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2.1.2指数函数及其性质(1)


2.1.2指数函数及其性质
(第一课时)

一、问题引入

问题一:我是计算机病毒,我的传播速度很快,我 可以由1个分裂成2个,由2个分裂成4个……我分 裂x次后得到的个数y与x之间的函数关系式是???

引入 细胞分裂过程 细胞个数 2=21 4=22 8=23

第一次
第二次 第三次 第 x次

表达式

y=2 ………… ……

x

2

x

细胞个数y关于分裂次数x的表达为

一、问题引入
问题二、比较下列指数的异同,能不能把它们看成函数值?

①、

2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ;
1 3

1 3

1 2

0

1

2

2

y?2
2 2

x

?1? ②、 ? ? ?2?

?1? ,? ? ?2?

1 2

?1? ,? ? ?2?

0

?1? ,? ? ? 2?

1

1? ?1? ?1? ? ,? ? ,? ? ; y ? ? ? ? 2? ? 2? ?2?

x

函数值??什 么函数?

一、问题引入
问题三、认真观察并回答下列问题: (1)、一张白纸对折一次得两层,对折两次得4层, 对折3次得8层,问若对折 x 次所得层数为y,则y与x 的 函数关系是:

y ? 2 ,( x ? N )
x

(2)、一根1米长的绳子从中间剪一次剩下 米,再从 1 中间剪一次剩下 米,若这条绳子剪x次剩下y米,则y与x 4 的函数关系是:

1 2

?1? y ? ? ? , (x ? N ) ?2?

x

二、新 课
前面我们从两列指数和三个实例抽象得到两个函数:

?1? y ? 2 与y ? ? ? 2? ? 1、定义:
x

x

这两个函数有 何特点?

函数y = ax(a?0,且a ?1)叫做指数函数, 其中x是自变量 .函数的定义域是R .
思考:为何规定a?0,且a?1?
? ?

0

1

a

二、新 课
思考:为何规定a?0,且a?1?
? ?

当a?0时,ax有些会没有意义,如(-2) 等都没有意义;

0

1

a

1 2

,0

?

1 2

而当a=1时,函数值y恒等于1,没有研究的必要.

▲关于指数函数的定义域:
回顾上一节的内容,我们发现指数 a p中p可以是有理数也可 以是无理数,所以指数函数的定义域是R。

练习:
一、下列函数中,那些是指数函数 (1)

y ? 4x
y ? ?4 x

(2)

y ? x4
y ? (?4) x
x2

(3)

(4)

(5)

y ??

?x

(6) y ? 4 (8)

(7)

y?x

x

y ? (2a ? 1)

x

1 (a ? 且a ? 1) 2

(1)、(5)、(8)为指数函数

用描点法作函数 y ? 2 和y ? 3 的图象 .
x x

函 数 图 象 特 征

x
y=2x y=3x




-3
1/8

-2
1/4 1/9

-1
1/2 1/3
x

0
1 1

1
2 3
x

2
4 9

3
8 27


… …

… 1/27

yy ?3

y?2

1
-3 -2 -1

o

1

2

3

x

函 数 图 象 特 征

1 x 1 x 用描点法作函数 y ? ( ) 和y ? ( ) 的图象 . 2 3
x … -3 -2 4 9
1 x y?( ) 3

-1 2 3 x

0 1 1

1

2

3



y=2-x … 8 y=3-x … 27
1 y ? ( )x 2

1/2 1/4 1/3 1/9

1/8 … 1/27 …

思考:若不用描点法, 这两个函数的图象又该

如何作出呢?

y=1
O x

1x y?( ) 1x 观察右边图象,回答下列问题: 3 y?( ) 2 问题一:

y=3x

y

y = 2x

图象分别在哪几个象限? Ⅰ、Ⅱ 答:四个图象都在第____象限
y=1

问题二: x O 图象的上升、下降与底数a有联系吗? 0< a<1 答:当底数__时图象上升;当底数____时图象下降. a>1 顺 底数a由大变小时函数图像在第一象限内按____ 时针方向旋转. 问题三: 图象中有哪些特殊的点?

(0,1) 答:四个图象都经过点____.

2.指数函数的图象和性质
a>1
y

0<a<1
y=ax (0<a<1) y=1
x 0

图 象
a>1 图 象 特 征

y=1 0

y=ax (a>1) (0,1)

y
(0,1) x

0<a<1

1.图象全在x轴上方,与x轴无限接近。 2.图象过定点(0,1) 3.自左向右图 3.自左向右图 象逐渐上升 象逐渐下降 4.图象分布在左 下和右上两个 区域内 4.图象分布在左 上和右下两个区 域内

a>1 0<a<1 1.定义域为R,值域为(0,+?). 性
2.当x=0时,y=1 3.在R上是增 3.在R上是减 函数 函数 4.当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1. 4.当x>0时, 0<y<1;当x<0 时, y>1.



例:已知指数函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且a ? 1)的图像经过点 (3, ? ) 求f (0), f (1), f (?3)的值

解: ? f ( x) ? a 的图像经过点 (3, ? )
x

? f (3) ? ? ,即a ? ? ? a ? ?
3

1 3

于是f ( x) ? ?
0

x 3

? f (0) ? ? ? 1, f (1) ? ? ? ? , f (?1) ? ?
3

1 3

?1

?

1

?

二、新 课
3、例 题: 例1、求下列函数的定义域:
①、 ③、

y?2

x ?1
x

2

②、

f ( x) ? 1? a
x?R

,(a ? 0, a ? 1)

?1? y ?? ? ? 3?

3? x

解、 ①

由 3 ? x ? 0,得 x ? 3 x ? (??,3] x x x 0 由 1a ? 0 ,得 a ? 1 即 a ? a ③ 当 a ? 1时,x ? 0,即x ? (??,0];


当 0 ? a ? 1时,x ? 0,即x ?[0, ??)

二、新 课
例2、比较下列各组数的大小:
2.5 3

?3? ?4? ①、 1.7 ,1.7 ②、 ? ? , ? ? ?4? ?3? 1 1 ③、 a 3 和a 2,(a ? 0, a ? 1) ④、 1.70.3 , 0.93.1
?1.72.5 ? 1.73

1 6

?

1 5

解:① 函数y ? 1.7 x 在(??, ??)是增函数, 又? 2.5 ? 3,

?4? ②、 ? ? ?3?

?

1 5

?3? ?? ? ?4?

1 5

?3? ?4? ?? ? ? ? ? ?4? ?3?

1 6

?

1 5

1 1 ? 3? 函数y ? ? ? 在R是减函数, 又? ? , 6 5 ? 4?

x

二、新 课
③、 解:

a 和a ,(a ? 0, a ? 1)
当a ? 1时,y ? a ③、
1 3
x

1 3

1 2

④、

1.70.3 , 0.93.1

1 1 ? ? ,? a ? a 3 2
1 3

是R上的增函数,
1 2

当0 ? a ? 1时,y ? a x是R上的减函数,

1 1 ? ? ,? a ? a 3 2
④、 ?1.7
0.3 0

1 2

? 1.7 ? 1而0.9 ? 0.9 ? 1, ?1.70.3 ? 0.93.1
3.1 0

小结
比较指数大小的方法:

①、构造函数法:要点是利用函数的单调性,数的特征是 同底不同指(包括可以化为同底的),若底数是参变量要 注意分类讨论,即要对底数分a>1,0<a<1讨论。
②、搭桥比较法:用别的数如0或1做桥。数的特征是不同 底不同指数。 ③对多个数的大小进行比较时,解决的办法是先用“0”和 “1”作为分解点,即把它们分为小于0,大于0且小于1, 大于1三部分,然后再在各部分用指数函数的性质进行比较, 最后按大小顺序排列起来。

二、新 课
4、练习:
(1)、比较大小:
2.7

5? ? ①、1.01 与1.01 ②、 0.8 与 ? ? 3? 3 x ?1 ?2 x ? ?2? ? 2? (2)、设y1 ? ? ? ,y2 ? ? ? ,确定x为何指时,
3.5
?2

?

1 2

有(1) y1 ? y2; (2) y1 ? y2; (3) y1 ? y2
解、①、 ? y ? 1.01x 是R上的增函数, ?1.012.7 ? 1.013.5
1 2 1 2

?3?

? 3?

?5? ? 1, ? 0.8 ? ? ? ?3? x 1 ?2? (2)、由3 x ? 1 ? ?2 x得 x ? ? , y= ? ? 是R上的减函数, 5 ?3? 1 1 ①、 x ? ? 时,y1 ? y2; ②、 x ? ? 时,y1 ? y2;
?2 ?2

?5? ②、 0.8 ? 1而 ? ? ?3?

?

?

5

5

二、新 课
?2? (2)、设y1 ? ? ? ?3?
3 x ?1

有(1) y1 ? y2; (2) y1 ? y2; (3) y1 ? y2

? 2? ,y2 ? ? ? ? 3?

?2 x

,确定x为何指时,

变式训练: 题(2)中,若把 3 改为a可不可以?若把条件和结论 互换可不可以?

1 ③、 x ? ? 时,y1 ? y2; 5 2

1、设y1 ? a3 x?1,y2 ? a ?2 x,试确定x为何值时,有 (1) y1 ? y2; (2) y1 ? y2; (3) y1 ? y2

?2? 2、解不等式: ? ? ?3?

3 x ?1

? 2? ?? ? ? 3?

?2 x

三、小结

1、指数函数概念;
函数y = ax(a?0,且a ?1)叫做指数函数, 其中x是自变量 .函数的定义域是R .

2、指数比较大小的方法;
①、构造函数法:要点是利用函数的单调性,数的特 征是同底不同指(包括可以化为同底的),若底数是 参变量要注意分类讨论。 ②、搭桥比较法:用别的数如0或1做桥。数的特 征是不同底不同指。

3、指数函数的性质:
(1)定义域: (2)函数的特殊值: (3)函数的单调性: 值 域:

◆方法指导:利用函数图像研究函数性质是一种直观而
形象的方法,记忆指数函数性质时可以联想它的图像;

3.指数函数的图象和性质
a>1
y

0<a<1
y=ax (0<a<1) y=1
x 0

图 象
a>1 图

y=1 0

y=ax (a>1) (0,1)

y
(0,1) x

0<a<1

1.图象全在x轴上方,与x轴无限接近. 2.图象过定点(0,1) 3.自左向右图 3.自左向右图 象逐渐上升 象逐渐下降 4.图象分布在左 下和右上两个 区域内 4.图象分布在左 上和右下两个区 域内 性

a>1 0<a<1 1.定义域为R,值域为(0,+?). 2.当x=0时,y=1 3.在R上是增 3.在R上是减 函数 函数 4.当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1. 4.当x>0时, 0<y<1;当x<0 时, y>1.








四、作业

? P59,习题2.1A组5、7。


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