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高三第一学期数学(理科)期中复习卷(三)

2011 届高三理科模拟训练(9)

高三第一学期数学(理科)期中复习卷(三)
一、选择题: 1.已知集合 A= ?( x, y ) x ? y ? 0?, B ? ?( x, y) y ? e x ? ,则 A B 的子集个数是( A.1 B.2 C.4 D.8 )

2.在三角形 ABC 中, “ AB ? BC ? 0 ”是“ ?ABC 为锐角三角形”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3 .已知等比数列 ?an ? 满足 an ? 0, n ? N ? ,且 an ?1,an ?1 是方程 x 2 ? mx ? 22 n ? 0 的两个实根,则当
n ? 1时, log2 a1 ? log2 a3 ? ? log2 a 2n ? 1等于(

) C. n 2 D. (n ? 1)2 )

A. n(2n ? 1)

B. (n ? 1)2

4.设实数 a , b 是方程 lg x ? c 的两个不同的实根,若 a ? b ? 10 ,则 abc 的取值范围是( A. (0,1) B. (1,10) C. (10,100)
2 2

D. (1,100) )

5. 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a ? b ? 3bc , sin C ? 2 3 sin B ,则 A=( A. 30
0

B. 60

0

C. 120

0

D. 150

0

6.平面上 A,B,C 三点满足 (BC ? CA) :(CA ? AB) :(AB ? BC) ? 1: 2 : 3 , 则这三点 (



A.组成锐角三角形

B.组成直角三角形 C. 组成钝角三角形

D.在同一条直线上

7.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且垂直于另一条直线的平面内 的轨迹是( ) A.直线 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线 8.记实数 x1 , x2 , , xn 中的最小数为 min ?x1 , x2 , , xn ? , 设函数 f ( x ) = min ?1 ? sin ? x, 1 ? sin ? x?(? ? 0), 若 f ( x ) 的最小正周期为 1,则 ? 的值为( 1 ? A. B.1 C. D. ? 2 2 9 . 已 知 向 量 ? , ? , ? 满 足
| ? ? |, | ? ? 1? |?| ? | , (? ? ? ) ? ( ? ? ? ) ? 0 .若对每一确定的

)

? , | ? | 的最大值和最小值分别为 m, n ,则对任意 ? , m ? n 的最小值是( ) 1 1 A. B. 2 4 3 C. D.1 4
1

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二、填空题: 本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 10.设函数 f ( x ) ? cos 2 x ,若 f ( x ? ? ) 是奇函数,则 ? 的一个可能值是



11.若某几何体的三视图 (单位:cm) 如图所示,则此几 何体的体积是_____cm3. 12.已知实数 x, y 满足不等式 x ? y ? 1 ,若 ax ? y 的最大值.最小值分别为 1 和-1,则实数 a 的 取值范围是
2


x y2 ? ? 1 的左.右焦点,过 F 1 斜率为 1 的直线 l 与双曲线的左 a 2 b2

13.设 F 1 ,F 2 分别是双曲线 C:

支相交于 A、B 两点,且 AF2 , AB , BF2 成等差数列,则双曲线的离心率为



三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.

? ? 1 14.已知:向量 OA ? (sin ,1 ? cos ? ), OB ? (cos , ), (O 为坐标原点) . 2 2 2
(Ⅰ)求 OA ? OB 的最大值及此时 ? 的值组成的集合; (Ⅱ)若 A 点在直线 y ? 2 x ? m 上运动,求实数 m 的取值范围.

? ? an 15.数列 ?an ? 满足递推式: an ?1 ? 3an ? 3n ?1 ? ? ? 2n ,a1=5,且数列 ? n ?3 ?

?2? ?? ? ? 3?

n

? ? ? 为等差数列, ? ?

(Ⅰ)求实数 ? 及数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn.

16.如图,边长为 2 的正方形 ABCD,E 是 BC 的中点,沿 AE,DE 将 ?ABE , ?DCE 折起,使得 B\C 重合于 O. (Ⅰ)设 Q 为 AE 的中点,证明:QD ? AO; (Ⅱ)求二面角 O—AE—D 的余弦值.

2

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17.已知中心在原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为 形的面积为 4. (Ⅰ)求椭圆的标准方程;

3 的椭圆;以椭圆的顶点为顶点构成的四边 2

(Ⅱ) 若 A\B 分别是椭圆长轴的左. 右端点, 动点 M 满足 MA ? MB ? 0 , 直线 MA 交椭圆于 P, 求 OM ? OP 的取值范围. y B O x

A

(第 21 题)

18. 设 a 为实数,函数

f ( x) ? 2 x 2 ? ( x ? a ) | x ? a | .

(1)若 f (0) ? 1 ,求 a 的取值范围; (2)求 f ( x) 的最小值; (3)设函数 h( x) ? f ( x), x ? (a, ??) , 直接写出 (不需给出演算步骤)不等式 h( x) ? 1 的解. ....

3

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参考答案
1.B. y ? ? x与y ? e x的图象只有一个交点, ? A B只有一个元素,子集只有2个。 2.B.由 AB ? BC ? 0 可得角 B 为锐角,角 A.B 无法确定.

3、C.

an ?1 ? an ?1 ? an ? 2 , an ? 0,? an ? 2 n
2 2n

? log 2 a1 ? log 2 a3 ? ? log 2 ( a1a3

? log 2 a2 n ?1
? (2 n ?1)

a2 n ?1 ) ? log 2 21? 3?

? log 2 2 n ? n 2

2

4.A.由 y ? lg x 的图象可得 0 ? a ? 1 ? b ? 10 ,?? lg a ? lg b ? c
?0 ? c ? 1, 且 lg a ? lg b ? lg ab ? 0, ab ? 1. ?0 ? abc ? 1.

5.A

6、D. 当k ? 1, p ? 1时,p ? n ? m ? 1;当k ? 2时,p=(n-m+1)(n-m+2); 当k ? 3时,p=(n-m+1)(n-m+2)(n-m+3); ;
m 当k ? m时,p=(n-m+1)(n-m+2) (n-1)n;故输出p=A n

7.A.由题意得:对任意的 x ? 0 , y ' ?

1 ? x ? 1 ? a ? 1 恒成立. x ?a ? 2.

A P D

1 1 即a ? x ? , x ? 0, x ? ? 2当且仅当x ? 1时取“= x x

8.C.如图:将两条异面直线放入长方体中即 AB、CD, B C P 在平面 ABC 内.P 到两直线的距离相等,即为 P 到 AB 的距离等于 PC.符合抛物线的定义. 9.D.如图:实线为 y ? 1 ? sin ? x 的图象, 虚线为 y ? 1 ? sin ? x 的图象,? f ( x ) 的图象为直线 y ? 1 下方的曲线, f ( x ) 的最小正周期为 1
1 1 2? ? 1?? ? ? 是函数 y ? 1 ? sin ? x 周期的 , ? ? 2 ? 2

10.A.如图:
令? ? OA , ? ? OB, ? ? OC. | ? ? ? |?| ? |

作 BD ? OA 即 OB ? AB , 垂足为 D,D 为 OA 中点.
, (? ? ? ) ? ( ? ? ? ) ? 0 ? BC ? CA
? ADBC四点共圆,AB为直径.,

? | ? | 即为点 O 到圆周上点的距离, | ? | 的最大值和最小值
4

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分别为 m, n ?m ? n ? AB ,当 B\D 重合时 AB 最小.

? 11. . 由题意得: f ( x ? ? ) ? cos(2 x ? 2? ) ? ? cos 2 x , 4
? 2? ? k? ?

?
2

(k ? z ).

12. 2.

z ? 1?1 ? x2 ? y2 ? 2xy, 又 x ? y ? ( x ? y)2 ? 1 ? 2 xy ? 2.

8 2 1 2 13. ? ( 的 ? )? . 几何体为底面边长为 2,高为 2 的四棱锥和上下底面为别为 2,1 ,高为 3 2 3 2 1 1 2 8 2 1 圆台组成, V ? ? 4 ? 2 ? ? (2? ? 2? ? ? ? ? ) ? ? ? ? ?. 3 3 2 3 2 3 5 1 5 1 4 14. P(? ? 1) ? 4 ? ; P(? ? 4) ? 4 ? ; P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) ? P(? ? 4) ? . C8 14 C8 14 7

y
? E? ? 1 ? 1 4 2 1 33 ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? . 14 7 7 14 14

15.[-1,1]不等式 x ? y ? 1 所表示的平面区域如图所示:
a ? 0时,显然成立; a ? 0时, 直线y ? ax的斜率a ? 1, 如图; a ? 0时, 直线y ? ax的斜率a ? ?1, 如图。

x

16.264.分两类讨论:第一类,用 到 3 种颜色,先给 A\B\C 三点涂色,因 A、B、C 两两相邻,
3 所以颜色互不相同,有 A4 种涂法,再给 D.E.F 涂色,因 A 与 D,B 与 E,C 与 F 颜色不

3 ? 2 ;第二类, 4 种颜色都用到,先给 同,故有 2 种,由乘法原理得 A4

A. B.C 三

3 1 点涂色,有 A4 种涂法,再给 D.E.F 涂色,因 为 D.E.F 中必有一点用到第 4 种颜色 C3 ,

所以另外两点用到 A .B.C 三点所用颜色中的两种 C32 ,此时涂法确定,由乘法原理得
3 1 2 3 1 2 3 A4 ? C3 ? C3 ? C3 ? C3 ? 2 + A4 .所以共有 A4 =264 种.

1 7.

? AF2 ? AF1 ? 2a 6 , 两式相加 ? AF2 ? BF2 ? AB ? 4a . 根据双曲线的定义得 ? 2 ? BF2 ? BF1 ? 2a

AF2 , AB , BF2 成等差数列,? AF2 ? BF2 ? 2 AB 代入上式得 AB ? 4a ,
5

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设直线 l 的方程为 y ? x ? c 与双曲线方程联立得:
(b2 ? a 2 ) x 2 ? 2a 2 cx ? a 2 (c 2 ? b 2 ) ? 0, AB ? 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 2 ( 2a 2 c 2 a 2 (c 2 ? b2 ) ) ?4 ? 4a 2 2 b ?a b2 ? a 2

c 6 化简得 3a 2 ? 2c2 , ? . a 2 1 1 1 2 ? 1 18. (1) OA ? OB = sin ? ? cos? ? ? sin(? ? ) ? , 2 2 2 2 4 2 ? ? 3? 2 1 ? ? 当 ? ? ? ? 2k? ,即?? ? = ( OA ? OB )max= ? 2k? (k ? Z ) ?时, ? . 4 2 4 2 2 ? ? (2)将 A 点坐标代入直线方程得:
m ? 1 ? cos? ? 2sin

?
2

? 2sin2

?
2

? 2sin

?
2

? 2(sin

?

1 1 ? 1 ? )2 ? , ?1 ? sin ? 1,?? ? m ? 4. 2 2 2 2 2

19. (1)解 an ?1 ? 3an ? 3n ?1 ? ? ? 2n 两边同除以 3n ?1 得
? an ?1 2 n ?1 an ? ? 2n ?1 2 n ?1 ? ( ) ? ? 1 ? ?( ) 3n ?1 3 3n 2 ? 3n ?1 3 an ? 2 2 n ? n ? 1 ? ( ? )( ) 3 3 3 3 an 2 n ? ?1 2 n ? n ? ( ) ?1? ( )( ) ,? ? ? ?1. 3 3 3 3

an ?1 an ? ? 2n?1 ? ? 1 ? 3n ?1 3n 2 ? 3n ?1

an ? 2n ? n ? 3n
n 1 n ?1 5 n ?1 (2) S n ? 2 ? ( ? )3 ? 2 4 4
20. (1)取 AO 中点 M,连接 MQ,DM, 由题意可得: AO ? EO , DO ? EO , AO=DO=AB=2EO=2.?DM ? AO
Q为AE的中点, ? MQ // EO ? MQ ? AO,
? AO ? 平面DMQ ? AO ? DQ.

O M A N Q D

(2)作 MN ? AE 垂足为N ,连接DN
AO ? EO, DO ? EO ? EO ? 平面AOD ? EO ? DM
DM ? AO ? DM ? 平面AOE

E ,

MN ? AE ? DN ? AE,?DNM 就是所求二面角O ? AE ? D的平面角。

DM ? 3,MN ?

5 4 5 MN 1 ? DN ? ?cos ?DNM ? ? . 5 5 DN 4
6

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二面角O ? AE ? D的余弦值为

1 4

21、 (1)

1 c 3 2 x2 ? 2a ? 2b ? 4 ?ab ? 2, 又 ? , a ? b2 ? c2 ,解得a ? 2,b ? 1?椭圆方程为: ? y 2 ? 1. 2 a 2 4

(2) MA ? MB ? 0 ? M 点的轨迹是以AB为直径的圆周上, 方程为x 2 ? y 2 ? 4, 设P(x1 ,y1 ),M ( x2 , y2 ).设直线MA的方程为y ? k ( x ? 2) ? y ? k ( x ? 2) ? (1 ? k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 4k 2 ? 4 ? 0 ? 2 2 ?x ?y ?4 4k 2 ? 4 2 ? 2k 2 4k ? x2 ? ? y2 ? k ( x2 ? 2) ? , 2 1? k 1? k2 1? k2 ? y ? k ( x ? 2) ? 2 ? (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 4 ? 0 ?x 2 ? y ?1 ? ? 4 16k 2 ? 4 2 ? 8k 2 4k ??2 x1 ? ? x ? ? y1 ? k ( x1 ? 2) ? , 1 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 2 2 ? 8k 2 2 ? 2k 2 4k 4k ? OM ? OP ? ? ? ? 2 2 2 1 ? 4k 1 ? k 1 ? 4k 1 ? k 2 4 2 16k ? 4k ? 4 4(4k 4 ? 5k 2 ? 1) ? 24k 2 ? ? 4k 4 ? 5k 2 ? 1 4k 4 ? 5k 2 ? 1 2 24k ? 4? 4 4k ? 5k 2 ? 1 2 ?当k ? 0时OM ? OP最大为4 ??2 x2 ? 24k 2 24 ? 4? 1 4k 4 ? 5k 2 ? 1 2 4k ? 2 ? 5 k 24 4 ? 4? ? . 3 1 2 4k 2 ? 2 ? 5 k 1 4 当且仅当k 2 ? 时等号成立。 ? OM ? OP ? [ ,。 4] 2 3 当k 2 ? 0时OM ? OP ? 4 ?

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22、 (1) f ' ( x ) ? 2( x ? 1) ? ? f ' ( x) ?

b 2x2 ? 2x ? b ? ( x ? 0), x x

f ( x )在(0,+?)为增函数,

2x2 ? 2x ? b ? 0在(0,+?)恒成立,即b ? ?2 x 2 ? 2 x, x 1 1 1 1 y ? ?2 x 2 ? 2 x ? ?2( x ? ) 2 ? ? ? b ? . 2 2 2 2 1 (2)由(1)得当b ? 是f ( x )在(0,+?)为增函数,无极值点; 2 1 2 当b ? 时, 2 x ? 2 x ? b ? 0得x1 ? 1 ? 1 ? 2b , x2 ? 1 ? 1 ? 2b , 2 b ? 0时,x1 ? 1 ? 1 ? 2b ? 0, x2 ? 1 ? 1 ? 2b ? 0

? f ( x )在(0, x2 )递减( x2 , ??)递增; 1 当0 ? b ? 时,x1 , x2 ?(0,+?) 2 ? f ( x )在(0, x1 ), ( x2 , ??)递增,(x1 , x2 )递减; 1 综上所述:当0 ? b ? 时,f ( x )有一个极大值点x1 ? 1 ? 1 ? 2b, 2 一个极小值点x2 ? 1 ? 1 ? 2b; 当b ? 0时,f ( x )只有个极小值点x ? 1 ? 1 ? 2b; 1 当b ? 时,f ( x )无极值点; 2 (3)证明:当b ? ?1时,f ( x ) ? ( x ? 1) 2 ? ln x 3( x ? 1)3 ? ( x ? 1) 2 , 当x ? 1时h ' ( x ) ? 0 x ? h( x )在[1, ??)递增,h( x ) ? h(1) ? 0,即( x ? 1) 3 ? f ( x ) ? ( x ? 1) 2 ? ln x恒成立, 1 1 1 1 n ? N ? , ? 1 ? [1, ??)代入上述不等式的 ln( ? 1) ? 2 ? 3 . n n n n 令h( x ) ? ( x ? 1) 3 ? f ( x ) ? h ' ( x ) ?

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