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山西省原平市第一中学2014~2015学年度第一学期期末高二数学文科试题 Word版含答案

原平一中 2014~2015 学年度第一学期期末试题

高二数学(文)
第 I 卷(选择题)

一、选择题(本题共 12 道小题,每小题 5 分,共 60 分)
1. 若集合 A ? x ? 2 ? x ? 1 , B ? x 0 ? x ? 2 ,则 A ? B =( A. C.

?

?

?

?



?x ? 2 ? x ? 2?
?x 0 ? x ? 1?
?
3 ? y ? 2 ? 0 的倾斜角 ? 是(
B. )

B. D.

?x ? 2 ? x ? 0?
?x1 ? x ? 2?
2? 3

2.直线 x tan A.

? 3

? 6

C.

D. ? )

?
3

3. 已知向量 a ? ( x ?1, 2) , b ? (2,1) ,则 a ? b 的充要条件是( A. x ? 5 B. x ? 0 C. x ? ? ) C.

1 2

D. x ? ?1

4. 抛物线 y ? 2 x 2 的焦点 F 到准线 l 的距离是( A. 2 B. 1

1 2

D. (

1 4


5. 函数 f ( x) ? x 3 ? 3x ? 1 在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是 A.3,-17 B. 1,-17 C.1,-1

D.9,-19

6. 从已有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球,设 A={至少取到两个红球} ,B={恰好取 到一个白球} ,则事件 AB 的概率是 ( D. )

1 3 3 B. C. 5 10 10 2 7.若 f ( x) ? x ? 2x ? 4ln x ,则 f ?( x) ? 0 的解集为( )
A. A.(0,+∞) C.(2,+∞)

9 10

B.(-1,0)∪(2,+∞) D.(-1,0) )

8. 已知直线 l ? 平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,给出下列命题,其中正确的是( ① ? // ? ? l ? m A.②④ ② ? ? ? ? l // m B.①③ ③ l // m ? ? ? ? C.②③④

④ l ? m ? ? // ? D.①②④

-1-

9. 已知两条直线 l1 : x ? y ? 2 ? 0, l2 : 3x ? ay ? 2 ? 0 ,且 l1 ? l2 ,则 a ? ( A. ?



1 3

B. ?3

C.

4 3

D. 3

10.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线与圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1相切,则双曲线离心率为( a 2 b2
B. 3 C.
2



A.

3

D. 2

11.某四棱锥的三视图如图所示,其中正(主)视图是等腰 直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形, 则该四棱锥的体积是( A. 8 )
2

8 3 C. 4 4 D. 3
B. 12.已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 1,点 A ? ?2,0 ? 及点 B ? 2, a ? , 从 A 点观察 B 点,要使视线不被圆 C 挡住,则 a 的取值 范围是( ) A. ? ??, ?

1

1

1

1

正(主)视图

侧(左)视图

俯视图

? ? ?

? 4 3? ?4 3 , ?? ? ∪? ? ? ? ? 3 ? ? 3 ?

B. ? ??, ?2? ∪ ? 2, ??? D. ? ??, ?4? ∪ ? 4, ???

C. ? ??, ?1? ∪ ?1, ?? ?

第 II 卷(非选择题) 二、填空题(本题共 4 道小题,每小题 5 分,共 20 分 ) 13. 命题 p : ?x ? R, sin x ? 1,则 ?p : . . .

14. S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和, a2 ? a6 ? 6 ,则 S7 ? 15.圆心在 x 轴上,经过原点,并且与直线 y=4 相切的圆的方程是 16.给出下列三个命题: ①函数 y=tanx 在第一象限是增函数;②奇函数的图象一定过原点; ③函数 y=sin2x+cos2x 的最小正周期为 π ,④函数 y ? x ? 其中假 命题的序号是________________. .

2 的最小值为 2 2 , x

三、解答题(本题共 6 道小题,共 70 分)
-2-

17.(本小题满分 10 分) 已知 p : x 2 ? 6x ? 27 ? 0, q : x ? 1 ? m(m ? 0) ,若 q 是 p 的必要而不充分条件,求实 数 m 的取值范围. 18.(本小题满分12分) 已知直线 l 经过点 P?? 2,5? ,且斜率为 -

3 . 4

(1)求直线 l 的一般式方程; (2)若直线 m 与 l 平行,且点 P 到直线 m 的距离为 3,求直线 m 的方程. 19. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,已知 a、b、c 分别是内角 A 、 B 、 C 所对应的边长,且 b2 ? c 2 ? a 2 ? bc. (1)求角 A 的大小; (2)若 b ?1,且△ ABC 的面积为

3 3 ,求 sin B . 4

20. (本小题满分 12 分) 如图, 已知正方形 ABCD 的边长为 2,AC ? BD ? O . 将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,得到三棱锥 A ? BCD . (1)求证: 面AOC ? 面BCD (2)若 ?AOC ? 60 ,求三棱锥 A ? BCD 的体积。 B
?

A A D O C

O C

B

D

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 为-4. (1)求 a、b 的值; (2)求 y ? f ( x) 的极大值; (3)对 ?x ??-2,3? ,都有 f ( x) ? k ? 0 ,求 k 的取值范围。

11 1 3 x ? ax 2 ? bx (a,b∈R).若 y ? f ( x) 图象上的点 (1,? ) 处的切线斜率 3 3

22. (本小题满分 12 分) 设椭圆 C:

x2 y2 3 ,且过点 A(2,0),O 为坐标原点. ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率 e ? 2 2 a b
-3-

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若过点 M(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A、B,且 OA ? OB ,求直线 l 的方程.

********************** 密 **************************封***************************线*********************

原平一中高二期末考试 数学(文) 答题纸
注 意 事 项
1.答题前,务必先将本人的姓名、联考证号填写清楚。 2.严格按照题号在答题区域内作答,超出答题区域无效 3. 保持答题卡清洁完整, 严禁折叠 , 严禁在答题卡上做 任何标记,严禁使用涂改液、修正纸和修正带。 4.若考生未按要求答题,影响评分结果,后果自负。

座位号

贴条形码区域

一考场号

选择题 (每小题 5 分,共 60 分) 1 2 3 4 ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 5 6 7 8 ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 9 10 11 12 ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??

准考证号

非选择题 13、 17、 (10 分) 14、 15、 16、

学校

班级

姓名

-4-

18、 (12 分) (1)

(2)

19、 (12 分)

20、 (12 分) (1)

-5-

(2)

21、 (12 分)

-6-

22、 (12 分)

文科数学参考答案 一、 选择题 题号 答案 1 C 2 C 3 B 4 D 5 A 6 C 7 C 8 B 9 B 10 D 11 D 12 A

二、 填空题

-7-

13. ?x ? R,sin x ? 1

14.21

15. ( x ? 4)2 ? y 2 ? 16

16. ①②④

三、 解答题 17. 解:由 p 得 ?3 ? x ? 9 由 q 得 ?m ? 1 ? x ? m ? 1 ∵q 是 p 的必要而不充分条件

?1 ? m ? ?3 ∴? 得m ?8 ?1 ? m ? 9
又因为 m ? 8 时命题成立。 ∴实数 m 的取值范围是 m ? 8 18. 解:(1)由直线 方程的点斜式,得

y-5= ?

3 (x+2), 4

源:Z

整理得所求直线方程为 3x+4y-14=0. (2)由直线 m 与直线 l 平行,可设直线 m 的方程为 3x+4y+C=0, 由点到直线的距离公式得
| 3 ? (?2) ? 4 ? 5 ? C| , ?3 32 ? 42
14 ? C| , 即| ?3 5

解得 C=1 或 C= - 29, 故所求直线方程为 3x+4y+1=0 或 3x+4y-29=0.
2 2 2 19. 解: (Ⅰ)在△ABC 中, b ? c ? a ? 2bc cos A

又b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc,
? cos A ?
(Ⅱ)由 S ?

1 ? ,? A ? . 2 3

1 3 3 3 bc sin A ? bc ? ,得 bc ? 3 2 4 4 b ?1 ?c ? 3

? a 2 ? b2 ? c2 ? bc ? 1 ? 9 ? 3 ? 7 ? a ? 7

a b b sin A 21 ? , 得 sin B ? 由 ? 2 ? sin A sin B a 14 7
20. 解: (1)证明:因为 AC、BD 是正方形 ABCD 的对角线,所以 AC?BD. 故在折叠后的?ABD 和?BCD 中,有 BD?AO,BD?CO. 又 AO∩CO=O,所以 BD?平面 AOC. 因为 BD?平面 BCD,所以平面 AOC?平面 BCD.
-8-

3

(2)

6 3
2

21. 解:(1)∵f′(x)=x +2ax-b, 11 ∴由题意可知:f′(1)=-4 且 f(1)=- . 3 1+2a-b=-4, ? ? 即?1 11 ?3+a-b=- 3 , ?
? ?a=-1, ?b=3. ?

解得?

1 3 2 (2)由(1)知:f(x)= x -x -3x, 3

f′(x)=x2-2x-3=(x+1)(x-3)
令 f′(x)=0,得 x1=-1,x2=3. 由此可知,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

(-∞,-1) + ↗

-1 0 极大值

(-1,3) -

3 0 极小值

(3,+∞) + ↗

5 ∴ 当 x=-1 时,f(x)取极大值 . 3 (3)由(2)知 y ? f ( x) 在(-2,-1)内是增函数,在(-1,3)内是减函数,所以 5 函数的最大值为 , 3 ∵对 ?x ??-2,3? ,都有 f ( x) ? k ? 0 ∴k ?

5 5 , ∴k 的取值范围为 ( , ??) 。 3 3

?c 3 ? ? 22.解: (1)由题知 ? a 2 ,解得 c ? 3 ?a ? 2 ?
∴ b2 ? a 2 ? c 2 ? 4 ? 3 ? 1 ∴椭圆的标准方程为

x2 ? y2 ? 1 4

(2)解:① 当直线 l 的斜率不存在时,点 A、B 共线,不合题意。 ② 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 与椭圆 C: 联立消去 y 得 (1 ? 4k ) x ? 16kx ? 12 ? 0
2 2

x2 ? y2 ? 1 4

∵直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A、B

-9-

2 ∴ ? ? (16k )2 ? 4 ?12(1 ? 4k 2 ) ? 0 ,即 4k ? 3 ? 0 ,∴ k ?
2

3 ① 4

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , x1 ? x2 ? ?

16k 12 xx ? 2 , 1 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

因为 OA ? OB ,所以 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 , 所以 即

x1 x2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? 0

(1 ? k 2 ) x1x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0

12(1 ? k 2 ) 32k 2 ? ?4?0 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
整理得 k 2 ? 4 ,所以

k ? ?2

,满足①.

所以直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 2 或 y ? ?2 x ? 2 .

- 10 -


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