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2018年高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用课时达标7二次函数与幂函数理

2018 年高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时达标 7 二次函数与幂函数 理
[解密考纲]本考点考查幂函数的图象与性质、 二次函数的单调性与最值、 二次函数恒成 立问题以及二次方程的根的分布问题,一般以选择题、填空题的形式呈现,排在中间靠前的 位置,难度中等. 一、选择题 2? ?1 a 1.(2017·河南南阳模拟)已知幂函数 f(x)= k·x 的图象过点? , ? ,则 k+a = ?2 2 ? ( C ) 1 A. 2 3 C. 2 B.1 D.2

2? ?1 ?1?a a 解析:因为 f(x)=k·x 是幂函数,所以 k=1.又 f(x)的图象过点? , ?,所以? ? ?2? ?2 2 ? = 2 1 1 3 ,所以 a= ,所以 k+a=1+ = . 2 2 2 2 2.(2017·天津模拟)抛物线 y=ax +bx+c 的顶点在第一象限与 x 轴的两个交点分别 位于原点两侧,则 a,b,c 符号为( B ) A.a<0,b<0,c<0 C.a<0,b<0,c>0 B.a<0,b>0,c>0 D.a<0,b>0,c<0
2

解析:由题意知,抛物线开口向下,故 a<0.由抛物线与 x 轴的两个交点分别位于原点 两侧,得 ac<0,所以 c>0.再由顶点在第一象限得- >0,所以 b>0. 2a 3. 对任意的 x∈[-2,1], 不等式 x +2x-a≤0 恒成立, 则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,0] C.[0,+∞)
2 2

b

D )

B.(-∞,3] D.[3,+∞)

解析:设 f(x)=x +2x-a(x∈[-2,1]),由二次函数的图象知,当 x=1 时,f(x)取得 最大值 3-a,所以 3-a≤0,解得 a≥3,故选 D. 4 ?x1+x2?和f?x1?+f?x2?的大小关系是 4.对于幂函数 f(x)=x5 ,若 0<x1<x2,则 f? ? 2 ? 2 ? ( B ) A.f?

?x1+x2?<f?x1?+f?x2? ? 2 ? 2 ?

1

B.f? C.f?

?x1+x2?>f?x1?+f?x2? ? 2 ? 2 ? ?x1+x2?=f?x1?+f?x2? ? 2 ? 2 ?

D.无法确定 解析:根据幂函数的性质:当 0<x<1 时,图象是向上凸的,且通过点(0,0),(1,1),可 知 B 正确. 5.(2016·陕西宝鸡模拟)设函数 f(x)=x +x+a(a>0),已知 f(m)<0,则( C ) A.f(m+1)≥0 C.f(m+1)>0 B.f(m+1)≤0 D.f(m+1)<0
2

1 解析:因为 f(x)的对称轴为 x=- ,f(0)=a>0,所以 f(x)的大致图象如图所示. 2

由 f(m)<0,得-1<m<0,所以 m+1>0,所以 f(m+1)>f(0)>0,故选 C. 6.(2017·安徽淮南模拟)函数 f(x)=ax +bx+5 满足条件 f(-1)=f(3),则 f(2)的 值为( A ) A.5 C.8 B.6 D.与 a,b 的值有关
2

解析:①当 a=0 时,由 f(-1)=f(3)可知 b=0,此时 f(x)=5,所以 f(2)=5. ②当 a≠0 时,因为函数 f(x)=ax +bx+5 满足条件 f(-1)=f(3),所以 f(x)=ax +
2 2

bx+5 的图象关于 x=
二、填空题

-1+3 =1 对称,则 f(2)=f(0)=5,故选 A. 2

1 7.(2017·甘肃兰州模拟)已知函数 f(x)=x ,且 f(2x-1)<f(3x),则 x 的取值范围是 2

?1,+∞?. ?2 ? ? ?
1 解析:f(x)=x2 在[0,+∞)上是递增的,

f(2x-1)<f(3x),则 0≤2x-1<3x,所以 x≥ .
8.(2017·安徽宿州模拟)二次函数的图象过点(0,1),对称轴为 x=2,最小值为-1,

1 2

2

1 2 则它的解析式为 f(x)= (x-2) -1. 2 解析:依题意可设 f(x)=a(x-2) -1,又其图象过点(0,1), 1 1 2 ∴4a-1=1,∴a= ,∴f(x)= (x-2) -1. 2 2 9.已知 f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,当 x∈(0,2]时,
2

f(x)=2x-1,函数 g(x)=x2-2x+m.如果? x1∈[-2,2],
? x2∈[-2,2],使得 g(x2)=f(x1),则实数 m 的取值范围是[-5,-2]. 解析:由题意得函数 f(x)在[-2,2]上的值域 A 为函数 g(x)在[-2,2]上的值域 B 的子 集, 又当 x∈(0,2]时, f(x)=2 -1∈(0,3], 所以当 x∈[-2,0)时, f(x)∈[-3,0), 而 f(0)
?m-1≤-3, ? =0,因此 A=[-3,3].由二次函数性质知 B=[m-1,8+m],从而? ?8+m≥3, ?
x

解得-

5≤m≤-2. 三、解答题 10.已知二次函数图象的对称轴为 x=- 2,截 x 轴所得的弦长为 4,且过点(0,-1), 求函数的解析式. 解析:∵二次函数图象的对称轴为 x=- 2, ∴可设所求函数的解析式为 f(x)=a(x+ 2) +b. ∵二次函数 f(x)的图象截 x 轴所得的弦长为 4, ∴f(x)过点(- 2+2,0)和(- 2-2,0). 又二次函数 f(x)的图象过点(0,-1),
? ?4a+b=0, ∴? ?2a+b=-1, ?
2

1 ? ?a= , 解得? 2 ? ?b=-2,

1 2 ∴f(x)= (x+ 2) -2. 2
2

11. (2017·山东德州月考)已知函数 f(x)=ax -2ax+2+b(a≠0), 若 f(x)在区间[2,3] 上有最大值 5,最小值 2. (1)求 a,b 的值; (2)若 b<1,g(x)=f(x)-mx 在[2,4]上单调,求 m 取值范围. 解析:(1)f(x)=a(x-1) +2+b-a. 当 a>0 时,f(x)在[2,3]上为增函数, 故?
?f?3?=5, ? ?f?2?=2 ? ?9a-6a+2+b=5, ? ?? ?4a-4a+2+b=2 ?
2

??

?a=1, ? ?b=0. ?

当 a<0 时,f(x)在[2,3]上为减函数,

3

故?

?f?3?=2, ? ?f?2?=5 ? ? ?a=1, ?b=0 ?

?9a-6a+2+b=2, ? ?? ?4a-4a+2+b=5 ?

??

?a=-1, ? ?b=3. ?

∴?

或?

? ?a=-1, ?b=3. ?
2

(2)∵b<1,∴a=1,b=0,即 f(x)=x -2x+2.

g(x)=x2-2x+2-mx=x2-(2+m)x+2,
2+m m+2 ∵g(x)在[2,4]上单调,∴ ≤2 或 ≥4. 2 2 ∴m≤2 或 m≥6.故 m 的取值范围为(-∞,2]∪[6,+∞). 12.(2017·辽宁沈阳模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x≤0 时,f(x) =x +2x.现已画出函数 f(x)在 y 轴左侧的图象,如图所示,请根据图象:
2

(1)写出函数 f(x)(x∈R)的单调增区间; (2)写出函数 f(x)(x∈R)的解析式; (3)若函数 g(x)=f(x)-2ax+2(x∈[1,2]),求函数 g(x)的最小值. 解析:(1)f(x)的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞). (2)设 x>0,则-x<0,函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x≤0 时,f(x)=x +2x, 所以 f(x)=f(-x)=(-x) +2×(-x)=x -2x(x>0),
? ?x -2x?x>0?, 所以 f(x)=? 2 ?x +2x?x≤0?. ?
2 2 2 2

(3)g(x)=x -2x-2ax+2,对称轴方程为 x=a+1, 当 a+1≤1,即 a≤0 时,g(1)=1-2a 为最小值; 当 1<a+1≤2,即 0<a≤1 时,

2

g(a+1)=-a2-2a+1 为最小值;
当 a+1>2,即 a>1 时,g(2)=2-4a 为最小值. 1-2a,a≤0, ? ? 2 综上,g(x)min=?-a -2a+1,0<a≤1, ? ?2-4a,a>1.

4


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