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2013年省级重点高中自主招生数学模拟试题


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2013 年省级重点高中自主招生数学模拟题
一、选择题
1、下列图中阴影部分面积与算式 ?

9、 对于满足 x ? 2 的所有实数 x , 使不等式 p 2 ? px ? 1 ? 2 p ? x 恒成立, p 的取值范围为 则 ( A. p ? 1 B. p ? 1 或 p ? ?1 C. p ? 3 或 p ? ?1 D. p ? 3 或 p ? 1



3 ?1? ? ? ? ? 2?1 的结果相同的是??????( 4 ? 2?

2



10、如图,记二次函数 y ? ? x 2 ? 1 的图象与 x 轴的正半轴交点为 A,将线段 OA 分成 n 等分.设 分点分别为 P1,P2,?,Pn-1,过每个分点作 x 轴的垂线,分别与该图象交于点 Q1,Q2,?,Qn-1, 再 记 直 角 三 角 形 OP1Q1 , P1P2Q2 , ? 的 面 积 分 别 为 S1 , S2 , ? , 这 样 就 有 S1 ?

n2 ?1 , 2n 3


n2 ? 4 S2 ? ,?;记 W=S1+S2+?+Sn-1,当 n 越来越大时,W 最接近的常数是( 2n 3
1 1 1 (C) (D) 2 4 3 11、 如图,已知等边 ?ABC 外有一点 P,P 落在 ?ABC
(A) 2、如果关于 x 的方程 x ? ax ? a ? 3 ? 0 至少有一个正根,则实数 a 的取值范围是(
2 2



2 3

(B)

A、 ? 2 ? a ? 2

B、 3 ? a ? 2

C、 ? 3 ? a ? 2

D、 ? 3 ? a ? 2

内,设 P 到 BC、CA、AB 的距离分别为 h1 , h2 , h3 , 满足 h1 ? h2 ? h3 ? 6 ,那么等边 ?ABC 的面积为( A. 4 3 C. B. 8 3 D. 12 3 ) B



h1


3、P 是凸四边形内的一点,P 与四个顶点连接得到的四条线段的长分别为 1,2,3,4。那么这个 四边形的面积的最大值为( ) A、10.5 B、12 C、12.5 D15

h2
A 第 11 题图

h3

a a?b 4、设a,b,c分别为△ABC的三边的长,且 ? ,则它的内角∠A、∠B的关系 b a?b?c
是( ) (A)∠B>2∠A (B)∠B=2∠A (C)∠B<2∠A (D)不确定 5、满足 y ? ( x ? 3 ? x ? 2007的正整数数对(x,y) (B)恰有两对 (C)至少有三对 )

9 3

12、 如图, △ABC 被 DE、 分成面积相等的三部分 FG (即 FG-DE=( ) B. C.

) 且 DE∥FG∥BC, , BC=



(A)只有一对

(D)不存在 ) A. D.

6、已知错误!未找到引用源。<cosA<sin80°,则锐角 A 的取值范围是(

(A)60°<A<80° (B)30°<A<80° (C)10°<A<60 (D)10°<A<30° 7、关于 x 的方程

2x ? a x ?1

? 1 的解是正数,则 a 的取值范围是
2



8、如图,抛物线 y ? ax ? bx ? c 与 x 轴的一个交点 A 在点(-2,0)和(-1,0)之间(包括这 两点) ,顶点 C 是矩形 DEFG 上(包括边界和内部)的一个动点,则 a 的取值范围 是 .

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共点,求 a , b , c 的值。

二、填空题
13 、 在 △ ABC 中 , ∠C= 90 , 斜 边 AB=10 ,直 角边 AC 、 BC 的 长 分 别是关 于 x 的 方 程
0

x2 ? mx ? 3 m ? 6 ? 0的两个实根,则 sinA+sinB+sinA ? sinB=



14、三角形的三边为 a, b, c, 若b ? 10, a, c为整数,且 ? b ? c, 则该三角形是等边三角形的概率 a 是 。 15、如图,□ABCD 的面积是 60,E、F 分别是 AB、BC 的 中点, AF 与 DE、BD 分别交于 G、H,则四边形 EBHG 的 面积是 。
A G H F C

D

22、如图,已知双曲线 C1 : y ?

1 、抛物线 C2 : y ? x2 ?12 ,直线 l : y ? kx ? m . x

E

(Ⅰ)若直线 l 与抛物线 C2 有公共点,求

1 16、 不等式 ?3 ? ? 2 的解为___ x
17、已知 a、b、c 均为非零实数,满足:

k2 ? m 的最小值; 4

_______.

B

(Ⅱ)设直线 l 与双曲线 C1 的两个交点为 A、 B ,与抛物线 C2 的两个交点为 C、D .是否存在直 线 l ,使得 A、 B 为线段 CD 的三等分点?若存在,求出直线 l 的解析式,若不存在,请说明理由。

( a ? b)(b ? c )(c ? a ) b?c ?a c ? a ?b a ?b?c ? ? ,则 的值为_____ abc a b c

___。

18、等腰三角形的一条腰上的高线等于该三角形某一条边的长度的一半,则其顶角的度数等 于 19、二次函数 。 的图象如图所示,点 A0 位于坐标原点,点 A1,A2,A3,?,A2008 在 y 轴 位于第一象限的图象上,若△A0B1A1,

的正半轴上,点 B1,B2,B3,?,B2008 在二次函数

△A1B2A2,△A2B3A3,?,△A2007B2008A2008 都为等边三角形,则△A2007B2008A2008 的边长= _________ .

20、已知实数 x, y 满足方程组 ?

? x3 ? y3 ? 19, ? x ? y ? 1,

则x ?y ?
2 2

. 23、如图,在△ABC 中,已知 AD⊥BC,BE⊥AC,AD 与 BE 相交于点 H,P 为边 AB 的中点, 过点 C 作 CQ⊥PH,垂足为 Q,求证: PE ? PH ? PQ 。
2

三、解答题
2 21、对于 x 的二次三项式 ax ? bx ? c ( a ? 0 )。

(1)当 c ? 0 时,求函数 y ? ?2 | ax ? bx ? c | ?1 的最大值;
2

(2)若不论 k 为任何实数,直线 y ? k ( x ? 1) ?

k2 2 与抛物线 y ? ax ? bx ? c 有且只有一个公 4
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24、如图, AB 是⊙O 的直径,过点 B 作⊙O 的切线 BM ,点 P 在右半圆上移动 点 P 与点 A 、 B 不重合) ,过点 P 作 PC ⊥ AB ,垂足为 C ;点 Q 在射线 BM 上移动(点 M 在点 B 的右边) ,且在移动过程中保持 OQ ∥ AP . (1)若 PC 、 QO 的延长线相交于点 E ,判断是否存在点 P ,使得点 E 恰好在⊙O 上? 若存在,求出 ?APC 的大小;若不存在,请说明理由; (2)连结 AQ 交 PC 于点 F ,设 k ? 论. E C . O F P 26、如图:直线 y ? ? x ? 18 分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点;直线 y ? 2 x 分别与 AB 交于 C 点,与过点 A 且平行于 y 轴的直线交于 D 点.点 E 从点 A 出发,以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴 向左运动, 过点 E 作 x 轴的垂线, 分别交直线 AB、 于 P、 , PQ 为边向右作正方形 PQMN, OD Q 以 设正方形 PQMN 与 ?ACD 重叠部分(阴影部分)的面积为 S(平方单位) ,点 E 的运动时间为 t (秒) (1)当 0 ﹤t﹤12 时,求 S 与 t 之间的函数关系式; . (2)求(1)中 S 的最大值; (3)当 t ﹥0 时,若点 ?10,10? 落在正方形 PQMN 的内部,求 t 的取值范围.

PF ,试问: k 的值是否随点 P 的移动而变化?证明你的结 PC A

B
(第 23 题图)

Q M

25、 如图, 已知圆内接四边形 ABCD 的对角线 AC、 交于点 N, M?在对角线 BD 上, BD 点 且满足∠BAM= ∠DAN,∠BCM=∠DCN. 求证: (1)M 为 BD 的中点; (2)

27、定义:在平面内,我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量。平面向量可以用有向线段表 示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向。其中大小相等,方向相

AN AM ? . CN CM

同的向量叫做相等向量。 如以正方形 ABCD 的四个顶点中某一点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出 8 个不同 的向量: AB 、 BA 、 AC 、 CA 、 AD 、 DA 、 BD 、 DB (由于 AB 和 DC 是相等向量,因此 只算一个) 。
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⑴ 作两个相邻的正方形(如图一)。以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以 作出不同向量的个数记为 f ( 2) ,试求 f ( 2) 的值;

图一 ⑵ 作 n 个相邻的正方形(如图二)“一字型”排开。以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为 终点作向量,可以作出不同向量的个数记为 f (n) ,试求 f (n) 的值; 29、已知二次函数 y ? x 2 ? bx ? c 错误!未找到引用源。的图象经过两点 P (1, a ) ,Q (2,10a) . (1)如果 a , b, c 都是整数,且 c ? b ? 8a ,求 a , b, c 的值. 共 n 个正方形 ⑶ 作 2 ? 3 个相邻的正方形(如图三)排开。以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向 量, 可以作出不同向量的个数记为 f (2 ? 3) ,试求 f (2 ? 3) 的值; 图 ⑷ 作 m? n 个相邻的正方形(如图四)排开。以其中的一个顶点为起 点, 另一个顶点为终点作向量, 可以作出不同向量的个数记为 f (m ? n) , 试求 f (m ? n) 的值。 共 m 个 正 方 形 相 连 (2)设二次函数 y ? x 2 ? bx ? c 错误!未找到引用源。的图象与 x 轴的交点为 A、B,与 y 轴的 交点为 C.错误!未找到引用源。如果关于 x 的方程 x ? bx ? c ? 0 的两个根都是整数,求△ABC
2

?

的面积.

共 n 个正方形相连 28、 某房地产开发公司计划建 A、 两种户型的住房共 80 套, B 该公司所筹资金不少于 2 090 万元, 但不超过 2 096 万元,且所筹资金全部用于建房,两种户型的建房成本和售价如下表: A B 28 成本(万元/套) 25 34 售价(万元/套) 30 (1)该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案? (2)该公司如何建房获得利润最大? (3)根据市场调查,每套 B 型住房的售价不会改变,每套 A 型住房的售价将会提高 a 万元(a >0) ,且所建的两种住房可全部售出,该公司又将如何建房获得利润最大? 注:利润=售价﹣成本.
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