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高中数学__数列基础练习及参考答案

基础练习
一、选择题 1.已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 , a2 =1,则 a1 = A.
1 2
2

B. 为等差数列,

2 2

C.

2
,则 等于

D.2

2.已知 A. -1

B. 1

C. 3

D.7

3.公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若 a4 是 a3与a7 的等比中项, S8 ? 32 ,则 S10 等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 .

4 设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 a2 ? 3 , a6 ? 11 ,则 S7 等于 A.13 B.35 C.49 D. 63

5.已知 ?an ? 为等差数列,且 a7 -2 a4 =-1, a3 =0,则公差 d= (A)-2 (B)-
1 2

(C)

1 2

(D)2

6.等差数列{ an }的公差不为零,首项 a1 =1, a2 是 a1 和 a5 的等比中项,则数列的前 10 项之 和是 A. 90 B. 100 C. 145
5 ?1 5 ?1 5 ?1 },[ ], 2 2 2

D. 190

7.设 x ? R , 记不超过 x 的最大整数为[ x ],令{ x }= x -[ x ],则 { A.是等差数列但不是等比数列 C.既是等差数列又是等比数列

B.是等比数列但不是等差数列 D.既不是等差数列也不是等比数列

8. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研 究数,例如: . 他们研究过图 1 中的 1,3,6,10,…,由于

这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似 地,称图 2 中的 1,4,9,16…这样的数成为正方形 数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是 A.289 B.1024 C.1225
1

D.1378

2 9.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 am?1 ? am?1 ? am ? 0 , S2m?1 ? 38 ,则 m ?

(A)38

(B)20

(C)10

(D)9 .

10.设 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列, a1 ? 2 且 a1 , a3 , a6 成等比数列,则 ?an ? 的前 n 项和 Sn =

A.

n 2 7n ? 4 4

B.

n 2 5n ? 3 3

C.

n 2 3n ? 2 4

D. n2 ? n 11.等差数列{ an }的公差不为零,首项 a1 =1, a2 是 a1 和 a5 的等比中项,则数列的前 10 项 之和是 A. 90 二、填空题 1 设等比数列 {an } 的公比 q ? B. 100 C. 145 D. 190 .

1 S ,前 n 项和为 Sn ,则 4 ? 2 a4



2.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则 S4 , S8 ? S4 , S12 ? S8 , S16 ? S12 成等差数列.类比以上 结论有:设等比数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn ,则 T4 , , ,
T16 成等比数列. T12

3.在等差数列 {an } 中, a3 ? 7, a5 ? a2 ? 6 ,则 a6 ? __________ __ . 4. 等 比 数 列 { an } 的 公 比 q ? 0 , 已 知 a2 =1 , an?2 ? an?1 ? 6an , 则 { an } 的 前 4 项 和

S4 =

.

2

三.解答题
1 1.已知点(1, )是函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且 a ? 1 )的图象上一点,等比数列 {an } 的前 n 项和 3

为 f (n) ? c ,数列 {bn } (bn ? 0) 的首项为 c ,且前 n 项和 Sn 满足 Sn - S n?1 = S n + S n?1 ( n ? 2 ). (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)若数列{ 正整数 n 是多少? .
1000 1 的最小 } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 2009 bn bn?1

2 设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, Sn ? kn2 ? n , n ? N * ,其中 k 是常数. (I) 求 a1 及 an ; (II)若对于任意的 m ? N * , am , a2 m , a4 m 成等比数列,求 k 的值.

3

3.设数列 {an } 的通项公式为 an ? pn ? q(n ? N ? , P ? 0) . 数列 {bn } 定义如下: 对于正整数 m, bm 是
1 1 使得不等式 an ? m 成立的所有 n 中的最小值.(Ⅰ)若 p ? , q ? ? ,求 b3 ; 2 3

(Ⅱ)若 p ? 2, q ? ?1 ,求数列 {bm } 的前 2m 项和公式; (Ⅲ)是否存在 p 和 q,使得

bm ? 3m ? 2(m ? N? ) ?如果存在,求 p 和 q 的取值范围;如果不存在,请说明理由.

4

基础练习参考答案
一、选择题
1.【答案】B【解析】设公比为 q ,由已知得 a1q ? a1q ? 2 a1q
2 8

?

4 2

? ,即 q

2

? 2 ,又因为等比数列 {an } 的公比为

正数,所以 q ?

2 ,故 a1 ?

a2 1 2 ,选 B ? ? q 2 2

2. 【 解 析 】 ∵ a1 ? a3 ? a5 ? 105 即 3a3 ? 105 ∴ a3 ? 35 同 理 可 得 a4 ? 33 ∴ 公 差 d ? a4 ? a3 ? ?2 ∴ a20 ? a4 ? (20 ? 4) ? d ? 1 .选 B。 【答案】B
2 3.答案: C 【解析】 由 a4 ? a3a7 得 (a1 ? 3d )2 ? (a1 ? 2d )(a1 ? 6d ) 得 2a1 ? 3d ? 0 ,再由 S8 ? 8a1 ?

56 d ? 32 2

得 4.解: S7 ? 或由 ?

2a1 ? 7d ? 8 则 d ? 2, a1 ? ?3 ,所以 S10 ? 10a1 ?
7(a1 ? a7 ) 7(a2 ? a6 ) 7(3 ? 11) ? ? ? 49. 故选 C. 2 2 2

90 d ? 60 ,.故选 C 2

?a2 ? a1 ? d ? 3 ?a ? 1 ? ? 1 , a7 ? 1 ? 6 ? 2 ? 13. ?a6 ? a1 ? 5d ? 11 ?d ? 2
7(a1 ? a7 ) 7(1 ? 13) ? ? 49. 故选 C. 2 2
d=-

所以 S7 ?

5.【解析】a7-2a4=a3+4d-2(a3+d)=2d=-1 ?

1 【答案】B 2

6.【答案】B【解析】设公差为 d ,则 (1 ? d ) 2 ? 1 ? (1 ? 4d ) .∵ d ≠0,解得 d =2,∴ S10 =100 7.【答案】B【解析】可分别求得 ? 数列. 8.【答案】C【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项 a ?
n

? ? 5 ? 1? ? ?? ? ? 2 ? ?

5 ?1 5 ?1 ,[ ] ? 1 .则等比数列性质易得三者构成等比 2 2

n ( n ? 1) ,同理可得正方形数构成的数列 2 n ( n ? 1) 知 an 必为奇数,故选 C. 2

通项 bn ? n2 ,则由 bn ? n2 (n ? N ? ) 可排除 A、D,又由 a ?
n

2 9.【答案】C【解析】因为 ?an ? 是等差数列,所以, am?1 ? am?1 ? 2am ,由 am?1 ? am?1 ? am ? 0 ,得:2 a m

- a m =0,所以, a m =2,又 S2m?1 ? 38 ,即 =10,故选.C。

2

(2m ? 1)(a1 ? a 2 m?1 ) =38,即(2m-1)×2=38,解得 m 2

5

10. 【答案】 A 解析设数列 {an } 的公差为 d , 则根据题意得 (2 ? 2d )2 ? 2 ? (2 ? 5d ) , 解得 d ? (舍去) ,所以数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2n ?

1 或d ? 0 2

n(n ? 1) 1 n 2 7 n ? ? ? 2 2 4 4

11.【答案】B【解析】设公差为 d ,则 (1 ? d ) 2 ? 1 ? (1 ? 4d ) .∵ d ≠0,解得 d =2,∴ S10 =100 二、填空题 1.【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式,通过对数列知识点的考查充分体现 了通项公式和前 n 项和的知识联系. 【解析】对于 s4 ?

a1 (1 ? q 4 ) s 1 ? q4 , a4 ? a1q3 ,? 4 ? 3 ? 15 1? q a4 q (1 ? q)

.

2.答案:

T8 T12 【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题,既考查了数列中等差数列和等比 , T4 T8
.

数列的知识,也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力 3. 【 解 析 】 : 设 等 差 数 列 {an } 的 公 差 为 d , 则 由 已 知 得 ?

a1 ? 2d ? 7 ? 解得 a ? 4 d ? a ? d ? 6 1 ? 1

?a1 ? 3 ,所以 ? d ? 2 ?

a6 ? a1 ? 5d ? 13 .
答案:13.【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算.

15 n?1 n n?1 2 【解析】由 an?2 ? an?1 ? 6an 得: q ? q ? 6q ,即 q ? q ? 6 ? 0 , q ? 0 ,解得:q 2 1 (1 ? 2 4 ) 1 15 2 =2,又 a2 =1,所以, a1 ? , S 4 ? = 。 2 2 1? 2
4.【答案】 三、解答题 1.【解析】 (1) Q f ?1? ? a ?

1 ?1? ,? f ? x ? ? ? ? 3 ? 3?

x

2 1 f ? 2? ? c? ?? f ?1? ? c ? ?? , a1 ? f ?1? ? c ? ? c , a2 ? ? ? ? ? ? 9 3 2 a3 ? ? ? f ? 3? ? c ? ??? ? f ? 2? ? c? ? ? ? 27 . 4 2 a2 2 1 ? 81 ? ? ? ? c ,所以 c ? 1 ; 又数列 ?an ? 成等比数列, a1 ? a3 ? 2 3 3 27
6

又公比 q ?

a2 1 2?1? ? ,所以 an ? ? ? ? a1 3 3?3?

n ?1

?1? ? ?2 ? ? ?3?

n

n? N*



Q Sn ? Sn?1 ?

?

Sn ? Sn?1

??

Sn ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1

?

? n ? 2?

又 bn ? 0 , Sn ? 0 , ? Sn ? Sn?1 ? 1; 数列

? S ? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
n
2

Sn ? 1? ? n ?1? ?1 ? n , Sn ? n2

2 当 n ? 2 , bn ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 ;

?bn ? 2n ? 1 ( n ? N * );
(2) Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?K ? ? ? ?L ? (2n ? 1) ? ? 2n ? 1? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7

1? 1? 1 1 1 ? n ? 1 ?1 ?1 1 ? 1 ? 1 ?1 1? ; ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? ? ? ?1 ? ?? 2? 3? 2 n?2 n 1? 2 2 1 ? 2n ? 1 ? 2 n ? 1 ? 3 ?5 ?2 5 ? 7 ? 2 ?
n 1000 1000 1000 ? 得n ? ,满足 Tn ? 的最小正整数为 112. 2n ? 1 2009 9 2009 2.解析: (Ⅰ)当 n ? 1, a1 ? S1 ? k ? 1 ,
由 Tn ?

n ? 2, an ? S n ? S n?1 ? kn2 ? n ? [k (n ? 1) 2 ? (n ? 1)] ? 2kn ? k ? 1( ? )
经验, n ? 1, ( ? )式成立,

? an ? 2kn ? k ? 1
2

(Ⅱ)? am , a2m , a4m 成等比数列,? a2m ? am .a4m , 即 (4km ? k ? 1) ? (2km ? k ? 1)(8km ? k ? 1) ,整理得: m k(k ? 1) ? 0 ,
2

对任意的 m ? N ? 成立,

? k ? 0或k ? 1

3.解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质,考查运算能力、推理论证能力、 分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式综合的较难层次题. (Ⅰ)由题意,得 an ?

20 1 1 1 1 n ? ,解 n ? ? 3 ,得 n ? . 3 2 3 2 3 1 1 ∴ n ? ? 3 成立的所有 n 中的最小整数为 7,即 b3 ? 7 . 2 3
.

(Ⅱ)由题意,得 an ? 2n ? 1, 对于正整数,由 an ? m ,得 n ? 根据 bm 的定义可知
7

m ?1 . 2

* * 当 m ? 2k ? 1 时, bm ? k k ? N ;当 m ? 2 k 时, bm ? k ? 1 k ? N .

?

?

?

?

∴ b1 ? b2 ?

? b2m ? ?b1 ? b3 ?

? b2m?1 ? ? ?b2 ? b4 ?
? ? m ? 1? ? ?

? b2m ?

? ?1 ? 2 ? 3 ?

? m? ? ? ?2 ? 3 ? 4 ?

?

m ? m ? 1? m ? m ? 3? ? ? m 2 ? 2m . 2 2 m?q . p

(Ⅲ)假设存在 p 和 q 满足条件,由不等式 pn ? q ? m 及 p ? 0 得 n ?

∵ bm ? 3m ? 2(m ? N ? ) ,根据 bm 的定义可知,对于任意的正整数 m 都有

3m ? 1 ?

m?q ? 3m ? 2 ,即 ?2 p ? q ? ?3 p ?1? m ? ? p ? q 对任意的正整数 m 都成立. p p?q 2p ? q (或 m ? ? ) , 3 p ?1 3 p ?1

当 3 p ? 1 ? 0 (或 3 p ? 1 ? 0 )时,得 m ? ? 这与上述结论矛盾! 当 3 p ? 1 ? 0 ,即 p ?

1 2 1 2 1 时,得 ? ? q ? 0 ? ? ? q ,解得 ? ? q ? ? . 3 3 3 3 3

∴ 存在 p 和 q,使得 bm ? 3m ? 2(m ? N ? ) ; p 和 q 的取值范围分别是 p ?

1 2 1 ,? ? q ? ? . 3 3 3

.

8


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