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高中数学56运用数学归纳法证明不等式自我小测苏教版选修45

5.6 运用数学归纳法证明不等式 自我小测 1 1 1 1 设 f(n)=1+ + +…+ (n∈N+),则 f(n+1)-f(n)等于________. 2 3 3n-1 2 观察下式: 1=1 ; 2+3+4=3 ; 3+4+5+6+7=5 ; 4+5+6+7+8+9+10=7 , …, 则得出结论:_____________________________________________________________ ________________________________________________________________________. 3 用数学归纳法证明时:设 f(k)=1×4+2×7+…+k(3k+1)=k(k+1) ,则 f(k+1) =________. 4(2010 淮南高考调研,理 13)若 f(n)=1 +2 +3 +…+(2n) ,则 f(k+1)与 f(k)的递 推关系式是________. 5 求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2 ×1×3×5×…×(2n-1)(n∈N+). 6 用数学归纳法证明 1 -2 +3 -4 +…+(2n-1) -(2n) =-n(2n+1). 7 设 f(n)= 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n n+1 n+2 n+3 + 1 + 1 1 +…+ (n∈N+),那么 f(n+1)-f(n)等于________. 2n 8 已知整数对的序列如下: (1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (2,2), (3,1), (1,4), (2,3), (3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…,则第 60 个数对是________. 1 9 求证:n 棱柱中过侧棱的对角面的个数是 f(n)= n(n-3)(n∈N+,n≥4). 2 10 已知数列{an}满足条件(n-1)an+1=(n+1)(an-1),且 a2=6(n∈N+). (1)求 a1、a3、a4 的值; (2)求数列{an}的通项公式. 11 已知点的序列 An(xn,0),n∈N+,其中 x1=0,x2=a(a>0),A3 是线段 A1A2 的中点,A4 是线段 A2A3 的中点,…,An 是线段 An-2An-1 的中点,…. (1)写出 xn 与 xn-1、xn-2 之间的关系式(n≥3); (2)设 an=xn+1-xn,计算 a1,a2,a3,由此推测数列{an}的通项公式,并加以证明. 1 参考答案 1 1 1 1 1 1 1 1. + + 解析: 因为 f(n)=1+ + +…+ , 所以 f(n+1)=1+ + 3n 3n+1 3n+2 2 3 3n-1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 +…+ + + + .所以 f(n+1)-f(n)= + + . 3 3n-1 3n 3n+1 3n+2 3n 3n+1 3n+2 2.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1) 2 3.1×4+2×7+…+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2) 4.f(k+1)=f(k)+(2k+1) +(2k+2) 解析:∵f(k)=1 +2 +3 +…+(2k) . 2 2 2 2 2 2 2 而 f(k+1)=1 +2 +3 +…+(2k) +(2k+1) +(2k+2) . ∴f(k+1)=f(k)+(2k+1) +(2k+2) . 5.证明:(1)当 n=1 时,左边=2,右边=2×1=2,所以等式成立. (2) 假 设 n = k(k ∈ N + , k≥1) 时 等 式 成 立 , 即 (k + 1)×(k + 2)×…×(k + k) = 2 ×1×3×5×…×(2k-1)成立. 那么当 n=k+1 时, (k + 2)(k + 3)…(k + k)(2k + 1)(2k + 2) = 2(k + 1)×(k + 2)×…×(2k + 1) = 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 k k+ ×1×3×5×…×(2k-1)[2(k+1)-1],即 n=k+1 时等式成立. 由(1)、(2)可知,对任何 n∈N+等式均成立. 6.证明:(1)当 n=1 时. 左边=1 -2 =-3, 右边=-1×(2×1+1)=-3,等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N+,k≥1)时,等式成立,即 1 -2 +3 -4 +…+(2k-1) -(2k) =-k(2k+1), 则当 n=k+1 时, 1 -2 +3 -4 +…+(2k-1) -(2k) +(2k+1) -[2(k+1)] =-k(2k+1)+(2k+1) -[2(k+1)] =-2k -5k-3=-(k+1)(2k+3) =-(k+1)[2(k+1)+1], 即当 n=k+1 时,等式成立. 由(1)、(2)可知,对任何 n∈N+,等式成立. 解析:当 n=k+1 时,左边的项应该增加两项(2k+1) -(2k+2) . 1 1 7. - 2n+1 2n+2 8.(5,7) 解析:设每个数对内的两数之和为 k,则组成数对的个数为 ak=k-1,k= 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2,3,….则由不等式 Sk= +k- 2 k- = k k- 2 <60,得 k(k-1)<120,则 k 11×10 的最大值为 11,且 S11= =55,则第 56 个数对之和为 12,即(1,11),后面的依次为 2 (2,10),(3,9),(4,8),(5,7),所以第 60 个数对为(5,7). 1 9.证明:(1)当 n=4 时,四棱柱有 2 个对角面, ×4×(4-3)=2,命题成立. 2 1 (2)假设当 n=k(k∈N+,k≥4)时命题成立,即符合条件的棱柱的对角面有 f(k)= k(k 2 -3)个,现在考虑 n=

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