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第7章 数列与数学归纳法2


第 7 章 数列与数学归纳法 练习二、等比数列与等差数列 填空部分: 一、填空部分: 1. 等比数列 {a n }中, a1 + a 2 = 3, a 2 + a 3 = 6 ,则此数列公比 q = ________ . 2. 若数列 {a n }满足: a1 = 1, a n +1 = 2a n n ∈ N

(

?

),则前 6 项的和 S

6

= _________ .

3. 已知数列的通项 a n = ?5n + 2 ,则其前 n 项和 S n = ________ . 4. 已知 {a n }是递增等比数列, a 2 = 2, a 4 ? a 3 = 4 ,则此数列公比 q = ________ . 5. 已 知 由 正 数 组 成 的 等 比 数 列 {a n } , 公 比 q = 2 , 且 a1 ? a 2 ?a 3 ? L ? a 30 = 2 , 则
30

a 2 ? a 5 ? a 8 ? L ? a 29 = _________ .
6. 设数列 {a n } 为公比 q > 1 的等比数列,若 a 4 , a 5 是方程 4 x ? 8 x + 3 = 0 的两根,则
2

a 6 + a 7 = ________ .
7. 设等比数列 {a n }的公比 q =

S 1 ,前 n 项和为 S n , ,则 4 = _______ . 2 a4
2n

8. 已知等比数列 {a n }满足: a n > 0, n = 1,2,3L , 且 a 5 ? a 2 n ? 5 = 2 时, log 2 a1 + log 2 a 3 + L + log 2 a 2 n ?1 = __________ .

(n ≥ 3) ,则当 n ≥ 1

9. 已 知 各 项 都 为 正 数 的 等 比 数 列 {a n } 中 , a 2 ? a 4 = 4, a1 + a 2 + a 3 = 14 , 则 满 足

1 的最大正整数 n 的值为__________. 9 1 10. 已知 {a n }是等比数列, a 2 = 2, a 5 = , 则 a1 a 2 + a 2 a 3 + L + a n a n +! = ________ . 4 a n + a n +1 + a n + 2 >
11. 已知数列 {a n } 为等比数列,且 a 3 ? a 7 = 2a 5 ,设等差数列 {bn } 的前 n 项和为 S n , 若

b5 = a 5 ,则 S 9 = _________ .
12. 已知等比数列 {a n }满足 a1 = 33, a n +1 ? a n = 2n, 则 二、选择部分: 选择部分: 13. 若等比数列 {a n }满足 a n a n +1 = 16 , 则公比为(
n

an 的最小值为__________. n



A. 2

B.

4

C. 8

D. 16

-1-

14. 等比数列 {a n }中, a1 = 1, a 5 = ?8a 2 , a 5 > a 2 , 则 a n = ( A. (? 2 )
n ?1


n

B. ? ? 2

(

n ?1

)

C.

(? 2)n

D. ? (? 2 )

各数都是正数, a1 , 且 15. 已知等比数列 {a n }中, A. 1 + B. 1 ?

a + a10 1 a 3 ,2a 2 成等差数列, 9 则 =( ) 2 a 7 + a8
D. 3 ? 2 2

2

2

C. 3 + 2 2

16. 已知 {a n }是首项为 1 的等比数列,S n 是 {a n }前 n 项和, 9 S 3 = S 6 , 且 则数列 ? 前 5 项和为( ) A.

?1? ?的 ? an ?

15 或5 8

B.

31 或5 16
a b

C.

31 16

D.

15 8


17. 设 a > 0, b > 0. 若 3 是 3 ,3 的等比中项,则 A.8 三、解答部分: 解答部分: 18. 已知数列 {a n }中, a1 = 1, a n +1 = 1 + B. 4 C. 1

1 1 + 的最小值为( a b 1 D. 4

1 an , 求 an . 2

19. 设等比数列 {a n }的前 n 项和为 S n , 已知 a 2 = 6,6a1 + a 3 = 30, 求 a n , S n .

20. 设数列 {a n }的前 n 项和为 S n = 3a n ? 2(n = 1,2,3, L) ,若 bn +1 = a n + bn (n = 1,2, L), 且

b1 = ?3 ,求 {bn }前 n 项和 Tn .

21. 已知数列 {a n }的前 n 项和为 S n ,且 S n = n ? 5a n ? 85, n ∈ N ;
?

(1)证明: {a n ? 1} 是等比数列;(2)求数列 {S n } 的通项公式,并求出使得 S n +1 > S n 成 立的最小正整数 n.

-2-

22. 已知函数 f ( x ) =

4x ? 2 ( x ≠ ?1,x ∈ R ) ,数列 {an } 满足 a1 = a (a ≠ ?1,a ∈ R ) , x +1

an +1 = f (an )(n ∈ N * ) .
(1)若数列 {an } 是常数列,求 a 的值; (2)当 a1 = 4 时, bn = 记

an ? 2 (n ∈ N * ) , 证明数列 {bn } 是等比数列, 并求出通项公式 an . a n ?1

23.已知数列 {a n }中, a1 = 1, a 2 = 2, 数列 {a n }的奇数项依次组成公差为 1 的等差数列,偶 数项依次组成公比为 2 的等比数列, 数列 {bn }满足 bn =

a 2 n ?1 , 数列 {bn }的前 n 项和为 S n , a 2n
1 . n

(1)写出数列 {a n }的通项公式; (2)求 S n ;(3)证明:当 n ≥ 6 时, 2 ? S n <

-3-


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