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江苏省盐城市时杨中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理


江苏省盐城市时杨中学 2015-2016 学年高二数学下学期期中试题 理
一、填空题: (70 分) 1.在复平面内,复数 z ? ?1 ? 2i 对应的点所在的象限是______▲___. 2.若空间中的三个点 A(1, 5, ? 2) , B(2, 4, 1) , C (a, 3, b ? 2) 共线,则 a+b= 3.若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数( i 是虚数单位),则实数 b= ▲ . 4. 数列 1,4,7,10,?,的第 8 项等于 ▲ 5.计算: i ? i ? i ? i ?
2 3 4





. ▲ ▲ . .

6. 已知 a =(1,1,0), b =(-1,0,2),且 k a ? b 与 a ? b 互相垂直,则 k 的值为

2?i 7.若将复数 表示为 a ? bi(a, b ? R, i 是虚数单位)的形式,则 a ? b ? 1 ? 2i
?

8.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于 60 ”时应假设 ▲ . 9.已知 S 是△ABC 所在平面外一点,D 是 SC 的中点,若 BD = xSA ? y SB ? z SC ,则 x+

y +z=

▲ .
2

n4 ? n2 10.用数学归纳法证明:1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ,则当 n ? k ? 1 时,左端在 n ? k 时 2
的左端加上了 ▲ . 11.若向量 a ? (1, ?,2),b ? (2,?1,2) ,且 a 与 b 的夹角余弦为

8 ,则 ? 等于___ 9



.

12.现有一个关于平面图形的命题:如图,同一个平面内有两个边长 都是 a 的正方形,其中一个 的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形 产生重叠部分的面积恒为

a2 ,类比到空间,有两个棱长均为 a 的正方体, 4
▲ .

其中一个的某顶点在 另一个的中心 ,则这两个正方体重叠部分的体积恒为

13.正四棱锥 S -ABCD 中,O 为顶点在底面上的射影,P 为侧棱 SD 的中点,且 SO=OD,则 直线 BC 与平面 PAC 的夹角的大小为__▲_____. 14.一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●?若 将此若干个圈依此规律继续下去 , 得到一系列的圈 , 那么在前 160 个圈中的●的个数是 ▲ 。 二、解答题(90 分) 15.(本题满分 14 分)把复数 z 的共轭复数 记作 z ,i 为虚数单位,若 z ? 1 ? i . (1)求复数 (1 ? z ) ? z ; (2)求 (1 ? z ) ? z 的模.
2

1

16. (本题满分 14 分) 用数学归纳法证明: (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? (n ? n) ?

n(3n ? 1) ( n ? N? ) 2

17. (本题满分 14 分)已知 x,y∈R ,且 x+y>2,求证:

+

1? x 1? y 与 中至少有一个小于 2。 y x

18、 (本题满分 16 分) . (1)已知 m, n 是空间的两个单位向量,它们的夹角为 60°, 设向量 p ? 2m ? n, q ? ?3m ? 2n .求向量 p 与 q 的夹角; (2)已知 u , v 是两个不共线的向量, a ? u ? v, b ? 3u ? 2v, c ? 2u ? 3v . 求证: a, b, c 共面.

19. (本题满分 16 分)已知数列 an 满足条件 an ?1 ?

? ?

1 . 1 ? an

2

1 ,求 a2 , a3 , a4 的值. 2 (2)已知对任意的 n ? N ? , 都有 an ? 1 ,求证: an ?3 ? an 对任 意的正整数 n 都成立;
(1)若 a1 ? (3)在(1)的条件下,求 a2 015 .

20. (本题满分 16 分) 在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , F 分别为 A1 B1 , CD 的 中点. (1)求 CE (2)求直线 EC 与 AF 所成角的余弦值; (3)求二面角 E ? AF ? B 的余弦值.
D1 A1 E B1 C1

D

F B

C

A

3

盐城市时杨中学 2015/2016 学年高二年级期中考试 数 学 答 题 纸(理科)

一、 (本题共 14 小题,共 70 分) 1、 3、 5、 7、 9、 0 1 二 2 2、 4、 6、 8、 10、 2 三角形的三个内角都大于 60
?

5 22

?

1 2
12、

11、 13、 考试号

2 或-2 55
30?

a3 8
14、 16

二、 (本题共 6 小题,共 90 分) 15. (1) 3-i (2)2+4i

班级

姓名

请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效

4

16



17.

证明:(反证法):假设

1? y 1? x 1? y 1? x 均不小于 2,即 ≥2, ≥2, 与 x y x y

∴1+x≥2y,1+y≥2x。将两式相加得:x+y≤2,与已知 x+y>2 矛盾, 故

1? x 1? y 与 中至少有一个小于 2。 y x

18 题

5

19. .(1) a2 ? 2, a3 ? ?1, a4 ? (2)∵ an ?1 ?

1 ; 2

1 , 1 ? an 1 ? an 1 ? an 1 1 ∴ an ? 2 ? , ? ? ? 1 1 ? an ?1 1 ? an ? 1 ?an 1? 1 ? an
∴ an ?3 ?

1 ? 1 ? an ? 2

?an 1 ? ?a . 1 ? an ?an ? ?1 ? an ? n 1? ?an

即 an ?3 ? an 对任意的正整数 n 都成立; (3)由前面的结论,可得 a2 015 ? a3 ? ?1 .

6

20.
D1 A1 E B1 C1

D

F B

C

A

解: (1)建立坐标系. A(2, 0, 0) , F (0,1, 0) , C (0, 2,0) , 所以

??? ? ??? ? E (2,1, 2) AF ? (?2,1,0) , CE ? (2, ?1, 2)
?4 ? 1 (?2) ? 1 ? 2 ? (?1) ? 2
2 2 2 2 2

???? ? ??? ? cos ? AF ,CE ??

??

5 , 3

故直线 EC 与 AF 所成角的余弦值为

5 .……7 分 3

(2)平面 ABCD 的一个法向量为 n1 ? (0,0,1) 设 平 面 AEF 的 一 个 法 向 量 为 n2 ? ( x, y, z) , 因 为

?? 2 x ? y ? 0 , AF ? (?2,1,0) , AE ? (0,1,2) 所以 ? ? y ? 2z ? 0 令 x ? 1 ,则 y ? 2, z ? ?1

? n2 ? (1,2,?1) cos? ?

n1 ? n2 n1 n2

?

?1 1? 4 ?1

?

6 6

由 图 知 二 面 角 E ? AF ? B 为 锐 二 面 角 , 其 余 弦 值 为

6 . ……… 14 分 6

7


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