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第7章 数列与数学归纳法


第 7 章 数列与数学归纳法
练习一、数列与等差数列 一、填空部分: 1. 数列 {a n }中, a1 = 2, a n +1 = a n + 2. 已知数列 {a n }的通项公式 a n =

1 , 则 a n = _________ . n +n
2

n +1 ,则它的第 5 项 a 5 = ________ . n

3. 等差数列 {a n }中, a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 = 450 ,前 9 项和 S 9 = _________. 4. 设等差数列 {a n }的前 n 项和为 S 4 , S 4 ≥ 10, S 5 ≤ 15, 则a n 的最大值是__________. 5. 等差数列 {a n }中,已知 S 9 = 18, a n ? 4 = 30(n > 9 ), S n = 240, 则 n=_________. 6. 设数列 {a n }的前 n 项和为 S n , 且a n = sin

7. 一个等差数列 2n + 1 项,其中奇数项之和为 36,偶数项之和为 30,则数列的 n + 1 项的 和是________. 8. 已知数列 {a n }的前 n 项和是 S n = n + n + 1 ,则数列的通项 a n = _______ .
2

nπ , n ∈ N ? , 则S 2011 = _______ . 2

9. 已知 a n =

1 , S n 为数列 {a n }的前 n 项和,则 S n = ______ . n(n + 1)

10. 设 a1 , d 是 实 数 , 首 项 a1 , 公 差 为 d 的 等 差 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 是 S n , 满 足

S 5 S 6 + 15 = 0 ,则 d 的取值范围是________.
二、选择部分: 11. 图 1 是一个水平摆放的 小正方体木块, 2, 3 是由这样的小正方体木块叠放而成的, 图 图 按照这样的规律放下去,至第七个叠放的图形中,小正方体木块总数是( A . 25 B. 66 C. 91 ) D. 120

12. 已知等差数列 {a n }的前 n 项和为 S n , 若m > 1, 且a m ?1 + a m +1 ? a m = 0, S 2m ?1 = 38,则
2

m=( A. 10

) B. 20 C. 38 D. 9 )

13. 已知等差数列 {a n }满足 a1 + a 3 + a 5 = 12, a 2 + a 4 + a 6 = 21 ,则公差等于( A.3 B. -3 C. 1 D. -1

-1-

14. 已知数列 {a n }中, a1 = 3, a n ? a n +1 ? 2 = 0 ,则 {a n }的通项公式为( A. a n = 2n + 1 B. a n = 2n ? 1 C. a n = ?2n + 5



D. a n = ?2n ? 5

15. 已知方程 x 2 ? 2 x + m x 2 ? 2 x + n = 0 的四个根组成一个首项为

(

)(

)

1 的等差数列,则 4

m?n =(
A.1 B.



3 4

C.

1 2

D.

3 8

三、解答部分: 16. 已知等差数列 {a n }满足: a 3 = 7, a 5 + a 7 = 26, {a n }的前 n 项和为 S n . 求: (1) a n 及 S n . (2)令 bn =

1 n ∈ N ? ,求数列 {bn }的前 n 项和 Tn . a ?1
2 n

(

)

17. 已知数列 {a n }, a n ∈ N ,前 n 项和为 S n = (a n + 2 )
?

2

(1)求证: {a n }是等差数列;(2)若 bn = a n ? 30 求数列 {bn }的前 n 项和的最小值.

18. 已知 {a n }是递增的等差数列,满足 a 2 ? a 4 = 3, a1 + a 5 = 4 , (1)求数列 {a n }的通项公式及前 n 项和; (2)设数列 {bn }对n ∈ N 均有
?

b b1 b2 + 2 + K n = a n +1 成立,求数列 {bn }的通项公式. 3 3 3n

-2-

19. 已知数列 {a n }前 n 项和 S n = 2a n ? 2 (1)求证:数列 ?

n +1

,

? an ? 是等差数列; (2)若不等式 a n +1 < (5 ? λ ) a n 恒成立,求 λ 的取值范围. n ? ?2 ?

20. 在等差数列 {a n }中,已知 a n = 3n + 2 (1)在 N 内任取 4 个不同的 n 值,分别计算出 a n 与前 2n-1 项和 S 2 n ?1 的值,填入下表:
?

n
an S 2 n ?1
(2)对于 N 内任意的 n,根据上述猜想关于 a n 与前 2n-1 项的和 S 2 n ?1 的和一个等式关系, 并加以证明; (3)判断上述等式关系,是否对所有的等差数列都成立? (4)利用(3)的结论来解决下列问题: 设 An , B n 分 别 是 等 差 数 列 {a n }, {bn } 前 n 项 和 , 已 知 对 于 任 意 的 n ∈ N , 都 有
? ?

Am a 7n + 1 = , 求 11 的值. B n 4n + 27 b11

-3-


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