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浙江省杭州十四中2012届高三5月高考模拟测试数学文试题


本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页,选择题部分 1 至 2 页,非选择题部分 2 至 4 页. 满分 150 分,考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.

选择题部分(共 50 分)
注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其它答案标号,不能答在试题卷上. 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 柱体的体积公式

P ( A + B ) = P ( A) + P ( B )
如果事件 A,B 相互独立,那么

V = Sh
其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 锥体的体积公式

P ( A ? B ) = P ( A) ? P ( B )
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么

1 V = Sh 3
其中 S 表示锥 体的底面积,h 表示锥体的高 球的表面积公式

n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率

Pn ( k ) = C p (1 ? p )
台体的体积公式

k n

k

n?k

, ( k = 0,1, 2, ?, n )

S = 4πR 2

1 V = h S1 + S1 S2 + S2 3

(

)

球的体积公式

其中 S1 , S2 分别表示台体的上底、下底面积,

V=

4 3 πR 3

h 表示台体的高

其中 R 表示球的半径

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 . 有一项是符合题目要求的 有一项是符合题目要求的. (1) 设全集 U = {1, , A = {1, 3, 56 , 8} , 6} , B = {5, 6, 8} ,则 (C U A) ∩ B = ( A. {6} C. {6, 8} B. {5, 8} D. {3, 5, 6 8} , )

(2) 若 x ∈ R ,则“ x > 0 ”是“ x ≠ 0 ”的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 (3) 直线 x ? 2 y + 1 = 0 关于直线 x = 1 对称的直线方程是( ) A. x + 2 y ? 1 = 0 B. 2 x + y ? 1 = 0 C. 2 x + y ? 3 = 0 D. x + 2 y ? 3 = 0 (4) 已知 k < ?4 ,则函数 y = cos 2 x + k (cos x ? 1) 的最小值是( ) A. 1 C. 2k + 1 (5) 已知 {an } 是等比数列, a2 = 2 , a5 = A. 16(1 ? 4? n ) C. B. ?1 D. ?2k + 1

1 ,则 a1a2 + a2 a3 + ? + an an +1 = ( 4
B. 16(1 ? 2? n ) D.



32 (1 ? 4 ? n ) 3
1

32 (1 ? 2 ? n ) 3

? ? ? ? ? ? ? (6) 已知向量 a ≠ e , | a |= 1 ,对任意 t ∈ R ,恒有 | a ? te |≥| a ? e | ,则 ? ? A. a ⊥ e ? ? ? C. e ⊥ ( a ? e)
(7) 若 P 是两条异面直线 l , m 外的任意一点,则( A.过点 P 有且仅有一条直线与 l , m 都平行 B.过点 P 有且仅有一条直线与 l , m 都垂直 C.过点 P 有且仅有一条直线与 l , m 都相交 D.过点 P 有且仅有一条直线 与 l , m 都异面

? ? ? B. a ⊥ ( a ? e) ? ? ? ? D. (a + e ) ⊥ (a ? e )


? x ≥ 0, ? (8) 若 a ≥ 0, b ≥ 0 ,且当 ? y ≥ 0, 时,恒有 ax + by ≤ 1 ,则以 a ,b 为坐标点 P ( a, b) 所 ?x + y ≤ 1 ?
形成的平面区域的面积等于 A.

1 2

C.1

π 4 π D. 2
B.

(9) 如图,在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中已知 AB = 1 , D 在棱 BB1 上,且

BD = 1 ,若 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为 α ,则 α 的余弦值为
A. C.

1 2

6 4

2 2 10 D. 4
B.

2 ? x ≥1 ?x , (10) 设 f ( x ) = ? , g ( x ) 是二次函数,若 f ( g ( x )) 的值域是 [ 0, + ∞) ,则 g ( x ) 的值 x <1 ? ? x,

域是(

) B. ( ?∞, ? 1] ∪ [ 0, + ∞) D. [1, + ∞)

A. ( ?∞, ? 1] ∪ [1, + ∞) C. CM ⊥ EM

非选择题部分 (共 100 分)
2

二、 填空题: 本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分.

17 ,则 m= . 4 (12) 已知复数 z1 = 3 + 4i , z2 = t + i ,且 z1 i z2 是实数,则实数 t = . (13) 甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3 局 2 胜” ,即以先赢 2 局者为胜,根据经 验,每局比赛中甲获胜的概率为 0.6 ,则本次比赛甲获胜的概率是 .
(11) 已知抛物线 C : x 2 = 2 py ( p > 0) 上一点 A( m , 4) 到其焦点的距离为

(14) 一个空间几何体的三视图如右图所示,其中正视图为等腰直角三角形,侧视图与俯视 图为正方形,则该几 何体的表面积为 . (15) 曲线 y = x 3 ? 2 x 2 ? 4 x + 2 在点 (1, ? 3) 处的切线方程是 . (16) 在 ?ABC 中,

??? ? ??? ? ???? ? AC = 2 , BC = 6 , 已 知 点 O 是 ?ABC 内 一 点 , 且 满 足 OA + 3OB + 4OC = 0 , 则 ???? ??? ? ??? ? OC ? BA + 2 BC =

(

)

.

(17) 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,则 S 4 , S 8 ? S 4 , S12 ? S8 , S16 ? S12 成等差数列 .类比以 上结论有:设等比数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn ,则 T4 , , ,

T16 成等比数列. T12

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . (18) ( 本题满分 14 分 ) 已知函数 f ( x ) =

3 1 sin 2 x ? ( cos 2 x ? sin 2 x ) ? 1, x ∈ R ,将函数 2 2

f ( x ) 的图像向左平移
别为 a, b, c .

π 个单位后得函数 g ( x ) 的图像,设 ?ABC 的三个角 A, B , C 的对边分 6

(Ⅰ)若 c = 7 , f ( C ) = 0 , sin B = 3sin A ,求 a, b 的值;

?? ? ?? ? (Ⅱ) 若 g ( B ) = 0 且 m = ( cos A,cos B ) , n = (1,sin A ? cos A tan B ) , 求 m ? n 的取值范围.

(19)

( 本 题 满 分 14 分 ) 已 知 数 列 {an } 中 的 相 邻 两 项 a2 k ?1,a2 k 是 关 于 x 的 方 程
3

x 2 ? (3k + 2 k ) x + 3k i2 k = 0 的两个根,且 a2 k ?1 ≤ a2 k (k = 1, 2, 3? , ).
(Ⅰ)求 a1 , a3 , a5 , a7 及 a2 n ( n ≥ 4) (不必证明) ; (Ⅱ)求数列 {an } 的前 2n 项和 S 2 n .

(20)

( 本题满分 15 分 ) 如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直,

AB = 2 , AF = 1 , M 是线段 EF 的中点.
(Ⅰ)求证: AM //平面 BDE ; (Ⅱ)求二面角 A ? DF ? B 的大小; (Ⅲ)试在线段 AC 上确定一点 P ,使得 PF 与 BC 所成的角是 600 .

(21) (本题满分 15 分)设函数 f ( x ) = (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间;
1

1 ( x > 0且x ≠ 1) . x ln x

(Ⅱ)已知 2 x > x a 对任意 x ∈ (0,1) 成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)试讨论方程 f ( x ) ? b = 0 的零点个数.

4

(22)

(本题满分 14 分)已知椭圆 C1 :

y 2 x2 + = 1 (a > b > 0) 的右顶点 A(1, 0) ,过 C1 的焦点且 a2 b2

垂直长 轴的弦长为 1 . (I) 求椭圆 C1 的方程; (II) 设点 P 在抛物线 C2 : y = x 2 + h(h ∈ R ) 上, C2 在点 P 处的切线与 C1 交于点 M , N . 当线段 AP 的中点与 MN 的中点的横坐标相等时,求 h 的最小值.

参考答案 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题号 B B D A A C B C D C 答案 二、 填空题: 本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分。 (11) m = ±2 ;(12)

3 ; (13) 0.648 ; (14) 48+16 2 ; (15)5x+y-2=0;(16) 40; 4

(17)

T8 T12 . , T4 T8

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

π = 7 , b = 3a 解得: a = 1, b = 3 …………7 分 3 π π π (Ⅱ) g ( B ) = sin(2B + ) ? 1 = 0 ,所以 sin(2 B + ) = 1 , B= 6 6 6 ?? ? 3 3 1 3 π 于是 m ? n = cos A + (sin A ? cos A) = cos A + sin A = sin( A + ) …… 10 分 2 3 2 2 6 π 5 π π ∵ B = ∴ A ∈ (0, π ) ,得 A + ∈ ( , π ) 6 6 6 6 ?? ? π ∴ sin( A + ) ∈ (0,1] ,即 m ? n ∈ (0,1] ……………………14 分 6
由余弦定理知: a 2 + b2 ? 2ab cos
5

(II)解: S 2 k = a1 + a2 + ? + a2 n = (3 + 6 + ? + 3n) + (2 + 2 2 + ? + 2 n )

3n 2 + 3n n +1 = +2 ?2. 2

(20) 方法一 解: (Ⅰ)记 AC 与 BD 的交点为 O,连接 OE, ∵O、M 分别是 AC、 EF 的中点, ACEF 是矩形,∴四边形 AOEM 是平行四边形, ∴AM∥OE。∵ OE ? 平面 BDE, AM ? 平面 BDE, ∴AM ∥平面 BDE。 (Ⅱ) 在平面 AFD 中过 A 作 AS⊥DF 于 S ,连结 BS,∵AB⊥AF , AB⊥AD, AD ∩ AF = A, ∴AB⊥平面 ADF,∴AS 是 BS 在平面 ADF 上的射影,由三垂线定 理得 BS⊥DF。∴∠BSA 是二面角 A—DF—B 的平面角。 在 RtΔASB 中, AS =

6 , AB = 2, ∴ tan ∠ASB = 3 , ∠ASB = 60°, 3

又∵ΔPAF 为直角三角形,∴ PF =

( 2 ? t ) 2 + 1 ,∴ (2 ? t ) 2 + 1 = 2 ?

2 ( 2 ? t ). 2

所以 t=1 或 t=3(舍去)即点 P 是 AC 的中点。 方法二 (Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系。 设 AC ∩ BD = N ,连接 NE,则点 N 、E 的坐标分别是(

2 2 (0,0,1), , ,0) 、 2 2

∴NE=( ?

2 2 ,? ,1) , 2 2



6

点 A、 、 ( M 的坐标分别是 ( 2, 2, 0 )

2 2 , ,1) 2 2

∴ AM= (?

2 2 ,? ,1) ∴NE=AM 2 2

且 NE 与 AM 不共线,∴NE∥AM。 又∵ NE ? 平面 BDE, AM ? 平面 BDE,∴AM∥平面 BDF。 (Ⅱ)∵AF⊥AB,AB⊥AD,AF ∩ AD = A, ∴AB⊥平面 ADF。∴ AB = ( ? 2 ,0,0) 为平面 DAF

的 法 向 量 。 ∵NE·DB= ( ?

2 2 ,? ,1) · ( ? 2 , 2 ,0) =0 , ∴NE·NF= ( 2 2

?

2 2 ,? ,1) · ( 2 , 2 ,0) =0 得 NE⊥DB , NE⊥NF , ∴NE 为 平 面 BDF 的 法 向 量 。 2 2

∴cos<AB,NE>=

1 ∴AB 与 NE 的夹角是 60?。即所求二面角 A—DF—B 的大小是 60?。 2

(Ⅲ)设 P(t,t,0)(0≤t≤ 2 )得 PF = ( 2 ? t , 2 ? t ,1), ∴CD=( 2 ,0,0)又∵PF 和 CD 所

成的角是 60?。∴ cos 60° = 去) ,即点 P 是 AC 的中点。 (21) 解 (1)

( 2 ? t) ? 2 ( 2 ? t)2 + ( 2 ? t )2 + 1 ? 2

解得 t =

2 3 2 或t = (舍 2 2

f ' ( x) = ?

ln x + 1 1 , 若 f ' ( x ) = 0, 则 x = 列表如下 2 2 x ln x e 1 (0, ) e 1 e
0 极大值 f ( )

x f ' ( x) f ( x)

1 x

1 ( ,1) e

(1, +∞ )

+
单调增

1 e
单调减

单调减

(2)

2 > x a 两边取对数, 得

1 ln 2 > a ln x ,由于 0 < x < 1, 所以 x
(1)

a 1 > ln 2 x ln x
由(1)的结果可知,当 x ∈ (0,1) 时,

1 f ( x ) ≤ f ( ) = ?e , e a 为 使(1)式对所有 x ∈ (0,1) 成立,当且仅当 > ? e ,即 a > ?e ln 2 ln 2

7

( II )不妨设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), P (t , t 2 + h), 则抛物线 C2 在点 P 处的切线斜率为

y′

x =t

= 2t ,直线 MN 的方程为 y = 2tx ? t 2 + h ,将上式代入椭圆 C1 的方程中,得

4 x 2 + (2tx ? t 2 + h)2 ? 4 = 0 ,即 4 (1 + t 2 ) x 2 ? 4t (t 2 ? h ) x + (t 2 ? h) 2 ? 4 = 0 ,因为直
4 2 2 线 MN 与椭圆 C1 有两个不同的交点,所以有 ?1 = 16 ? ? ?t + 2( h + 2)t ? h + 4 ? ? >0,

设线段 MN 的中点的横坐标是 x3 ,则 x3 =

x1 + x2 t (t 2 ? h) , = 2 2(1 + t 2 ) t +1 , 由 题 意 得 x3 = x4 , 即 有 2

设 线 段 PA 的 中 点 的 横 坐 标 是 x4 , 则 x4 =

t 2 + (1 + h)t + 1 = 0 ,其中的 ? 2 = (1 + h)2 ? 4 ≥ 0,∴ h ≥ 1 或 h ≤ ?3 ;


h ≤ ?3





h + 2 < 0, 4 ? h 2 < 0













4 2 2 ?1 = 16 ? ? ?t + 2(h + 2)t ? h + 4 ? ? > 0 不 成 立 ; 因 此 h ≥1 , 当 h =1 时 代 入 方 程

t 2 + (1 + h)t + 1 = 0



t = ?1





h = 1, t = ?1











4 2 2 ?1 = 16 ? ? ?t + 2( h + 2)t ? h + 4 ? ? > 0 成立,因此 h 的最小值为 1.

8

9


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