ∵α 是锐角,∴ 取 sin ? ? , cos ? ? , ∴ f (? ) ? sin ? ? cos ? ?? 。 5 5 5
-5-

3. 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a,b,c,且 a ? c ? b ?
2 2 2

1 ac. 2

(1)求 sin

A?C ? cos 2 B 的值; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值. 2 1 ac 2 2 2 1 a ?c ?b 1 2 2 2 2 解: (1)? a ? c ? b ? ac ,∴cos B ? ? ? 2 2ac ac 4 A ? C 1 2 ? cos 2 B = [1 ? cos( A ? C )] ? (2 cos 2 B ? 1) ∴sin 2 2 1 1 1 1 1 ? (1 ? cos B) ? (2 cos 2 B ? 1) ? (1 ? ) ? (2 ? ? 1) ? ? 2 2 4 16 4
2

(2)由 cos B ?

1 1 15 , 得 sin B ? 1 ? cos2 B ? 1 ? ( )2 ? . 4 4 4
2 2 2

∵ b ? 2 ,∴ 由已知可得: a ? c ? b ? ∵ a ? c ? 2ac ,∴4 ?
2 2

1 1 ac ? 4 ? ac 2 2

1 8 2 6 ac ? 2ac ,∴ac ? . (当且仅当a ? c ? 时, 取 " ? "号). 2 3 3

∴S?ABC ?

1 1 8 15 15 15 S△ABC 的最大值为 ac ? sin B ? ? ? ? . ,∴ 2 2 3 4 3 3
1 1 cos 2 x ? sin x cos x ? sin 2 x. 2 2

4. 已知函数 f ( x) ?

(I)求 f ( x) 的最小正周期; (II)求 f ( x) 函数图象的对称轴方程; (III)求 f ( x) 的单调区间. 解: f ( x) ?

1 1 2 3? [(cos 2 x ? sin 2 x) ? 2 sin x cos x] ? (? sin 2 x ? cos 2 x) ? sin(2 x ? ) 2 2 2 4

2? ?? . 2 3? ? k? ? ? k? ? ? , (k ? Z ) (II)由 2 x ? 可得: x ? 4 2 2 8 k? ? ? , (k ? Z ) ∴ 函数 f ( x) 的图象的对称轴方程是: x ? 2 8 ? 3? ? ? 2 k? ? ( k ? Z ) , (III)由 2k? ? ? 2 x ? 2 4 2 5? ? ? x ? k? ? ( k ? Z ) 可得: k? ? 8 8 ? 3? 3? ? 2 k? ? (k ? Z ) , 由 2 k? ? ? 2 x ? 2 4 2 ? 3? (k ? Z ) 可得: k? ? ? x ? k? ? 8 8 5? ? , k? ? ], k ? Z . ∴ 函数 f ( x) 的单调递增区间为 [k? ? 8 8 ? 3? ], k ? Z . 函数 f ( x) 的单调减区间为 [k? ? , k? ? 8 8
(I)函数 f ( x) 的最小正周期为 T ?
-6-

5. △ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2 sin

2

C C ? cos ? 2 2 2

(1)求角 C 的大小; (2)若 a,b,c 成等比数列,求 sinA 的值. (1)解:由 2 sin

C C C 2 C ? cos ? 2 可得 2 (1 ? c o s ) ? cos ? 2 , 2 2 2 2 C C C ? C ? ,∴ cos ? 0 , 整理得 cos ( 2 cos ? 1) ? 0 ,∵在△ABC 中,0<C<π ,∴ 0 ? 2 2 2 2 2
2

∴ 2 cos

C C ? ? C 2 C ? 1 ? 0 ,∴ cos ? (舍去 cos ? 0) ,∴ ? , ∴ C ? 2 2 4 2 2 2 2
2

(2)解:∵a,b,c 成等比数列,∴ b ? ac 由(1)知,△ABC 是以角 C 为直角的直角三角形, ∴c ? a ?b
2 2 2 2 2 将 b ? ac 代入并整理可得(注:也可由正弦定理将 b ? ac 化为角求 sin A )

a 2 ? ac ? c 2 ? 0
∵ sin A ?

此等式两边上式两边同除以 c2 可得: ( ) ?
2

a ? 2 , ∴ sin A ? sin A ? 1 ? 0 ,∵ 0 ? A ? c 2 5 ?1 ?1 ? 5 ∴ sin A ? (舍去 sin A ? ) 2 2 6. 设函数 f ( x) ? 3 cos2 ? x ? sin ? xcos? x ? ? (其中 ? ? 0, ? ? R ) ,且函数 f ( x ) 的图象在 y 轴右侧的第一
个最高点的横坐标为

a c

a ?1 ? 0 c

? 。 6

(I)求 ? 的值。 (II)如果函数 f ( x ) 在区间 ? ?

? ? 5? ? 上的最小值为 3 ,求 ? 的值。 , ? 3 6 ? ? 1 ? cos 2? x 1 ? sin 2? x ? ? 解(I) f ( x) ? 3 cos2 ? x ? sin ? xcos? x ? ? ? 3 ? 2 2 1 3 3 ?? 3 ? = sin 2? x ? cos 2? x ? ? ? ? sin ? 2? x ? ? ? ?? 2 2 2 3? 2 ? ? ? ? 1 依题意可得: 2? ? ? ? , ∴ ? ? . 6 3 2 2 ? 3 (II)由(I)可知,f ( x) ? sin(x+ ) ? ?? 3 2 1 ? ? ? 7? ? ? ? 5? ? ? ? sin( x ? ) ? 1, ∵ 当x ? ? ? , ∴ 时, x ? ? 0, , 2 3 3 ? ? 3 6 ? ? ? 6 ? ?
∴ f ( x)在 ? ?

1 3 1 3 ? ? 5? ? ?? ? 3 , ? 上取得的最小值为 ? ? ? ? ,由题意可得: ? ? 2 2 2 2 ? 3 6 ? 3 ?1 解之得: ? ? 2 ? 7.如图,函数 y ? 2sin( ? x ? ? ) , x ? R ( 其中 0 ≤? ≤ ) 的图象与 y 轴交于点 ( 0 ,1) .
2
(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)设 P 是图象上的最高点, M 、N 是图象与 x 轴的交点, y
P N M O -7-

x

求 PM 与 PN 的夹角的余弦值. 解: (Ⅰ)∵函数的图像过点 ( 0 , 1 ) ,∴ 2sin? ? 1 , 即 sin? ? (Ⅱ)由(I)可知 y ? 2sin( ? x ? 由函数的图像可知: ? x1 ?

1 .∵ 0 ≤? ≤ ? , ∴ ? ? ? . 2 6 2

? ) ,依题意可设 M ( x ,0), P( x , 2), N ( x ,0) 1 2 3
6

1 1 5 ? ? ,∴ x1 ? ? , x2 ? , x3 ? 6 6 2 6 6 3 6 1 1 5 1 1 ∴ M ( ? , 0 ) , P ( , 2 ) , N ( , 0 ) ,∴ PM ? ( ? , ? 2 ) , PN ? ( , ? 2 ) , 6 3 6 2 2 ? 0, ? x2 ? ? , ? x3 ?
1 17 1 17 ? PM ?? (? )2 ? (?2)2 ? ,? PN ?? ( )2 ? (?2)2 ? 2 2 2 2
1 1 1 1 15 PM ? PN ? ( ? , ? 2 ) ? ( , ? 2 ) ? ? ? ? (?2) ? (?2) ? 2 2 2 2 4
∴ cos ? PM , PN ? ?

?

?

?

?

15 PM ? PN 15 4 ? ? 17 | PM | ? | PN | 17 17 ? 2 2

8. f ( x) ? A sin (? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ?
2

?
2

) ,且 y ? f ( x) 的最大值为 2,

其图象相邻两对称轴间的距离为 2,并过点(1,2). (I)求 ? (II)计算 f (1) ? f (2) ? ? f (2008) . 解: (I) y ? A sin (? x ? ? ) ? A ?
2

1 ? cos 2(? x ? ? ) A A ? ? cos(2? x ? 2? ). 2 2 2 A A y ? f ( x) 的最大值为 2,且 A ? 0 ,∴ ? ? 2, A ? 2 . 2 2 T 2? ? ? 4 ,∴ ? ? 又 函数 f ( x ) 图象相邻两对称轴间的距离为 2, ? ? 0 ,∴ ? 2 ,∴ T ? 2 2? 4

? f ( x) ? 1 ? cos(

?

2

x ? 2? ) .

∵函数 f ( x ) 的图像过 (1, 2) 点,∴ 1 ? cos( ∴ 2? ? 2k? ?

?

?
2

, (k ? Z ), ∴ ? ? k? ?

?
4

? 2? ) ? 2 ,∴ cos( ? 2? ) ? ?1. ,∴ sin 2? ? 1 2 2 0?? ?

?

, (k ? Z ), 又

?

(II)解法一:由(I) ? ? = 1 ? cos(

?
4

, f ( x) ? 1 ? cos(

?

x 2 2 2 ∴ f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? 2 ? 1 ? 0 ? 1 ? 4 . 又∵ y ? f ( x) 的周期为 4, 2008 ? 4 ? 502 , ? f (1) ? f (2) ? ??? ? f (2008) ? 4 ? 502 ? 2008.
解法二:

?

x?

?

) = 1 ? sin

?

x ? 2? ) 2 4

?

2

, ∴? ?

?

4

.

f ( x) ? 2sin 2 (

?

? 2sin 2 ( ? ? ) ? 2sin 2 [ ? ( ? ? )] ? 2[sin 2 ( ? ? ) ? cos 2 ( ? ? )] ? 2 4 2 4 4 4
f (2) ? f (4) ? 2sin 2 ( ? ? ) ? 2sin 2 (? ? ? ) ? 2[cos2 ? ? 2sin 2 ? ] ? 2 2
-8-

?

?

? 3? x ? ? ) ,∴ f (1) ? f (3) ? 2sin 2 ( ? ? ) ? 2sin 2 ( ? ? ) 4 4 4

?

?

?

?

∴ f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? 4. 又∵ y ? f ( x) 的周期为 4, 2008 ? 4 ? 502 ,∴ f (1) ? f (2) ? ??? ? f (2008) ? 4 ? 502 ? 2008.

-9-


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