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福建省南平市2013年普通高中毕业班质量检查文科数学试题(纯word版)[1]

福建省南平市 2013 年普通高中毕业班质量检查

文科数学试题
本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题).本试卷共 5 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区 域书写的答案无效. 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答案使 用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 样本数据 x1 , x2 , ?, xn 的标准差: s ? 其中 x 为样本平均数; 柱体体积公式: V ? Sh , 其中 S 为底面面积, h 为高;

1 ?( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? … ? ( xn ? x )2 ? , ? n?

1 Sh , 3 其中 S 为底面面积, h 为高;
锥体体积公式: V ? 球的表面积、体积公式:

S ? 4?R2 , V ?

4 3 ?R , 3

其中 R 为球的半径.

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点坐标为 A.(2,0) B.(1,0) C.(0,-4) D.(-2,0)

2.命题“ ?x ? R, ? ? 0 ”的否定是 ? A. ?x ? R, ? ? 0 ?
x

?1? ?2?
x

x

?1? ?2?

B. ?x ? R, ? ≤0 ?
x

?1? ? 2?

x

?1? ?1? D. ?x ? R, ? ≤0 ? ? 2? ?2? 3.已知直线 l1 : ax ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 l2 : (3 ? a) x ? y ? a ? 0 ,若 l1 ? l2 ,则 a 的值为
C. ?x ? R, ? ? 0 ?

A.1 4.复数

B.2

C.6

D.1 或 2

3?i 等于 1? i
B. 1 ? 2i C. 2 ? i D. 2 ? i

A. 1 ? 2i

5.下列函数中,是奇函数且在区间(0,1)内单调递减的是 A. y ? log 1 x
2

B. y ?

1 x

C. y ? x3

D. y ? tan x

6.方程 lnx ? x ? 4 A. (1,2) C. (3,4)

? 0 实根所在的区间为
B. (2,3) D. (4,5)

7.已知向量 a, b 均为单位向量,若它们的夹角是 60° ,则 A.2 C. 7 B. 13 D.3

a ? 3b 等于

8.右图是某几何体的三视图,其中正视图是正方形,侧视图是 矩形,俯视图是半径为 2 的半圆,则该几何体的表面积等于 A.16+12π C.16+4π 9.已知函数 f ( x) ? ? A.-1 C.1 10.将函数 y ? cos( 2 x ? A. y ? 2 cos x
2

B.24π D.12π
正视图 侧视图

?log5 (4 ? x), x ≤ 0, 则 f (2013 的值为 ) f ( x ? 2), x ? 0, ?
B.-2 D.2

俯视图

π π ) 的图象向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式是 2 4
B. y ? 2 sin x
2

C. y ? 1 ? cos( 2 x ?

π ) 4

D. y ? cos 2 x

11.函数 f ( x ) 的导函数 f ?(x ) 的图象如右图所示, 则 f ( x ) 的图象可能是

-1

-1

-1

M ? x y? x ? 12.已知平面区域 M ? ??x,, y ? x ? y ≤4 , N ? ?( x, y ) ?
2 2 2 2

??

?

? ? ? ?

? ? y≥ m x ? 2m, ? ? ,在区域 M 上随机取一点 A , 2 2 ?x ? y ≤ 4 ? ?

点 A 落在区域 N 内的概率为 P(N),若 p( N ) ? ? , P(N) A. ?0,1? B. ? ?

? 1 3? ? 2 ? ,则实数 m 的取值范围为 ? 2 4? ? ?
D. ? ?1,0?

? ?

3 ? , 0? 3 ?

C. ??1,1?

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡的相应位置.

? 13.已知集合 M ? x x ? 1 ≤1 , N ? ??1,0,1 ,那么 M ? N ? ?
14.执行右边的程序框图,输出的 S = 15.若函数 .

?

?



f ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) 在[-1,2]上的
1 3

n

( 最大值为 4,最小值 m ? 0, ) ,则 a =

?1? ? 16. 已知数列{ an }满足 a1 =l,an + an+1 = ? ? (n∈ N ) , 4? ?

记 Tn = a1 +

a2 ·4+ a3 · 42 +?+ an · 4 n?1 ,类比
课本中推导等比数列前 n 项和公式的方法,可求得 5 Tn - 4 an =
n



三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 为调查民营企业的经营状况,某统计机构用分层抽样的方法从 A、B、C 三个城市中,抽取若干个民营企 业组成样本进行深入研究,有关数据见下表:(单位:个)
城市 A B C 民营企业数量 28 14 抽取数量 2

x
3

y

(Ⅰ)求 x 、 y 的值; (Ⅱ)若从城市 A 与 C 抽取的民营企业中再随机选 2 个进行跟踪式调研,求这 2 个都来自城市 C 的概率.

18.(本小题满分 12 分) 如图,菱形 ABCD 的边长为 2,△ BCD 为正三角形,现将△ BCD 沿 BD 向上折起,折起后的点 C 记 为 C ? ,且 CC ? ? 3 ,连接 CC ? . (Ⅰ)若 E 为 CC ? 的中点,证明: AC ? // 平面 BDE ; (Ⅱ)求三棱锥 C ? ? ABD 的体积.

C?

D

E

A

C B

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 ff ( x) ? sin xx (1 ? 2sin 2 ) ? cos x sin ? (0 ? ? ? π)在 x ? π 处取最小值. ? sin ? ? )在 2 (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a ? 1, b ? 3, f ( A) ? 求角 C.

?

3 , 2

20.(本小题满分 12 分) 已知等差数列{ an }的各项都不相等,前 3 项和为 18,且 a1 、 a3 、 a7 成等比数列. (Ⅰ)求数列{ an }的通项公式; (Ⅱ)若数列{ bn }满足 bn?1 ? bn ? an (n ? N? ) ,且 b1 ? 2 ,求数列 ?

?1? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn ?

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin x,g ( x) ? m x ?

x3 ( m 为实数). 6

(Ⅰ)求曲线 y ? f (x) 在点 P? , ? f ? (Ⅱ)求函数 g (x) 的单调减区间;

?π ?4

? π ?? ? ? 处的切线方程; ? ? 4 ??

(Ⅲ)若 m ? 1 ,证明:当 x ? 0 时, x ? f ( x) ? g ( x) .

22.(本小题满分 14 分) 如图,设椭圆 C: O 为坐标原点. y A (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 O 作两条互相垂直的射线,与椭圆 C 分别交于 A,B 两点. (ⅰ) 试判断点 O 到直线 AB 的距离是否为定值.若是请求 出这个定值,若不是请说明理由; (ⅱ)求 AB 的最小值. N M O B x

x2 y2 3 ,顶点 M、N 的距离为 5 , ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率 e ? 2 2 a b

2013 年南平市普通高中毕业班质量检查

文科数学试题评分标准
说明: 1、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制定相应的评分细则. 2、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可 视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有 较严重的错误,就不再给分. 3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.

一、选择题:本题考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 60 分. 1. B; 2. D; 3. D; 4.C; 5. B; 6. B; 7. C; 8. A; 9. C; 10. A; 11. B; 12. D. 二、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每小题 4 分,满分 16 分. 13. ??1, 0? ; 14.26; 15.

1 ; 16.n. 4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解:(Ⅰ)由题意得

x 2 3 ? ? , 所以 x ? 1, y ? 42. ???6 分 14 28 y

(Ⅱ)记从城市 A 所抽取的民营企业分别为 b1 , b2 ,从城市 C 抽取的民营企业分别为 c1 , c2 , c3 , 则从城市 A、C 抽取的 5 个中再随机选 2 个进行跟踪式调研的基本事件有

?b1, b2 ? , ?b1, c1 ? , ?b1, c2 ? , ?b1, c3 ? , ?b2 , c1 ? , ?b2 , c2 ? , ?b2 , c3 ? , ?c1, c2 ? , ?c1, c3 ? , ?c2 , c3 ?
共 10 种. ???9 分 设选中的 2 个都来自城市 C 的事件为 X,则 X 包含的基本事件有 ? c1 , c2 ? , ? c1, c3 ? , ? c2 , c3 ? 3 种,因此 P( X ) ?

3 3 .故这 2 个都来自城市 C 的概率为 .???12 分 10 10
C?
E

18.解:(Ⅰ)连接 AC ,交 BD 于点 O ,连接 OE 、 OC ? , ∵ ABCD 为菱形,∴ O 为 AC 中点???2 分 又∵E 为 CC ? 的中点,∴ OE // AC ? ???4 分 又 AC ? ? 平面 BDE , OE ? 平面 BDE ∴ AC ? // 平面 BDE .???6 分 (Ⅱ)解法一:
A O B D

C

在菱形 ABCD 中, BD ? CO , BD ? AO ∵△ BCD 沿 BD 折起, ∴ BD ? C ?O ???7 分 又 AO ? C ?O ? O ,∴ BD ? 平面 AC ?O ???8 分 ∵ CC ? ? OC ? OC ? ? 3 , ∴ ?C ?OC =

3 3 11 ? AC , S SAOC? ??? OC ?? ? AO ? sin ?AOC ? ? ???10 分 ? ? AOC 4 22 3

1 3 3 3 1 S AOC? ? DB ?2= ∴ VC?? ABD ? VB? AOC? ? VD? AOC? ? S??AOC?? DB = ? ???12 分 3 4 2 3
解法二:在△ C ?CO 内,过 C ? 作 C ?H ? OC 于 H, 在菱形 ABCD 中, BD ? CO ,又△ BCD 沿 BD 折起, ∴ BD ? C ?O ???7 分 ∵ CO ? C ?O ? O ∴ BD ? 平面 CC ?O ∴ BD ? C ?H ???8 分

又 CO ? BD ? O ,∴ C ?H ? 平面 BDC ???9 分 ∵ CC ? ? OC ? OC ? ? 3 ,∴ C ?H ? 3 ???10 分 2

1 3 3 3 1 ? 22 ? = ∴ VC?? ABD ? S??ABD ? C?H = ? ???12 分 S ABD ? C ?H 3 4 2 2 3

19.解:(Ⅰ) f ( x) ? sin x(1 ? 2sin 2 ) ? cos x sin ? ? sin x cos? ? cos x sin ?

?

2

? ???6 分 2 ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f(x)=sin(x+ )=cosx. ???7 分 2 ? 3 因为 f(A)=cosA= ,且 A 为△ABC 的角,所以 A= .???8 分 6 2 b sin A 3 π 2π 由正弦定理得 sinB= = ,所以 B ? 或 B ? ???10 分 2 a 3 3
又 0< ? <π,所以 ? =

=sin(x+ ? ).???3 分 因为 f(x)在 x=π 时取最小值,所以 sin(π+ ? )=-1,故 sin ? =1. ???5 分

π π π π 时, C ? π ? A ? B ? π ? ? ? ; 3 6 3 2 π 2π π 2π 当B? 时, C ? π ? A ? B ? π ? ? ? . 6 3 6 3
当B? 综上所述, C ?

?

2

或C ?

?

6

???12 分

3? 2 ? ?3a1 ? 2 d ? 18, 20. 解:(Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,则 ? ???2 分 ? a ? a ? 6d ? ? ? a ? 2d ? 2 , 1 ? 1 1

解得 ?

?d ? 2 ? d ? 0 或? ???4 分 ?a1 ? 4 ? a1 ? 6
∴?

∵d ? 0

?d ? 2 ?a1 ? 4

∴ an ? 2n ? 2 .???5 分

* (Ⅱ)由 bn?1 ? bn ? an ,∴ bn ? bn?1 ? an?1 n ? 2, n ? N ???6 分

?

?

∴当 n ≥2 时, bn ? ?bn ? bn ?1 ? ? ?bn ?1 ? bn ?2 ? ? ?? ?b2 ? b1 ? ? b1 ???8 分

? an?1 ? an?2 ? ? ? a1 ? b1 = 2n ? 2(n ? 1) ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ?1 n(2n ? 2) ? n(n ? 1) ???10 分 = 2 又 b1 ? 2 符合上式 1 1 1 1 ? ? ? ∴ ???11 分 bn n ? n ? 1? n n ? 1 1 1 1 1 1 1 n Tn ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1? = .???12 分 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1

21. (Ⅰ)解:由题意得所求切线的斜率 k ? f ?( ) ? cos

?

?
4

4

?

2 ???2 分 2

切点 P( 即x?

?
4

,

2 2 2 ? ? (x ? ) ), 则切线方程为 y ? 2 2 4 2
π ? 0 ???4 分 4

2y ?1?

(Ⅱ)解: g ?(x) ? m ?

1 2 x 2

(1)当 m ≤0 时, g ?(x ) ≤0,则 g (x) 的单调减区间是 (??,??) ;???6 分 (2)当 m ? 0 时,令 g ?(x ) <0,解得 x ? ? 2m 或 x ?

2m ,

则 g (x) 的单调减区间是 (??,? 2m ) , ( 2m,??). ???8 分 (Ⅲ)证明:令 h( x) ? x ? sin x, x ? [0,??) , h?( x) ? 1 ? cos x ? 0 , 则 h(x) 是 [0,??) 上的增函数,故当 x ? 0 时, h( x) ? h(0) ? 0 所以 x ? sin x ? 0 ,即 x ? f (x) ???10 分 令 ? ( x) ? sin x ?

x3 x2 ? x, x ? [0,??) , ? ?( x) ? cos x ? ? 1, 6 2

令 u ( x) ? ? ?( x) , x ? [0,??) , u?( x) ? x ? sin x ? 0 ,则 u (x) 是 [0,??) 上的增函数, 故当 x ? 0 时, u( x) ? u(0) ? 0 ,即 ? ?( x) ? 0 ,因此 ? (x) 是 [0,??) 上的增函数, 则当 x ? 0 时, ? ( x) ? ? (0) ? 0 ,即 sin x ?

x3 ? x ? 0 , f ( x) ? g ( x) 6

综上若 m=1 时,得 x ? 0 时, x ? f ( x) ? g ( x) .??12 分

22. 解:(Ⅰ)由 e ?

3 c 3 得 ? ???1 分 2 a 2

y A

由顶点 M、N 的距离为 5 ,得 a 2 ? b 2 ? 5 ???2 分 又由 a 2 ? b 2 ? c 2 ,解得 a ? 2, b ? 1 所以椭圆 C 的方程为
M O B x

x2 ? y 2 ? 1 ???4 分 4

N

(Ⅱ)解法一:(ⅰ)点 O 到直线 AB 的距离为定值???5 分 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , ① 当直线 AB 的斜率不存在时,则 ?AOB 为等腰直角三角形,不妨设直线 OA: y ? x

x2 2 5 将 y ? x 代入 ? y 2 ? 1 ,解得 x ? ? 5 4
所以点 O 到直线 AB 的距离为 d ?

2 5 ;???6 分 5
x2 ? y2 ? 1 4

② 当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m 与椭圆 C: 联立消去 y 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m 2 ?4 ? 0 ???7 分

x1 ? x2 ? ?

4m 2 ? 4 8km x1 x2 ? ???8 分 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ,

因为 OA ? OB ,所以 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 , x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 即 (1 ? k 2 ) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ? 0 ???10 分 所以 (1 ? k 2 )

4 m 2 ? 4 8k 2 m 2 ? ? m 2 ? 0 ,整理得 5m2 ? 4(1 ? k 2 ) , 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

所以点 O 到直线 AB 的距离 d ?

m 1? k
2

?

2 5 5

综上可知点 O 到直线 AB 的距离为定值

2 5 ???11 分 5

(ⅱ)在 Rt ?AOB 中,因为 d ? AB ? OA ? OB 又因为 2 OA ? OB ≤ OA ? OB
2 2

? AB ,所以 AB ≥ 2d ? AB ???13 分
2 2

所以 AB ≥ 2d ? AB ?

4 4 5 5 ???14 分 ,当 OA ? OB 时取等号,即 AB 的最小值是 5 5

解法二:(ⅰ)点 O 到直线 AB 的距离为定值???5 分 设 A?x0 , y0 ? , ①当直线 OA 的斜率为 0 时, OA ? 2 , OB ? 1 ,此时 d ?

OA ? OB 2 ? 5 AB 5

同理,当直线 OA 的斜率不存在时, d ?

2 5 ???6 分 5
x2 ? y2 ? 1 4

?m ②当直线 OA 的斜率存在且不为 0 时,设直线 OA 的方程为 y ? kx 与椭圆 C:
联立,解得 x0 ?
2

4 4k ? 1
2

???7 分

OA ? x0 (1 ? k 2 ) ?
2 2

4(k 2 ? 1) ???8 分 4k 2 ? 1

同理, OB ?
2

4(k 2 ? 1) ???9 分 k2 ? 4

所以

1 OA
2

?

1 OB
2

?

5 ???10 分 4

所以

OA ? OB 2 2 5 ? 5 ,即 d ? 5 AB 5
2 5 ???11 分 5

综上可知点 O 到直线 AB 的距离为定值 (ⅱ) AB ? OA ? OB ?
2 2 2

20(k 2 ? 1) 2 ???12 分 4k 4 ? 17k 2 ? 4

?

20 20 20 16 ≥ ? ? ???13 分 2 9 9 5 9k 4? 4? 4? 4 2 1 4 k ? 2k ? 1 k2 ? 2 ? 2 k
1 4 AB 的最小值是 5 ???14 分 2 ,即 k ? ?1 时, k 5

2 当且仅当 k ?


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