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高中数学概率统计排列组合有答案

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排列组合
一、 选择题 1.从 6 名男生和 2 名女生中选出 3 名志愿者,其中至少有 1 名女生的选法共有 A.36 种 B.30 种 C.42 种 D.60 种 2.将 5 名大学生分配到 3 个乡镇去任职,每个乡镇至少一名,不同的分配方案有( ( A ) B )种

A. 240

B. 150

C. 60

D. 180

3.甲、乙、丙、丁、戌 5 人站成一排,要求甲、乙均不与丙相邻,则不同的排法种数为( C ) A.72 种 B.54 种 C.36 种 D.24 种 4.某班要从 6 名同学中选出 4 人参加校运动会的 4×100m 接力比赛,其中甲、乙两名运动员必须 入选,而且甲、乙两人中必须有一个人跑最后一棒,则不同的安排方法共有( B ) A.24 种 B.72 种 C.144 种 D.360 种 5.从 0,2,4 中取一个数字,从 1,3,5 中取两个数字,组成无重复数字的三位数,则所有不同的 三位数的个数是( B ) A.36 B.48 C.52 D.54 6.某会议室第一排共有 8 个座位,现有 3 人就座,若要求每人左右均有空位,那么不同的坐 法种数为( C ) A. 12 B. 16 C. 24 D. 32

7.(某小组有 4 人,负责从周一至周五的班级值日,每天只安排一人,每人至少一天,则安排方法共 有C A.480 种 B.300 种 C.240 种 D.120 8.从 5 男 4 女中选 4 位代表,其中至少有 2 位男生,且至少有 1 位女生,分别到四个不同的工厂 调查,不同的分派方法有 12. D A.100 种 B.400 种 C.480 种 D.2400 种 9、(江苏省启东中学高三综合测试三)有七名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲必须站在正中间, 并且乙、丙两位学要站在一起,则不同的站法有 A.240 种 B.192 种 C.96 种 D.48 种 答案:B 10、将A、B、C、D四个球放入编号为1,2,3,4的三个盒子中,每个盒子中至少放一个球 且A、B两个球不能放在同一盒子中,则不同的放法有 ( A.15; B.18; ) D.36;

C.30;

11、在由数字 1,2,3,4,5 组成的所有没有重复数字的 5 位数中,大于 23145 且小于 43521 的数 共有( )

A、56 个 B、57 个 C、58 个 D、60 个 本题主要考查简单的排列及其变形. 解析:万位为 3 的共计 A44=24 个均满足; 万位为 2,千位为 3,4,5 的除去 23145 外都满足,共 3× A33-1=17 个; 万位为 4,千位为 1,2,3 的除去 43521 外都满足,共 3× A33-1=17 个; 以上共计 24+17+17=58 个 答案:C 12、(北京市东城区 2008 年高三综合练习二)某电视台连续播放 5 个不同的广告,其中有 3 个不同的 商业广告和 2 个不同的奥运宣传广告,要求最后播放的必须是奥运宣传广告,且两个奥运宣传

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广告不能连续播放,则不同的播放方式有 ( ) A.120 种 B.48 种 C.36 种 D.18 种 答案:C 13、(北京市宣武区 2008 年高三综合练习一)编号为 1、2、3、4、5 的五个人分别去坐编号为 1、2、 3、4、5 的五个座位,其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是( ) A 10 种 B 20 种 C 30 种 D 60 种 答案:B 14、(北京市宣武区 2008 年高三综合练习二)从 1 到 10 这是个数中,任意选取 4 个数,其中第二大的 数是 7 的情况共有 ( ) A 18 种 B 30 种 C 45 种 D 84 种 答案:C 15、 (福建省莆田一中 2007~2008 学年上学期期末考试卷)为迎接 2008 年北京奥运会, 某校举行奥运 知识竞赛,有 6 支代表队参赛,每队 2 名同学,12 名参赛同学中有 4 人获奖,且这 4 人来自 3 人不同的代表队,则不同获奖情况种数共有( A. C
4 12


3 6 3 1 1 1 1 2 D. C6 C1 C 2 C 2 C3 A2

B. C C C C C

3 6

1 2

1 2

1 2

1 3

1 1 1 C. C C 3 C 2 C 2

答案:C 16、(甘肃省河西五市 2008 年高三第一次联考)某次文艺汇演,要将 A、B、C、D、E、F 这六个不同 节目编排成节目单,如下表: 序号 节目 如果 A、B 两个节目要相邻,且都不排在第 3 号位置,那么节目单上不同的排序方式有 ( A
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1

2

3

4

5

6 )

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192 种

B

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144 种

C

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96 种

D

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72 种

答案:B 17、(河南省濮阳市 2008 年高三摸底考试)设有甲、乙、丙三项任务,甲需要 2 人承担,乙、丙各需 要 1 人承担,现在从 10 人中选派 4 人承担这项任务,不同的选派方法共有( ) A.1260 种 B.2025 种 C.2520 种 D.5040 种 答案:C 18、若 x∈A 则

1 1 1 ∈A,就称 A 是伙伴关系集合,集合 M={-1,0, , ,1,2,3,4}的所有非 x 3 2
) D.25

空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为( A.15 B.16 C.28 答案:A 具有伙伴关系的元素组有-1,1,

1 1 、2, 、3 共四组,它们中任一组、二组、三组、 2 3
1 2 3 4

四组均可组成非空伙伴关系集合,个数为 C 4 + C 4 + C 4 + C 4 =15, 选 A. 19、(吉林省吉林市 2008 届上期末)有 5 名学生站成一列,要求甲同学必须站在乙同学的后面(可以 不相邻) ,则不同的站法有( ) A.120 种 B.60 种 C.48 种 D.150 种 答案:B 20、若国际研究小组由来自 3 个国家的 20 人组成,其中 A 国 10 人,B 国 6 人,C 国 4 人,按分层 抽样法从中选 10 人组成联络小组,则不同的选法有( )种.

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A.

A 6

10 20

B.

A A A 6

5 10

3 6

2 4

C.

C CC 6

5 10

3 6

2 4

5 3 2 D. C10C6 C4

答案:D 21.在 ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)( x ? 4)( x ? 5) 的展开式中,含 x 的项的系数是
4

(A)-15

(B)85

(C)-120

(D)274
4

解:本题可通过选括号(即 5 个括号中 4 个提供 x ,其余 1 个提供常数)的思路来完成。故含 x 的 项的系数为 (?1) ? (?2) ? (?3) ? (?4) ? (?5) ? ?15. 22、(2008 重庆) (10)若(x+ (A)6 解:因为 ( x ?

1 n ) 的展开式中前三项的系数成等差数,则展开式中 x4 项的系数为 2x
(B)7 (C)8 (D)9

1 n 1 1 1 1 2 0 0 1 ) 的展开式中前三项的系数 Cn 、 Cn 、 Cn2 成等差数列,所以 Cn ? Cn ? Cn , 4 2x 2 4 1 r r 8? 2 r 2 r 8? r 1 r 即 n ? 9n ? 8 ? 0 ,解得:n ? 8 或 n ? 1(舍) Tr ?1 ? C8 x ( ) ? ( ) C8 x 。 。令 8 ?2 r ?4 可 2x 2 1 2 2 4 得, r ? 2 ,所以 x 的系数为 ( ) C8 ? 7 ,故选 B。 2

二、填空题: 1.某车队有 7 辆车,现在要调出 4 辆,再按一定顺序出去执行任务.要求甲、乙两车必须参加,而 且甲车在乙车前开出,那么不同的调度方案有 种.120

2.某高三学生希望报名参加某 6 所高校中的 3 所学校的自主招生考试,由于其中两所学校的考试时 间相同,因此该学生不能同时报考这两所学校.该学生不同的报考方法种数是 字作答) 答案:16 3.由 0,1,2,3,4,5 六个数字可以组成_______个数字不重复且 2,3 相邻的四位数(用数字填空). 答案:60 4.5 名同学去听同时进行的 4 个课外知识讲座,每名同学可自由选择听其中的 1 个讲座,不同选法的 种数是 . 答案: 4 (或 1024) 5.一个五位数由数字 0,1,1,2,3 构成, 这样的五位数的个数为_________ 答案:48 6.有 3 辆不同的公交车,3 名司机,6 名售票员,每辆车配备一名司机,2 名售票员,则所有的工作 安排方法数有________(用数字作答) 答案:540 7.由 0,1,2,3,4,5 这六个数字。 (1)能组成多少个无重复数字的四位数?
5

. (用数

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(2)能组成多少个无重复数字的四位偶数? (3)能组成多少个无重复数字且被 25 个整除的四位数? (4)组成无重复数字的四位数中比 4032 大的数有多少个? 解: (1) A15 ?A35 ? 300 (2) A35 ? A12 A14 A2 4 ? 156 (3) A13 A13 ? A2 4 ? 21 (4) A35 ? A14 A2 4 ? A13 ? 1 ? 112 8、 ?1 ? 2 x ? ?1 ? x ? 展开式中 x 的系数为__2_________。
3 4

9、 ( x ? ) 的展开式中的第 5 项为常数项,那么正整数 n 的值是
n

1 x

8



10、 ( x ?

4

1 x ) 展开式中含 x 的整数次幂的项的系数之和为 x

72

(用数字作答) .

11.设(1+2x)2(1-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,则 a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7= . 解析:令 x=1 得 a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=0 ① 令 x= -1 得 a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=32 ② 由①②解得:a0 +a2 +a4 +a6=16, a1+ a3+ a5+a7= -16,在令 x=0 得 a0=1,∴a2 +a4 +a6=15,∴a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-31。 12.若 2x ? 3
2

[来源:Zxxk.Com]

?

?

4

? a 0 ? a1x ? ? ? ? ? a 4 x 4 ,则 ?a 0 ? a 2 ? a 4 ?2 ? ?a 1 ? a 3 ?2 的值为__________.
9 2 11

13 设 ( x ? 1)(2 x ? 1) ? a0 ? a1 ( x ? 2) ? a2 ( x ? 2) ? ? ? a11 ( x ? 2) , 则 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a11 的值为( A. ?2 B. ?1 ) (07 高考江 西文科第 5 题) C. 1 D. 2
[来源:学科网

概率统计
一、选择题 1. ABCD 为矩形,AB=3,BC=1,O 为 AB 的中点,在矩形 ABCD 内随机取一点 P,点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为( B ) A.

? 6

B. 1 ?

?
6

C. 1 ?

?
3

D.

? 3

2.在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 内任取一点 P,则点 P 到点 A 的距离不超过 a 的概率为 ( D ) A.

2 2

B.

2 ? 2

C.

1 6

D.

? 6

3. 一只小蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体 6 个 表面的距离均大于 1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为( D )

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A.

4 27

B.

1 9

C.

4 9

D.

1 27

4.从 20 名男同学,10 名女同学中任选 3 名参加体能测试,则选到的 3 名同学中既有男同学又有女 同学的概率为 ( D )

A.

9 29

B.

10 29

C.

19 29

D.

20 29
2 2

5.若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数 m 、n 作为点 P 的坐标, 则点 P 落在圆 x ? y ? 16 内的 概率为 ( A )

A.

2 9

B.

7 36

C.

1 6

D.

1 4

A.5 B.6 C.7 D.8 6.某地区为了解中学生的日平均睡眠时间(单位:h) ,随机选择了 n 位中学生进行调查,根据所得 数据画出样本的频率分布直方图如图所示,且从左到右的第 1 个、第 4 个、第 2 个、第 3 个小 长方形的面积依次构成公差为 0.1 的等差数列,又第一小组的频数是 10,则 n ? ( C ) A.80 C.100 B.90 D.110

7.对某种电子元件进行寿命跟踪调查,所得样本频率分布直 方图如右图,由图可知:一批电子元件中,寿命在 100~300 小时的电子元件的数量与寿命在 300~600 小时的电子元件的 数量的比大约是 ( C )

1 2 1 C. 4
A.

1 3 1 D. 6
B.

8.五名篮球运动员比赛前将外衣放在休息室,比赛完后都回到休息室取外衣,由于灯光暗淡,看不 清自己的外衣,则至少有两个人拿对自己的外衣的概率为( D ) A.

1 3

B.

1 4

C.

7 24

D.

31 120

9.从 5 名男生、1 名女生中,随机逐个抽取 3 人,检查他们的英语口语水平,在整个抽样过程中,若 这名女生第一次、第二次均未被抽到,那么她第三次被抽到的概率是( B ) 1 1 1 2 A. B. C. D. 2 6 3 3 10.在三棱锥的六条棱中任意选择两条,则这两条棱是一对异面直线的概率为( C ) A.

1 20

B.

1 15

C.

1 5

D.

1 6

11、某地举行一次民歌大奖赛,六个省各有一对歌手参加决赛,现要选出 4 名优胜者则选出的 4 名 选手中恰有且只有两个人是同一省份的歌手的概率为( A ) A.
16 33

B.

33 128

C.

32 33

D.

4 11

[来源:学_科_网]

12. 3 黑 3 白共 6 个围棋子随意排成一行,其中恰有两个同色围棋子连在一起的概率为( C )

1 A. 3

1 B. 4

1 C. 5

1 D. 1 0

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13.将一颗骰子投掷两次,第一次出现的点数记为 a,第二次出现的点数记为 b,设两条直线

l1 : ax ? by ? 2, l 2 : x ? 2 y ? 2, l1与l 2 平行的概率为 P1,相交的概率为 P2,则 P2-P1 的大小为
( A ) A.

31 36

B.

5 6

C. ?

5 6

D. ?
2

31 36

14.将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为 b, c ,则方程 x ? bx ? c ? 0 有实根的概率为 ( A ) D

19 36
A

B

1 2

C

5 9

17 36 S 的概率是 4

答案

15.在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点 P,则△PBC 的面积大于 ( (A) )

1 4

(B)

1 2

(C)

3 4

(D)

2 3

答案 C 16 件产品中有 4 件合格品, 2 件次品.为找出 2 件次品,每次任取一个检验,检验后不再放回,恰 好经过 4 次检验找出 2 件次品的概率为 A. ( C. ) D.

3 5

B.

1 3

4 15

1 5

答案 C 二、填空题
2 1、若数据 x1 , x2 , x3 , ? , xn 的平均数 x =5,方差 ? ? 2 ,则数据 3x1 ? 1, 3x2 ? 1, 3x3 ? 1, ? , 3xn ? 1的

平均数为 答案 16,18

,方差为

.
2

2、设 a, b ? (0,1) ,则关于 x的方程x ? 2ax ? b ? 0 在 (??, ?) 上有 两个不同的零点的概率为______________ 答案

1 3

3、设三个正态分布 N ?1 ,? 12 ( ? 1 ? 0 ) N ? 2 , ? 2 2 、 ( ? 2 ? 0 ) N ?3 ,? 32 ( ? 3 ? 0 )的密度函数图象 、 如图所示,则 ?1 、 ? 2 、 ?3 按从小到大的顺序排列 .... 是______________; ? 1 、 ? 2 、 ? 3 按从小到大的顺 .... 序排列是_____________. 答案 ?2 ? ?1 ? ?3 , ? 1 ? ? 3 ? ? 2

?

?

?

?

?

?

4.在边长为 2 的正三角形 ABC 中,以 A 为圆心, 3 为半径画一弧,分别交 AB,AC 于 D,E.若在△ ABC 这一平面区域内任丢一粒豆子,则豆子落在扇形 ADE 内的概率是____________.

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答案

3? 6

5.从 1,2,3,4,5,6 这 6 个数字中, 任取 2 个数字相加, 其和为偶数的概率是 ______ . 答案

2 5
2 2

6.某人 5 上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x,y,10,11,9.已 知这组数据的平均数为 10,方次差为 2,则 x ? y 的值为 .

答案 208 7.一次单元测试由 50 个选择题构成,每个选择题有 4 个选项,其中恰有一个是正确的答案,每题选 择正确得 3 分,不选或选错得 0 分,满分 150 分.学生甲选对任一题的概率为 0.8,则该生在这次 测试中成绩的期望值是_________,标准差是_____________. 答案 120 6 2 8.一个总体分为 A,B 两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 20 的样本。已知 B 层中每个 个体被抽到的概率都是

1 ,则总体中的个体数为 12

240



9.高三(1)班共有 56 人,学号依次为 1,2,3,?,56,现用系统抽样的办法抽取一个容量为 4 的 样本。已知学号为 6,34,48 的同学在样本中,那么还有一个同学的学号应为 。20 10.设随机变量 X ~ B(n,0.5) ,且 DX=2,则事件“X=1” 的概率为 (用数学作答) .

1 32

11.某单位为了了解用电量 y(度)与气温 x(°C)之间的关系,随机统计了某 4 天的用电量与当天 气温,并制作了对照表: 气温(°C) 用电量(度) 18 24 13 34 10 38 -1 64

? 由表中数据,得线性回归方程 y ? ?2 x ? a. 当气温为-4°C 时,预测用电量的度数约为
.14.68 三、解答题 1.济南市有大明湖、趵突泉、千佛山、园博园 4 个旅游景点,一位客人浏览这四个景点的概率分别 是 0.3,0.4,0.5,0.6,且客人是否游览哪个景点互不影响,设 ? 表示客人离开该城市时游览的景点 数与没有游览的景点数之差的绝对值。 (1)求 ? =0 对应的事件的概率; (2)求 ? 的分布列及数学期望。 解: (1)分别记“客人游览大明湖景点”“客人游览趵突泉景点”“客人游览千佛山景点”“客人 , , , 游览园博园景点”为事件 A1,A2,A3,A4。 由已知 A1,A2,A3,A4 相互独立,

P( A1 ) ? 0.3, P( A2 ) ? 0.4, P( A3 ) ? 0.5, P( A4 ) ? 0.6

??????2 分

客人游览景点数的可能取值为 0。1,2,3,4。相应地,客人没有游览的景点数的可能取值为 4, 3,2,1,0,所以 ? 的可能取值为 0,2,4。 ??????3 分 故 P(? ? 0) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P ( A1 A2 A3 A4 )

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P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? 0.38 ??????6 分
(2) P(? ? 4) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P ( A1 A2 A3 A4 ) ? 0.12 ??????8 分

P(? ? 0) ? 0.38 P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 4) ? 0.5
所以 ? 的分布列为

?
P

0 0.38

2 0.5

4 0.12 ??????10 分

E ? =1.48.

????????????????????12 分

2.某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从 2 种服装商品, 2 种家电商 品, 3 种日用商品中,选出 3 种商品进行促销活动. (Ⅰ)试求选出的 3 种商品中至多有一种是家电商品的概率; (Ⅱ)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高 x 元,同时, 若顾客购买该商品,则允 许有 3 次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为 40 元的奖券.假设顾 客每次抽奖时获奖的概率都是

1 ,若使促销方案对商场有利,则 x 最少为多少元? 2
3 1 2

3 解: (Ⅰ)选出 3 种商品一共有 C 7 种选法, …………2 分

选出的 3 种商品中至多有一种是家电商品有 C5 ? C 2 C5 种. …………4 分 所以至多有一种是家电商品的概率为 P ?
3 1 C5 ? C 2 C52 6 ? .…………5 分 3 7 C7 (Ⅱ)奖券总额是一随机变量,设为 ? ,可能值为 0 , 40 , 80 , 120 .…………6 分
0 3 0 3

1 ?1? ?1? P?? ? 0? ? C ? ? ? ? ? ? , 8 ?2? ?2?

…………7 分 …………8 分 …………9 分 …………10 分

3 ?1? ?1? P?? ? 40 ? ? C ? ? ? ? ? ? , 8 ?2? ?2?
1 3

1

2

?1? ?1? 3 P?? ? 80 ? ? C ? ? ? ? ? ? , ?2? ?2? 8
2 3

2

1

1 ?1? ?1? P?? ? 120 ? ? C ? ? ? ? ? ? . 8 ?2? ?2?
3 3

3

0

40 80 120 1 3 3 1 P 8 8 8 8 1 3 3 1 所以 EX ? 0 ? ? 40 ? ? 80 ? ? 120 ? ? 60 . 8 8 8 8 所以 x ? 60 ,因此要使促销方案对商场有利,则 x 最少为 60 元. …………12 分
3. 甲、乙两人进行摸球游戏,每次摸取一个球,一袋中装有形状、大小相同的 1 个红球和 2 个黑球, 规则如下:若摸到红球,将此球放入袋中可继续再摸;若摸到黑球,将此球放入袋中则由对方摸球。 (1)求在前四次摸球中,甲恰好摸到两次红球的概率;

?

0

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(2)设随机变量 ? 表示前三次摸球中甲摸到红球的次数,求随机变量 ? 的分布列 及数学期望 E? 。 解: (1)设甲、乙两人摸到的球为红球分虽为事件 A,事件 B,前四次摸球中甲恰好摸到两次红球 为事件 C, 则 P( A) ? P( B) ?

1 3

2分 4分 6分

则 P(C ) ? P( AA A ? A AB A ? AB AA)

1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 14 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 81
(2) ? 的所有取值分虽为 0,1,2

2 1 2 2 2 14 ? ? ? ? ? , 3 3 3 3 3 27 1 2 2 2 1 10 P(? ? 1) ? ? ? ? ? ? , 3 3 3 3 3 27 1 1 2 2 P(? ? 2) ? ? ? ? , 3 3 3 27 1 1 1 1 10 分 P(? ? 3) ? ? ? ? , 3 3 3 27 P(? ? 0) ?
?? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

14 10 2 27 27 27 14 10 2 1 17 ? E? ? 0 ? ? 1? ? 2? ? 3? ? . 27 27 27 27 27

1 27
12 分

4.袋中共有 10 个大小相同的编号为 1、2、3 的球,其中 1 号球有 1 个,2 号球有 m 个,3 号球有 n 个.从袋中依次摸出 2 个球,已知在第一次摸出 3 号球的前提下,再摸出一个 2 号球的概率是 . (1 )求 m,n 的值; (2)从袋中任意摸出 2 个球,设得到小球的编号数之和为 ? ,求随机变量 ? 的分布列和 数学期 望 E? . 解: (1)记“第一次摸出 3 号球”为事件 A, “第二次摸出 2 号球”为事件 B,则

1 3

P( B | A) ?

m 1 ? , 9 3

????4 分 ????5 分 ????6 分

? m ? 3, n ? 10 ? 3 ? 1 ? 6

(2) ? 的可能的取值为 3,4,5,6.

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1 1 2 1 ? C3 1 ? C 6 ? c3 1 1 ? , P(? ? 4) ? ? , 2 2 15 5 C10 C10

P(? ? 3) ?

P(? ? 5) ?

1 1 C3 C 6 2 C2 1 ? , P(? ? 6) ? 6 ? . 2 2 5 C10 C10 3

????10 分

? 的分布列为
?
P 3 4 5 6

1 5 1 1 2 1 E? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 6 ? ? 5. 15 5 5 3

1 15

2 5
????12 分

1 3

5.甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏,按照规则,甲先从 6 道备选题中一次性抽取 3 道 题独立作答,然后由乙回答剩余 3 题,每人答对其中 2 题就停止答题,即闯关成功.已知在 6 道被 选题中,甲能答对其中的 4 道题,乙答对每道题的概率都是

2 . 3

(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率; (2)设甲答对题目的个数为 ξ1,求 ξ 的分布列及数学期望. 解: (1)设甲、乙闯关成功分别为事件 A、B,
1 2 C4 ? C2 4 1 ? ? , 则 P( A) ? 3 20 5 C6

????2 分

2 2 2 1 2 7 , P( B) ? (1 ? )3 ? C32 (1 ? )2 ? ? ? 3 3 3 27 9 27
则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是

????4 分

1 7 128 1 ? P( A ? B) ? 1 ? P( A) ? P( B) ? 1 ? ? ? . 5 27 135
(2)由题知 ξ 的可能取值是 1,2.
1 2 2 1 3 C4 C2 1 C4 C2 ? C4 4 P (? ? 1) ? ? , P (? ? 2) ? ? , 3 3 C6 5 C6 5

????6 分 ????7 分

则 ξ 的分布列为 ξ P 1 2

1 5

4 5
????10 分

∴ E? ? 1?

1 4 9 ? 2 ? ? .????12 分 5 5 5

6. 某项考试按科目 A、科目 B 依次进行,只有当科目 A 成绩合格时,才可以继续参加科目 B 的考 试。每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方 可获得该项合格证书,现在某同 学将要参加这项考试,已知他每次考科目 A 成绩合格的概率均为 概率均为

2 ,每次考科目 B 成绩合格的 3

1 。假设他在这项考试中不放弃所有的考试机会,且每次的考试成绩互不影响,记他 2

参加考试的次数为 X。

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(1)求 X 的分布列和均值; (2)求该同学在这项考试中获得合格证书的概率。
[来源:Z§xx§k.Com]

解: (1)设该同学“第一次考科目 A 成绩合格”为事件 A, “科目 A 补考后成绩合格”为事件 B, “第 一次考科目 B 成绩合格”为事件 B1, “科目 B 补考后成绩合格”为事件 B2。 由题意知,X 可能取得的值为:2,3,4 ????2 分

P( X ? 2) ? P( A1 B1 ) ? P( A1 A2 ) ? 2 1 1 1 4 ? ? ? ? . 3 2 3 3 9 2 1 1 2 1 1 1 2 1 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 3 2 2 3 2 2 3 3 2 9

P( X ? 3) ? P( A1 B1 B2 ) ? P( A1 B1 B2 ) ? P( A1 A2 B1 ) ?

P( X ? 4) ? P( A1 A2 B1 B2 ) ? P( A1 A2 B1 B2 )
1 2 1 1 1 2 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 3 3 2 2 3 3 2 2 9
X 的分布列为 X P 2 3 4 ????6 分

4 9

4 9

1 9
????8 分

故 EX ? 2 ?

4 4 1 8 ? 3? ? 4 ? ? 9 9 9 3

(2)设“该同学在这项考试中获得合格证书”为事件 C 则 P(C ) ? P( A1 B1 ) ? P( A1 B1 B2 ) ? P( A1 A2 B1 ) ? P( A1 A2 B1 B2 )

2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 3 2 2 3 3 2 3 2 2 3 2 故该同学在这项考试中获得合格证书的概率为 3 ?
7. 某校举行了“环保知识竞赛” ,为了解本次竞赛成 绩情况,从中随机抽取部分学生的成绩(得分均为整数, 满分 100 分),进行统计,请根据频率分布表中所提供 的数据,解答下列问题: (Ⅰ)求 a、b、c 的值及随机抽取一考生其成绩不 低于 70 分的概率; (Ⅱ)按成绩分层抽样抽取 20 人参加社区志愿者活 动,并从中 指派 2 名学生 担任负责人,记这 2 名学生中 “成绩低于 70 分”的人数为 ? ,求 ? 的分布列及期望。 解:(Ⅰ) a ? 100 b ? 20 c?0.35 由频率分布表可得成绩不低予 70 分的概率为:

????2 分 频率分布表 分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 合计 频数 5 频率 0.05 0.20

b
35 30 10

c
0.30 0.10 1.00

a

p ? 0.35 ? 0.30 ? 0.10 ? 0.75 ???????????????????????4 分
(Ⅱ)由频率分布表可知, “成绩低予 70 分”的概率为 0.25 [来源:Z*xx*k.Com]

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“成绩低于 70 分”的应抽取 5 人??????6 分 ?按成绩分层抽样抽取 20 人时.

? 的取值为 0,1, 2
p(? ? 0) ?
2 c15 21 ? 2 c20 38

1 1 c5c15 15 p (? ? 1) ? 2 ? c20 38 2 c5 1 ? 2 c20 19

p(? ? 1) ?

?? 的分布列为

?
p
? E? ? 0 ?

0
21 38

1
15 38

2
1 19
?????????????????????9 分

21 15 1 1 ? 1? ? 2 ? ? ??????????????????12 分 38 38 19 2

8.某大学开设甲、乙、丙三门 选修课,学生是否选修哪门课互不影响. 已知某学生只选修甲的概率为

0.08 ,只选修甲和乙的概率是 0.12 ,至少选修一门的概率是 0.88 ,用 ? 表示该学生选修的课程门
数和没有选修的课程门数的乘积. (1)记“函数 f ( x) ? x ? ? x 为 R 上的偶函数”为事件 A ,求事件 A 的概率;
2

(2)求 ? 的分布列和数学期望. 解: (1)设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为 x 、 y 、 z

? x(1 ? y )(1 ? z ) ? 0.08, ? x ? 0. 4 ? ? 解得? y ? 0.6 依题意得 ? xy(1 ? z ) ? 0.12, ?1 ? (1 ? x)(1 ? y )(1 ? z ) ? 0.88, ? z ? 0 .5 ? ?
若函数 f ( x) ? x ? ?x 为 R 上的偶函数,则 ? =0
2

…………3 分

当 ? =0 时,表示该学生选修三门功课或三门功课都没选.

? P( A) ? P(? ? 0) ? xyz ? (1 ? x)(1 ? y)(1 ? z) ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? (1 ? 0.4)(1 ? 0.5)(1 ? 0.6) ? 0.24
∴事件 A 的概率为 0.24 ………… 6 分

(2)依题意知 ? ? 0, ………… 8 分 2

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则 ? 的分布列为

?
P

0

2

0.24

0.76
…………12 分

∴ ? 的数学期望为 E? ? 0 ? 0.24 ? 2 ? 0.76 ? 1.52

9.在一次数学考试中, 21 题和第 22 题为选做题. 规定每位考生必须且只须在其中选做一题. 设 4 第 名考生选做每一道题的概率均为

1 . 2

(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率; (2)设这 4 名考生中选做第 22 题的学生个数为 ? ,求 ? 的概率分布及数学期望. 解: (1)设事件 A 表示“甲选做第 21 题”,事件 B 表示“乙选做第 21 题”,则甲、乙 2 名学生选 做同一道题的事件为“ AB ? AB ”,且事件 A 、 B 相互独立.

1 1 1 1 1 ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? . 2 2 2 2 2 1 (2)随机变量 ? 的可能取值为 0,1,2,3,4,且 ? ~ B (4, ) . 2 1 4?k k 1 k k 1 ∴ P(? ? k ) ? C4 ( ) (1 ? ) ? C4 ( ) 4 (k ? 0,1, 2,3, 4) 2 2 2
∴ P( AB ? AB) ? P( A) P( B) ? P( A) P( B) = ∴变量 ? 的分布列为:

?
P
E? ? 0 ?

0

1

2

3

4

1 16

1 4

3 8

1 4

1 16

1 1 3 1 1 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 2 (或 E? ? np ? 4 ? ? 2 ) 16 4 8 4 16 2

10.2010 年亚冠联赛,山东鲁能、广岛三箭、阿德莱德联、浦项制铁分在同一组进行循环赛,已知 规则为每轮胜得 3 分,平得 1 分,负得 0 分。第一轮在 2 月 24 日的比赛中,山东鲁能客场 l:0 战胜 广岛三箭;第二轮主场对阵阿德莱德联;第三轮客场对阵浦项制铁。若山东鲁能主场胜的概率为 负的概率为

2 , 3

1 ,客场胜、平、负是等可能 的。假定各场比赛相互之间不受影响。在前三轮中求: 12

(Ⅰ)山东鲁能两胜一平的概率; (Ⅱ)山东鲁能积分的数学期望。 (18)解:(Ⅰ)记山东鲁能两胜一平的事件为 A ,由于第一轮已经取胜, 则事件 A 包含第二轮主场胜, 第三轮客场平:或第二轮主场平,第三轮客场胜,

2 1 1 1 2 1 11 ???????????????????5 分 ? ? ? ? ? ? 3 3 4 3 9 12 36 11 所以山东鲁能两胜一平的概率为 ?????? 36
从而 P( A) ? ????????????????6 分

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(Ⅱ)(法一)记山东鲁能在第二轮得分为随机变量 X , 则 的取值为 3、 0 1、 由已知得 X 的分布列为:

X
P

3 2 3

1 1 4

0 1 12

X

2 1 1 9 ? EX ? 3 ? ? 1? ? 0 ? ? ??????9 分 3 4 12 4
第三轮得分为随机变量 Y ,因胜、负、平概率相等,故 EY ? (3 ? 1 ? 0) ? 所以前二三轮山东鲁能积分的数学期望为 3 ?

1 4 ? ???11 分 3 3

9 4 79 ?????????????12 分 ? ? 4 3 12 (法二)记山东鲁能在第二轮和第三轮得分为随饥变量 X ,则 X 的取值为 6、4、3、2、1、0 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 P( X ? 6) ? ? ? , P( X ? 4) ? , P( X ? 3) ? ? ? ? ? , P( X ? 2) ? ? ? 3 3 9 36 3 3 12 3 4 4 3 12 1 1 1 1 1 1 1 1 P( X ? 1) ? ? ? ? ? , P( X ? 0) ? ? ? 4 3 12 3 9 12 3 36 所以 X 的分布列为: 3 2 X 6 4 1 0 2 11 1 1 1 1 P 9 36 4 12 9 36 2 11 1 1 1 1 43 ? EX ? 6 ? ? 4 ? ? 3 ? ? 2 ? ? 1? ? 0 ? ? 9 36 4 12 9 36 12 43 79 所以前三轮山东鲁能积分的数学期望为 ?3? 12 12
11.甲、乙两位小学生各有 2008 年奥运吉祥物“福娃”5 个(其中“贝贝”“晶晶”“欢欢” 、 、 、 “迎迎”和“妮妮各一个”,现以投掷一个骰子的方式进行游戏,规则如下:当出现向上 ) 的点数是奇数时,甲赢得乙一个福娃;否则乙赢得甲一个福娃,规定掷骰子的次数达次 时,或在此前某人已赢得所有福娃时游戏终止。记游戏终止时投掷骰子的次数为 ? (1)求掷骰子的次数为 7 的概率; (2)求 ? 的分布列及数学期望 E ? 。 解: (1)当 ? =7 时,甲赢意味着“第七次甲赢,前 6 次赢 5 次,但根据规则,前 5 次中 必输 1 次” ,由规则,每次甲赢或乙赢的概率均为

1 ,因此 2

1 1 1 5 1 1 P(? ? 7) = 2C5 ( ) ? ( ) 4 ? ? ? 2 2 2 2 64
(2)设游戏终止时骰子向上的点数是奇数出现的次数为 m ,向上的点数是偶数出现的次

?| m ? n |? 5 ? 数为 n,则由 ?m ? n ? ? ,可得:当 m ? 5, n ? 0或m ? 0, n ? 5时,? ? 5;当m ? 6 ?1 ? ? ? 9 ?

n ? 1或 m ? 1 , n ? 6 时, ? ? 7 当 m ? 7 , n ? 2 或 m ? 2, n ? 7时, ? ? 9. 因此 ? 的可能取值
是 5、7、9 每次投掷甲赢得乙一个福娃与乙赢得甲一个福娃的可能性相同,其概率都是

3 1 ? . 6 2

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1 1 5 1 5 55 P(? ? 5) ? 2 ? ( ) 5 ? , P(? ? 7) ? , P(? ? 9) ? 1 ? ? ? 2 16 64 16 64 64
所以 ? 的分布列是:

?
P
E? ? 5 ?

5

7

9

1 16

5 64

55 64

1 5 55 275 ? 7? ? 9? ? 16 64 64 32

12. 某工厂在试验阶段大量生产一种零件.这种零件有 A 、 B 两项技术 指标需要检测,设各项技术指标达标与否互不影响.若 A 项技术指标达标的概率为 有一项技术指标达标的概率为

3 ,有且仅 4

5 .按质量检验规定:两项技术指标都达标的零件为合格品. 12

(Ⅰ)求一个零件经过检测为合格品的概率; (Ⅱ)任意依次抽出 5 个零件进行检测,求其中至多 3 个零件是合格品的概率; (Ⅲ)任意依次抽取该种零件 4 个,设 ? 表示其中合格品的个数,求 E? 与 D? . 解: (Ⅰ)设 A 、 B 两项技术指标达标的概率分别为 P1 、 P2 .

3 ? ? P1 ? 4 ? 由题意得: ? , ? P (1 ? P ) ? (1 ? P ) P ? 5 2 1 2 ? 1 12 ?
解得: P2 ?

2 . 3
3 2 1 ? ? . 4 3 2

∴ 一个零件经过检测为合格品的概率 P ? P P2 ? 1

(Ⅱ)任意抽出 5 个零件进行检查,其中至多 3 个零件是合格品的概率为:

1 13 5 1 1 ? C54 ( ) 5 ? C5 ( ) 5 ? . 2 2 16 1 1 1 1 (Ⅲ)依题意知 ? ~ B ( 4, ) , E? ? 4 ? ? 2 , D? ? 4 ? ? ? 1 . 2 2 2 2
13.一个袋中有大小相同的标有 1,2,3,4,5,6 的 6 个小球,某人做如下游戏,每次从袋中拿 一个球(拿后放回) ,记下标号。若拿出球的标号是 3 的倍数,则得 1 分,否则得 ? 1 分。 (1)求拿 4 次至少得 2 分的概率; (2)求拿 4 次所得分数 ? 的分布列和数学期望。 解(1)设拿出球的号码是 3 的倍数的为事件 A,则 P( A) ? 包括 2 分和 4 分两种情况。

1 2 , P( A) ? ,拿 4 次至少得 2 分 3 3

2 8 1 1 1 3 1 P ? C4 ( ) 3 ( ) ? , P2 ? ( ) 4 ? ,? P ? P ? P2 ? 1 1 3 3 81 3 81 9

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(2) ? 的可能取值为 ? 4,?2,0,2,4 ,则

2 16 32 1 1 2 ; P(? ? ?4) ? ( ) 4 ? ; P(? ? ?2) ? C4 ( )( ) 3 ? 3 81 3 3 81 2 24 8 1 2 1 ; P(? ? 2) ? ; P(? ? 4) ? ; P(? ? 0) ? C4 ( ) 2 ( ) 2 ? 3 3 81 81 81 ?分布列为
-4 -2 0 2 4

P
?
16 81 32 81 24 81 8 81 1 81

E? ? ?4 ?

16 32 24 8 1 3 ? (?2) ? ? 0? ? 2? ? 4? ? ? 81 81 81 81 81 4


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