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向量与三角综合题选


向量与三角综合题选 1.将函数 y=f(x)·cosx 的图象按向量 a=( 数 f(x)可以是 A.cosx B.2cosx C.sinx ( D ) D.2sinx ? ,1)平移,得到函数 y=2sin2x 的图象那么函 4 sin ? ) ( 0 ? ? ? ? ? ? ) sin ? ) , b ? (cos? , 2.已知 a ? (cos?, ,且| ? a ?? b |=| ? a ?? b | ( ?? ? 0 ) ,则 ? ? ? ? 3.已知向量 a ? (cos ? . 2 3 3 x x ? x, sin x), b ? (cos ,? sin ), 且x ? [0, ], 求 2 2 2 2 2 ① a ? b及 | a ? b | ; ②若 f ( x) ? a ? b ? 2? | a ? b | 的最小值是 ? 解: (1) a ? b ? cos 3 , 求?的值. 2 3 x 3 x x ? cos ? sin x ? sin ? cos 2 x 2 2 2 2 3 3 3 x | a ? b |? ( c o s x ? c o s ) 2 ? ( s i n x ? s i n ) 2 ? 2 ? 2 c o 2 sx ? 2 c o 2 sx 2 2 2 2 ? x ? [0, ],? c o sx ? 0,?| a ? b |? 2 c o sx 2 (2) f ( x) ? cos2x ? 4? cos x,即f ( x) ? 2(cosx ? ? ) 2 ? 1 ? 2?2 ? x ? [0, ],? 0 ? cos x ? 1. 2 ? ? ①当 ? ? 0 时,当县仅当 cos x ? 0 时, f ( x) 取得最小值-1,这与已知矛盾; ②当 0 ? ? ? 1 时,当且仅当cos x ? ? 时, f ( x) 取得最小值 ? 1 ? 2? ,由已知得 2 3 1 ? 1 ? 2?2 ? ? , 解得 ? ? ; 2 2 ③当 ? ? 1时,当且仅当cos x ? 1时, f ( x) 取得最小值 1 ? 4? ,由已知得 1 ? 4? ? ? 解得 ? ? 3 2 5 1 ,这与 ? ? 1 相矛盾,综上所述, ? ? 为所求。 8 2 4.平面直角坐标系内有点 P (1, cos x), Q(cos x,1), x ? [? ? ? , ]. 4 4 (Ⅰ)求向量 OP和OQ 的夹角 ? 的余弦用 x 表示的函数 f ( x) ; (Ⅱ)求 f ( x) 的最小值. 解: (Ⅰ) ? OP ? OQ ? 2 cos x, | OP || OQ |? 1 ? cos2 x,? cos? ? OP ? OQ | OP | ? | OQ | ? 2 cos x ? f ( x) 1 ? cos2 x (Ⅱ) cos ? ? f ( x) ? 2 cos x ? 1 ? cos 2 x 2 ? cos x ? ? ? 2 . x ? [? , ],? cos x ? [ ,1] . 1 4 4 2 cos x ? cos x 2 1 3 2 2 2 2 2. ? , ? f ( x) ? 1, f ( x) min ? cos x 2 3 3 5.设 a ? (1 ? cos? , sin ? ) , b ? (1 ? cos ? , sin ? ) , c ? (1 , 0) ? ? (? , 2? ) , a 与 c 的夹角为 ? 1

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