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二面角问题

精锐教育学科教师辅导讲义
讲义编: 11gz2sx012375 学员编号:gz2lzm168 学员姓名:谢栩洋 学科组长/带头人签名及日期 课 题 年 级:高一 辅导科目:数学 课时数:3(39/60) 学科教师:彭文俊

二面角问题
备课时间:2011-12-20 1. 理解异面直线所成的角、线面角、二面角 会求异面直线所成的角、线面角、二面角

授课时间:2011-12-25 教学目标

重点、难点

会求异面直线所成的角、线面角、二面角 (1)直线和平面垂直的判定定理与性质定理; (2)面与面垂直的判定定理及性质定理。 教学内容

考点及考试要求

二面角问题 二面角的度量是通过其平面角来实现的解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手,所以作二面 角的平面角就成为解题的关键。通常的作法有: (Ⅰ)定义法; (Ⅱ)利用三垂线定理或逆定理; (Ⅲ)自空间 一点作棱垂直的垂面,截二面角得两条射线所成的角,俗称垂面法.此外,当作二面角的平面角有困难时,可 用射影面积法解之,cos =

S? ,其中 S 为斜面面积,S′为射影面积, S

为斜面与射影面所成的二面角

1. 定义法 二面角的平面角的定义 如图(1),α 、β 是由 l 出发的两个平面, O 是 l 上任意一点 OC ∈α ,且 OC⊥l;CD∈ β ,且 OD⊥l。 这就是二面角的平面角的环境背景,即∠COD 是二面角 α —l—β 的平面角,从中不难得到下列特征:

Ⅰ、过棱上任意一点,其平面角是唯一的; Ⅱ、其平面角所在平面与其两个半平面均垂直; 另外,如果在 OC 上任取上一点 A,作 AB⊥OD 垂足为 B,那么由特征Ⅱ可知 AB⊥β . 突出 l、OC、OD、AB,这 便是另一特征;

Ⅲ、体现出完整的三垂线定理(或逆定理)的环境背景 例 1.在四面体 ABCD 中,AB=AD=BD=2,BC=DC=4,二面角 A-BD-C 的大小为 60°,求 AC 的长.

2. 垂线段 如果二面角 α —l—β 的两个半平面之一,存在垂线段 AB,那么过垂足 B 作 l 的垂线交 l 于 O,连结 AO,由三 垂线定理可知 OA⊥l;或者由 A 作 l 的垂线交 l 于 O,连结 OB,由三垂线定理逆定理可知 OB⊥l,此时,∠AOB 就是二面角 α —l—β 的平面角,如图。

由此可见,二面角的平面角的定位可以找“垂线段”。 例 2 如图 1-125,PC⊥平面 ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角 B-PA-C 的平面角的正切值。

3. 垂面法、 如果二面角 α —l—β 的棱 l 垂直某一平面 γ ;那么 γ 与 α 、β 的交线所成的角就是 α —l—β 的平面角, 如图。

由此可见,二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”。 例 3 在 60°二面角 M-a-N 内有一点 P, P 到平面 M、 平面 N 的距离分别为 1 和 2, 求点 P 到直线 a 的距离。 (图 1-126)

评注 本例题中,通过作二面角的棱的垂面,找到二面角的平面角。

例 4. 如图 1-127 过正方形 ABCD 的顶点 A 作 PA⊥平面 ABCD,设 PA=AB=a 求(1)二面角 B-PC-D 的大小; (2)平面 PAB 和平面 PCD 所成二面角的大小。

评注 在求无棱二面角的大小时有时须作出棱线后再找平面角。

课中巩固 1.如图, PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是矩形,点 E 在边 AB 上,F 为 PD 的中点,AF∥平面 PCE, (1)试确定 0 E 点位置; (2)若二面角 P-CD-B 为 45 ,AD=2,CD=3,求直线 AF 到平面 PCE 的距离。

2. 如图, 在空间四边形 ABCD 中,?BCD 是正三角形,?ABD 是等腰直角三角形, 且 ?BAD ? 90 , 又二面角 A ? BD ? C 为直二面角,求二面角 A ? CD ? B 的大小
王新敞
奎屯 新疆

A

B

H
E

D F C

3.如图 7,在 的二面角 到棱 的距离.

内有一点

,它到



面的距离分别为 3 和 5,求



4、 (2010 浙江理数) (20) (本题满分 15 分) 如图, 在矩形 ABCD 中, 点 E , F 分别在线段 AB, AD 上,AE ? EB ? AF ? 翻折成 V A EF ,使平面 A EF ? 平面BEF .
'

2 FD ? 4 .沿直线 EF 将 V AEF 3

'

(Ⅰ)求二面角 A' ? FD ? C 的余弦值;

5.(2010 天津理数) (19) (本小题满分 12 分)如图,在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,

E 、 F 分别是棱 BC , CC1
上的点, CF ? AB ? 2CE , AB : AD : AA1 ? 1: 2 : 4 (2)证明 AF ? 平面

A1ED

(3)求二面角 A1 ? ED ? F 的正弦值。

6.(2009 山东卷理)(本小题满分 12 分) 如图,在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,底面 ABCD 为等腰梯形,AB//CD,AB=4, BC=CD=2, AA 1 =2, E、E 1 、F 分别是棱 AD、AA 1 、AB 的中点。 (1) 证明:直线 EE 1 //平面 FCC 1 ; (2) 求二面角 B-FC 1 -C 的余弦值。 E1 E A F B D C D1 A1 C1 B1

7.(2009 重庆卷理) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)问 5 分, (Ⅱ)问 7 分) 如 题 ( 19 ) 图 , 在 四 棱 锥 S ? ABCD 中 , AD

BC 且 AD ? CD ; 平 面 CSD ? 平 面 ABCD ,

CS ? DS , CS ? 2 AD ? 2 ; E 为 BS 的中点, CE ? 2, AS ? 3 .求:
(Ⅰ)点 A 到平面 BCS 的距离; (Ⅱ)二面角 E ? CD ? A 的大小. .

8.(2009 年上海卷理) (本题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA 1 ? BC ? AB ? 2 ,

AB ? BC ,求二面角 B1 ? AC 1 ? C1 的大小。

9.(2009 安徽卷理) (本小题满分 13 分) 如图,四棱锥 F-ABCD 的底面 ABCD 是菱形, 其对角线 AC=2,BD= 2 ,AE、CF 都与平面 ABCD 垂直,AE=1, CF=2. (I)求二面角 B-AF-D 的大小; (II)求四棱锥 E-ABCD 与四棱锥 F-ABCD 公共部分的体积.


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