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向量与三角综合题选

向量与三角综合题选 1.将函数 y=f(x)·cosx 的图象按向量 a=( 数 f(x)可以是 A.cosx B.2cosx C.sinx ( D ) D.2sinx ? ,1)平移,得到函数 y=2sin2x 的图象那么函 4 sin ? ) ( 0 ? ? ? ? ? ? ) sin ? ) , b ? (cos? , 2.已知 a ? (cos?, ,且| ? a ?? b |=| ? a ?? b | ( ?? ? 0 ) ,则 ? ? ? ? 3.已知向量 a ? (cos ? . 2 3 3 x x ? x, sin x), b ? (cos ,? sin ), 且x ? [0, ], 求 2 2 2 2 2 ① a ? b及 | a ? b | ; ②若 f ( x) ? a ? b ? 2? | a ? b | 的最小值是 ? 解: (1) a ? b ? cos 3 , 求?的值. 2 3 x 3 x x ? cos ? sin x ? sin ? cos 2 x 2 2 2 2 3 3 3 x | a ? b |? ( c o s x ? c o s ) 2 ? ( s i n x ? s i n ) 2 ? 2 ? 2 c o 2 sx ? 2 c o 2 sx 2 2 2 2 ? x ? [0, ],? c o sx ? 0,?| a ? b |? 2 c o sx 2 (2) f ( x) ? cos2x ? 4? cos x,即f ( x) ? 2(cosx ? ? ) 2 ? 1 ? 2?2 ? x ? [0, ],? 0 ? cos x ? 1. 2 ? ? ①当 ? ? 0 时,当县仅当 cos x ? 0 时, f ( x) 取得最小值-1,这与已知矛盾; ②当 0 ? ? ? 1 时,当且仅当cos x ? ? 时, f ( x) 取得最小值 ? 1 ? 2? ,由已知得 2 3 1 ? 1 ? 2?2 ? ? , 解得 ? ? ; 2 2 ③当 ? ? 1时,当且仅当cos x ? 1时, f ( x) 取得最小值 1 ? 4? ,由已知得 1 ? 4? ? ? 解得 ? ? 3 2 5 1 ,这与 ? ? 1 相矛盾,综上所述, ? ? 为所求。 8 2 4.平面直角坐标系内有点 P (1, cos x), Q(cos x,1), x ? [? ? ? , ]. 4 4 (Ⅰ)求向量 OP和OQ 的夹角 ? 的余弦用 x 表示的函数 f ( x) ; (Ⅱ)求 f ( x) 的最小值. 解: (Ⅰ) ? OP ? OQ ? 2 cos x, | OP || OQ |? 1 ? cos2 x,? cos? ? OP ? OQ | OP | ? | OQ | ? 2 cos x ? f ( x) 1 ? cos2 x (Ⅱ) cos ? ? f ( x) ? 2 cos x ? 1 ? cos 2 x 2 ? cos x ? ? ? 2 . x ? [? , ],? cos x ? [ ,1] . 1 4 4 2 cos x ? cos x 2 1 3 2 2 2 2 2. ? , ? f ( x) ? 1, f ( x) min ? cos x 2 3 3 5.设 a ? (1 ? cos? , sin ? ) , b ? (1 ? cos ? , sin ? ) , c ? (1 , 0) ? ? (? , 2? ) , a 与 c 的夹角为 ? 1 , b 与 c 的夹角为 ? 2 ,且 ?1 ? ? 2 ? 值. (本题 12 分) .解: ? ? (0 , ? ) ? 6 ,求 sin ? ?? 4 的 a ? ( 2 cos2 b ? ( 2 sin 2 ? ? 2 , 2 sin , 2 sin ? ? cos ) ? 2 cos (cos , sin ) 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? 2 cos ) ? 2 sin (sin , cos ) 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? (0, ? ), ? ? (? ,2? ) ? 故 | a |? 2 c o s 2 co? s1 ? a?c |a |?|c | b?c |b |?|c | ? ? | b |? 2 s i n 2 ? 2 c o 2s ? ? (0, ), ? ( , ? ) 2 2 2 2 ? ? ? ? ? 2 ?cos ?? 1 ? ? 2 2 2c o s 2 ? 2 ? s i n? ? c o s? (? ) ? 2 2 2 2s i n 2 ? ? co? s2 ? ? 2 2s i n ?0 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ?? 2 ? ? 2 ? ? ? 2 又?1 ? ? 2 ? ? ? ? 2 ??? 2 ?? 4 ? 3 6 ? ? 2 ? 2 ? ? 6 ?s i n ??? ? 1 ? s i n? ( )?? 6 2 2 6.已知函数 f ( x) ? 2a ? sin x ? cos x ? 2b ? sin x ? b(a 、b 为常数,且 a ? 0 )的图 象过点( 0, 3 ) ,且函数 f ( x) 的最大值为 2. (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式,并写出其单调递增区间; (2)若函数 y ? f ( x) 的图象按向量 p ? (m,0) 作移动距离最小的平移后,使所得的图象关 于 y 轴对称,求出向量 p 的坐标及平移后的图象对应的函数解析式 解: (1) f ( x) ? a sin 2 x ? b ? cos2 x, f (0) ? 3得b ? 3, 又有 a 2 ? b 2 ? 2解得a ? ?1 所以函数 y ? f ( x)

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