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2014届高考数学一轮复习(配最新高考+模拟)第九章解析几何单元测试 理


2014 届高考数学(理)一轮复习单元测试 第九章解析几何
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1、 (2013 年高考山东数学 (理) ) 过点 (3,1) 作圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 的两条切线,切点分别为 A , B , 则直线 AB 的方程为 A. 2 x ? y ? 3 ? 0 B. 2 x ? y ? 3 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0 D. 4 x ? y ? 3 ? 0 ( )

2、 (2013 年高考新课标Ⅱ卷数学 (理) ) 已知点 A(?1, 0), B (1, 0), C (0,1) ,直线 y ? ax ? b(a ? 0) 将△ ABC 分割为面积相等的两部分,则 b 的取值范围是 A. (0,1) B. (1 ? ( )

2 1 , ) 2 2

( C) (1 ?

2 1 1 1 , ] D. [ , ) 3 2 2 3
2 2

3、 【贵州省六校联盟 2013 届高三第一次联考理】 若点 P(1,1) 为圆 x ? y ? 6x ? 0 的弦 MN 的中点,则弦 MN 所在直线方程为( )

A . 2x ? y ? 3 ? 0

B . x ? 2 y ?1 ? 0

C . x ? 2y ? 3 ? 0

D . 2x ? y ?1 ? 0

x2 y 2 4. (2013 年高考新课标 1(理) )已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (3,0) ,过 a b
点 F 的直线交椭圆于 A, B 两点.若 AB 的中点坐标为 (1, ?1) ,则 E 的方程为( )

A.

x2 y 2 ? ?1 45 36

B.

x2 y 2 ? ?1 36 27

C.

x2 y 2 ? ?1 27 18
2 2

D.

x2 y2 ? ?1 18 9


5 . 【2012 厦门期末质检理】直线 x+y-1=0 被圆(x+1) +y =3 截得的弦长等于( A.

2

B. 2

C.2 2

D. 4

6、 (广东省惠州市 2013 届高三 4 月模拟考试)设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x ? -2, 则 抛物线的方程是( A. y ? 8 x
2

) B. y ? ?8 x
2

C. y ? ?4 x
2

D. y ? 4 x
2

7、 (上海青浦区 2013 届高三一模)15.设双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的虚轴长为 2, a2 b2
) .

焦距为 2 3 ,则双曲线的渐近线方程为………………………………………………(

第页

1

A . y ? ?2 x

B. y ? ? 2 x

C.

1 y?? x 2

D. y ? ?

2 x 2

8、 【北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末理】已知双曲线的中心在原点,一个焦点为

F1 (? 5 ,0) ,点 P 在双曲线上,且线段 PF1 的中点坐标为 (0, 2) ,则此双曲线的方程是
A.

x2 ? y2 ? 1 4

B. x ?
2

y2 x2 y2 ? 1 C. ? ?1 4 2 3
2

D.
2

x2 y2 ? ?1 3 2

y 9、 (2013 年高考四川卷(理) )抛物线 y ? 4 x 的焦点到双曲线 x ? ? 1 的渐近线的距离是 3
2

( A.



1 2

B.

3 2

C. 1

D. 3

10 、 【 云 南 师 大 附 中 2013 届 高 三 高 考 适 应 性 月 考 卷 ( 四 ) 理 】 设 F 是 双 曲 线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点,双曲线两条渐近线分别为 l1 , l2 ,过 F 作直线 l1 的垂线, a 2 b2
分别交 l1 , l2 于 A 、 B 两点,且向量 BF 与 FA 同向.若 | OA |,| AB |,| OB |成等差数列,则双 曲线离心率 e 的大小为 A.2 B.

??? ?

??? ?

7 2

C.

6 2

D.
2

5 2

11、 【山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理】抛物线 y ? ?12 x 的准线与双曲

线

x2 y 2 ? ? 1 的两渐近线围成的三角形的面积为 9 3
A.

3

B. 2 3

C. 2

D. 3 3
2 2

12 、 ( 2013 年 高 考 重 庆 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 圆 C1 : ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 1 , 圆

C2 : ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 9 , M , N 分 别是圆 C1 , C2 上 的动点 , P 为 x 轴上 的动点 , 则
2 2

PM ? PN 的最小值为
A. 5 2 ? 4 B. 17 ? 1 C. 6 ? 2 2 D. 17





二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 13. 【北京市丰台区 2013 届高三上学期期末理】l1 , l2 是分别经过 A(1,1),B(0,?1)两点的两条

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2

平行直线,当 l1 , l2 间的距离最大时,直线 l1 的方程是



14、 (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷 (数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) ) 双曲线

x2 y2 ? ? 1 的两条渐近线的方程为_____________. 16 9
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点,P a 2 b2

15、 (2013 年高考湖南卷(理) )设 F1 , F2 是双曲线 C :

? 是 C 上一点,若 PF 1 ? PF2 ? 6a, 且 ?PF1 F2 的最小内角为 30 ,则 C 的离心率为___.

16 、 ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 福 建 数 学 ( 理 ) 试 题 ( 纯 WORD 版 ) )椭圆

x2 y 2 ? : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左 .右焦点分别为 F1 , F2 , 焦距为 2c,若直线 y ? 3( x ? c) a b
与椭圆 ? 的一个交点 M 满足 ?MF1 F2 ? 2?MF2 F1 ,则该椭圆的离心率等于__________

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) . (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷)本小题满分 14 分.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l : y ? 2 x ? 4 ,设圆 C 的半径为, 圆心在上. (1)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2 MO ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围. y A O l

x

18. (本小题满分 12 分) (2013 广东理)已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F ? 0, c ?? c ? 0 ?

第页

3

到直线 : x ? y ? 2 ? 0 的距离为

3 2 . 设 P 为直线上的点 , 过点 P 作抛物线 C 的两条切线 2

PA, PB ,其中 A, B 为切点.
(Ⅰ) 求抛物线 C 的方程; (Ⅱ) 当点 P ? x0 , y0 ? 为直线上的定点时,求直线 AB 的方程; (Ⅲ) 当点 P 在直线上移动时,求 AF ? BF 的最小值.

19.(本小题满分 12 分) 【山东省青岛一中 2013 届高三 1 月调研理】 (本大题满分 13 分)

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4

已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径 2 a b 2

的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切, 过点 P (4, 0) 且不垂直于 x 轴直线 l 与椭圆 C 相交于 A、 B 两点。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 OA ? OB 的取值范围; (3)若 B 点在于 x 轴的对称点是 E,证明:直线 AE 与 x 轴相交于定点。

20.(本小题满分 12 分) 【安徽省安庆市 2013 届高三第三次模拟理】已知焦点在 x 轴上的椭

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5

圆 C1:

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 和双曲线 C : ? ? 1 的离心率互为倒数,它们在第一象限交点的 2 a 2 12 m2 n2

坐标为 (

4 10 6 5 , ) ,设直线 l : y ? kx ? m (其中 k,m 为整数). 5 5

(1)试求椭圆 C1 和双曲线 C2 的标准方程; (2)若直线 l 与椭圆 C1 交于不同两点 A、B,与双曲线 C2 交于不同两点 C、D,问是否存 在直线 l,使得向量 AC ? BD ? 0 ,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明 理由。

21.(本小题满分 12 分) (2013 年高考四川卷(理) )已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1, (a ? b ? 0) 的 a 2 b2

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6

两个焦点分别为 F1 (?1,0), F2 (1,0) ,且椭圆 C 经过点 P ( , ) . (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)设过点 A(0, 2) 的直线 l 与椭圆 C 交于 M 、 N 两点,点 Q 是线段 MN 上的点,且

4 1 3 3

2 1 1 ,求点 Q 的轨迹方程. ? ? 2 2 | AQ | | AM | | AN |2

22.(本小题满分 12 分) (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题)如图, 点 P(0,?1) 是 椭 圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 一 个 顶 点 , C1 的 长 轴 是 圆 a 2 b2
7

第页

C2 : x 2 ? y 2 ? 4 的直径. l1 , l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C2 于两点, l 2
交椭圆 C1 于另一点 D (1)求椭圆 C1 的方程;
y l1 D O P A (第 21 题图) l2 B x

(2)求 ?ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程.

答案 一、选择题

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8

1、 【答案】A 【解析】由图象可知, A(1,1) 是一个切点,所以代入选项知, B, D 不成立,排除。又 AB 直 线的斜率为负,所以排除 C,选 A. 设切线的斜率为 k ,则切线方程为 y ? 1 ? k ( x ? 3) ,即 kx ? y ? 1 ? 3k ? 0 利用圆心到直线的距离等于半径,也可以求解。 2、B [解析]:易得△ABC 面积为 1,利用极限位置和特值法.当 a=0 时,易得 b=1- 1 1 时,易得 b= ;当 a=1 时,易得 b= 2-1> .故选 B. 3 3 3、 【答案】D 【解析】圆的标准方程为 ( x ? 3) ? y ? 9 ,圆心为 A(3,0) ,因为点 P(1,1) 弦 MN 的中点,所
2 2

2 1 ;当 a= 2 3

以 AP ? MN ,AP 的斜率为 k ?

1? 0 1 ? ? ,所以直线 MN 的斜率为 2,所以弦 MN 所在直线 1? 3 2

方程为 y ? 1 ? 2( x ? 1) ,即 2 x ? y ? 1 ? 0 ,选 D. 4、 【答案】D 【解析】设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 =2, y1 ? y2 =-2,

x12 y12 ? ?1 a 2 b2
①-②得



2 2 x2 y2 ? ?1 a 2 b2



( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ? 0, a2 b2

b 2 ( x1 ? x2 ) b 2 y1 ? y2 b2 1 0 ?1 1 2 2 2 ∴ k AB = =? 2 = 2 ,又 k AB = = ,∴ 2 = ,又 9= c = a ? b ,解 a ( y1 ? y2 ) a x1 ? x2 a 2 3 ?1 2
得 b =9, a =18,∴椭圆方程为 5、 【答案】B 【解析】求圆的弦长利用勾股定理,弦心距 d ? 选 B; 6、A 【 解 析 】 抛 物 线 的 准 线 方 程 为 x ? -2, ,∴ 抛 物 线 的 开 口 向 右 . 设 抛 物 线 的 标 准 方 程 为
2 2

x2 y2 ? ? 1 ,故选 D. 18 9

2 , r ? 3, r 2 ? d 2 ?

l2 , l ? 2 3 ? 2 =2, 4

y 2 ? 2 px( p ? 0)? 则其准线方程为 x ? ?

p p ? ∴ ? ? ?2? 解得 p ? 4, ∴抛物线的标准 2 2

第页

9

方程为 y ? 8 x .故选 A .
2

7、D 8、 【答案】B 【解析】由双曲线的焦点可知 c ? 5 ,线段 PF1 的中点坐标为 (0, 2) ,所以设右焦点为 F2 , 则有 PF2 ? x , 且 PF2 ? 4 , 点 P 在双曲线右支上。 所以 PF1 ?
2 2 2

(2 5) 2 ? 4 2 ? 36 ? 6 ,

所以 PF1 ? PF2 ? 6 ? 4 ? 2 ? 2a ,所以 a ? 1, b ? c ? a ? 4 ,所以双曲线的方程为

y2 x ? ? 1 ,选 B. 4
2

9、B 10、 【答案】D 【解析】设 OA =m? d, AB =m, OB =m+d,由勾股定理,得 (m? d) +m =(m+d) .解得 m=4d. 设∠AOF= ? ,则 cos2 ? = 选 D. 11、 【答案】D 【解析】抛物线 y ? ?12 x 的准线为 x ? 3 ,双曲线
2
2 2 2

OA OB

?

1 ? cos 2? 2 3 1 5 ? .cos ? = ,所以,离心率 e = . ? 2 5 cos ? 2 5

3 x2 y 2 x和 ? ? 1 的两渐近线为 y ? 3 9 3

y??

3 x, 令 x ? 3, 分别解得 y1 ? 3, y2 ? ? 3 , 所以三角形的低为 3 ? (? 3) ? 2 3 , 3

高为 3,所以三角形的面积为

1 ? 2 3 ? 3 ? 3 3 ,选 D. 2

12、A 2 2 [解析] 如图,作圆 C1 关于 x 轴的对称圆 C′1:(x-2) +(y+3) =1,则|PM|+|PN|=|PN|+ |PM′|.由图可知当 C2,N,P,M′,C′1 在同一直线上时,|PM|+|PN|=|PN|+|PM′|取得最 小值,即为|C′1C2|-1-3=5 2-4,故选 A.

第页

10

图 1-3 二、填空题 13、 【答案】 x ? 2 y ? 3 ? 0 【解析】解:当两条平行直线与 A、B 两点连线垂直时两条平行直线的距离最大. 因为 A(-1,1)、B(2,-4),所以 k AB ? 以直线 l1 的方程是 y ? 1 ? ? 14、 【答案】 y ? ? 15、 【答案】 3 解析:设 P 点在右支上, m ?| PF1 |, n ?| PF2 |, 则?

?1 ? 1 1 ? 2 ,所以两平行线的斜率为 k ? ? ,所 0 ?1 2

1 ( x ? 1) ,即 x ? 2 y ? 3 ? 0 。 2

3 x 4

?m ? n ? 6 a ? m ? 4a, n ? 2a ?m ? n ? 2 a

由题知,?PF1F2中,?PF1F2 ? 30?.由余弦定理得 : cos 30? ?
?e? c ? 3 a

16a 2 ? 4c 2 ? 4a 2 1 3a c 3 ? ( ? )? 2 ? 8ac 4 c a 2

16、 【答案】 3 ? 1 【解析】由直线方程 y ?

3( x ? c) ? 直线与 x 轴的夹角 ?MF1 F2 ?
?

?
3



2? ,且过点 3

F ( 1 -c,0)

?

?MF1 F2 ? 2?MF2 F1

?MF1 F2 ? 2?MF2 F1 ?

?

3



F1 F2 ? 2c, F1M ? c, F2 M ? 3c ? 由椭圆的第一定义可得 F1M ? F2 M ? 在RT ?F1MF2中,
2a ? c ? 3c ? c 2 ? ? 3 ?1 a 1? 3

三、解答题 17、解:(1)由 ?

? y ? 2x ? 4 得圆心 C 为(3,2),∵圆 C 的半径为 ?y ? x ?1
2 2

∴圆 C 的方程为: ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 1 显然切线的斜率一定存在,设所求圆 C 的切线方程为 y ? kx ? 3 ,即 kx ? y ? 3 ? 0



3k ? 2 ? 3 k 2 ?1

? 1 ∴ 3k ? 1 ? k 2 ? 1 ∴ 2k (4k ? 3) ? 0 ∴ k ? 0 或者 k ? ?

3 4

第页

11

∴所求圆 C 的切线方程为: y ? 3 或者 y ? ?

3 x ? 3 即 y ? 3 或者 3 x ? 4 y ? 12 ? 0 4

(2)解:∵圆 C 的圆心在在直线 l : y ? 2 x ? 4 上,所以,设圆心 C 为(a,2a-4) 则圆 C 的方程为: ( x ? a ) 2 ? ? y ? (2a ? 4)? ? 1
2

又 ∵ MA ? 2 MO ∴ 设 得: x ? ( y ? 1) ? 4 设为圆 D
2 2

M

为 (x,y) 则

x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 2 x 2 ? y 2

整 理

∴点 M 应该既在圆 C 上又在圆 D 上 ∴ 2 ?1 ?
2

即:圆 C 和圆 D 有交点

a 2 ? ?(2a ? 4) ? (?1)? ? 2 ? 1

由 5a 2 ? 8a ? 8 ? 0 得 x ? R 由 5a 2 ? 12a ? 0 得 0 ? x ?

12 5

终上所述, a 的取值范围为: ?0,

? 12 ? ? ? 5?
2

18、 【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线 C 的方程为 x ? 4cy ,由 解得 c ? 1 . 所以抛物线 C 的方程为 x ? 4 y .
2

0?c?2 2

?

3 2 结合 c ? 0 , 2

(Ⅱ) 抛物线 C 的方程为 x ? 4 y ,即 y ?
2

1 2 1 x ,求导得 y? ? x 4 2

设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ( 其 中 y1 ?

x12 x2 2 , y2 ? ), 则 切 线 PA, PB 的 斜 率 分 别 为 4 4

1 1 x1 , x2 , 2 2

x x2 x1 ? x ? x1 ? ,即 y ? 1 x ? 1 ? y1 ,即 x1 x ? 2 y ? 2 y1 ? 0 2 2 2 同理可得切线 PB 的方程为 x2 x ? 2 y ? 2 y2 ? 0
所以切线 PA 的方程为 y ? y1 ? 因为切线 PA, PB 均过点 P ? x0 , y0 ? ,所以 x1 x0 ? 2 y0 ? 2 y1 ? 0 , x2 x0 ? 2 y0 ? 2 y2 ? 0 所以 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? 为方程 x0 x ? 2 y0 ? 2 y ? 0 的两组解. 所以直线 AB 的方程为 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 . (Ⅲ) 由抛物线定义可知 AF ? y1 ? 1 , BF ? y2 ? 1 , 所以 AF ? BF ? ? y1 ? 1?? y2 ? 1? ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 1 联立方程 ?

? x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 ?x ? 4 y
2

,消去 x 整理得 y 2 ? 2 y0 ? x0 2 y ? y0 2 ? 0

?

?

第页

12

由一元二次方程根与系数的关系可得 y1 ? y2 ? x0 2 ? 2 y0 , y1 y2 ? y0 2 所以 AF ? BF ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 1 ? y0 ? x0 ? 2 y0 ? 1
2 2

又点 P ? x0 , y0 ? 在直线上,所以 x0 ? y0 ? 2 , 所以 y0 2 ? x0 2 ? 2 y0 ? 1 ? 2 y0 2 ? 2 y0 ? 5 ? 2 ? y0 ? 所以当 y0 ? ?

? ?

1? 9 ? ? 2? 2

2

1 9 时, AF ? BF 取得最小值,且最小值为 . 2 2
c2 a 2 ? b2 1 c 1 4 ? ,即 a 2 ? b2 ? ,∴ e2 ? 2 ? 2 4 a 2 3 a a
? 3 ,∴ a 2 ? 4, b2 ? 3
y2 x2 ? ?1 4 3

19、(1)解:由题意知 e ? 又b ?
6 1?1

故椭圆的方程为

2分

(2)解:由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4)
? y ? k ( x ? 4) ? 由 ? x2 得: (4k 2 ? 3) x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 12 ? 0 4 分 y2 ? ?1 ? 3 ? 4

由 ? ? (?32k 2 )2 ? 4(4k 2 ? 3)(64k 2 ? 12) ? 0 得: k 2 ? 设 A(x1,y1),B (x2,y2),则 x1 ? x2 ?

1 4

32k 2 64k 2 ? 12 ,x1 x2 ? 2 4k ? 3 4k 2 ? 3



6分

∴ y1 y2 ? k ( x1 ? 4)k ( x2 ? 4) ? k 2 x1 x2 ? 4k 2 ( x1 ? x2 ) ? 16k 2

? 4 ? ?1? ? 4 ? ?1? 21、解: 2a ? PF1 ? PF2 ? ? ? 1? ? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? ? 2 2 ? 3 ? ?3? ? 3 ? ? 3?

2

2

2

2

第页

13

所以, a ? 2 . 又由已知, c ? 1 , 所以椭圆 C 的离心率 e ?

c 1 2 ? ? a 2 2

? ?? ? 由 ? ? ? 知椭圆 C 的方程为
设点 Q 的坐标为(x,y).

x2 ? y2 ? 1. 2

? 1 (1) 当直线 l 与 x 轴垂直时 , 直线 l 与椭圆 C 交于 ? 0,1? ,? 0, ? 两点 , 此时 Q 点坐标为
? 3 5? 0, 2 ? ? ? ? 5 ? ? ?
(2) 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 . 因为 M , N 在直线 l 上,可设点 M , N 的坐标分别为 ( x1 , kx1 ? 2),( x2 , kx2 ? 2) ,则

AM ? (1 ? k 2 ) x12 , AN ? (1 ? k 2 ) x2 2 .


2

2

又 AQ ? x ? ? y ? 2 ? ? (1 ? k ) x .
2 2 2 2 2

2 AQ
2

?

1 AM
2

?

1 AN
2

,得

2 1 1 ? ? ,即 2 2 2 2 ?1 ? k ? x ?1 ? k ? x1 ?1 ? k 2 ? x22
2 1 1 ? x ? x ? ? 2x x ? 2 ? 2 ? 1 22 2 1 2 2 x x1 x2 x1 x2
2



将 y ? kx ? 2 代入

x2 ? y 2 ? 1 中,得 2


? 2k

2

? 1? x 2 ? 8kx ? 6 ? 0
2

2 由 ? ? ? 8k ? ? 4 ? 2k ? 1 ? 6 ? 0, 得 k ?
2

?

?

3 . 2

8k 6 , x1 x2 ? 2 , 2 2k ? 1 2k ? 1 18 2 代入①中并化简,得 x ? ③ 10k 2 ? 3
由②可知 x1 ? x2 ? ? 因 为 点 Q 在 直 线 y? k? x2 上 , 所 以 k ?

y?2 , 代 入 ③ 中 并 化 简 , 得 x

10 ? y ? 2 ? ? 3 x 2 ? 18 .
2

第页

14

由③及 k 2 ?

? 6 ? ? 6? 3 3 ,0 ? 0, ,可知 0 ? x 2 ? ,即 x ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ?. 2 2 ? ? ? ?

又 ? 0, 2 ?

? ? ?

? 3 5? 6 6? 2 2 , 满足 10 ? y ? 2 ? ? 3 x ? 18 ,故 x ? ? ? ? ? ? ?. ? 5 ? ? 2 2 ?

由题意, Q ? x, y ? 在椭圆 C 内部,所以 ?1 ? y ? 1 , 又由 10 ? y ? 2 ? ? 18 ? 3 x 有
2 2

? y ? 2?

2

?1 3 5? ?9 9 ? , 2 ? ? ? , ? 且 ?1 ? y ? 1 ,则 y ? ? ?. ?2 5 ?5 4 ? ? ?
2 2

所以点 Q 的轨迹方程是 10 ? y ? 2 ? ? 3 x ? 18 ,其中, x ? ? ?

? ? ?

6 6? , ?, 2 2 ? ?

22、解:(Ⅰ)由已知得到 b ? 1 ,且 2a ? 4 ? a ? 2 ,所以椭圆的方程是

x2 ? y 2 ? 1; 4

(Ⅱ)因为直线 l1 ? l2 ,且都过点 P(0, ?1) ,所以设直线 l1 : y ? kx ? 1 ? kx ? y ? 1 ? 0 ,直 线

1 l2 : y ? ? x ? 1 ? x ? ky ? k ? 0 k

,









(0, 0)
2


2



线

l1 : y ? kx ? 1 ? kx ? y ? 1 ? 0 的距离为 d ?
2 3 ? 4k 2 1? k2

1 1? k
2

, 所以直线 l1 被圆 x ? y ? 4 所

截的弦 AB ? 2 4 ? d

2

?

;

? x ? ky ? k ? 0 ? ? k 2 x 2 ? 4 x 2 ? 8kx ? 0 ,所以 由 ? x2 2 ? ? y ?1 ?4
xD ? xP ? ? 8k 1 64k 2 8 k2 ?1 ? | DP | ? (1 ? ) ? ,所以 k2 ? 4 k 2 (k 2 ? 4) 2 k2 ? 4

S ?ABD ?

1 1 2 3 ? 4k 2 8 k 2 ? 1 8 4k 2 ? 3 4 ? 8 4k 2 ? 3 | AB || DP |? ? ? 2 ? ? 2 2 k ?4 k2 ? 4 4k 2 ? 3 ? 13 1? k2

?

32 4k ? 3 4k ? 3
2 2

?

13 4k ? 3
2

?

32 4k 2 ? 3 ? 13 4k ? 3
2

?

32 2 13

?

16 13 , 13

第页

15



4k 2 ? 3 ?

13 4k 2 ? 3

? k2 ?

5 10 ?k?? 时 等 号 成 立 , 此 时 直 线 2 2

l1 : y ? ?

10 x ?1 2

第页

16


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