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高考数学易错题训练:2函数导数


2 函数和导数
1. 设 ?、? 是方程 x ? 2kx ? k ? 6 ? 0 的两个实根, 则 (? ? 1) 2 ? ( ? ? 1) 2 的最小值是
2



)A、 ?

49 4

B、 8

C、 18

D、不存在

2.若 函数 f ( x) ?

k ? 2x (a为常数) 在定义域上为奇函数,则 k的值为 ( 1? k ? 2x



A. 1 B. ? 1 C. ? 1 D. 0 3.定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,且在[-1,0]上单调递增,设

a ? f (3) , b ? f ( 2 ) , c ? f (2) ,则 a, b, c 大小关系是(
A. a ? b ? c B. a ? c ? b
2 x 2 ?5 x ? b

) D. c ? b ? a

C. b ? c ? a
x 2 ? x ?6

?1? 4.设函数 f ( x) ? ? ? ?2?
A. b ? 12

?1? , g ( x) ? ? ? ?2?

,若

f ( x) ? g ( x) 对于任意
D. b ? 15 . . 。

实数 x 恒成立,则实数 b 的取值范围是( B. b ? 12

) C. b ? 15

5.已知函数 f ( x ) 的定义域为[0,1],则函数 f ( x ? 1) 的定义域 6.求函数 y ? f ( x) ? x2 ? 4 x ? 6 , x ? [1,5) 的值域 7.函数 f ? x ? ? log a ax
2

?x

在 ? 2, 4? 上是增函数 a 的取值范围

8.判断函数 f ( x) ? (1 ? x)

1? x 是_____________函数。 (奇偶性). 1? x

9.函数 y= 5 ? 4x ? x 2 的单调增区间是_________ 10.已知 y ? loga (2 ? ax) 在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是 11.函数 f ( x) ?

lg ?1 ? x 2 ? x?2 ?2

是_____________函数。 (填“奇” 、 “偶” )

12.是否存在这样的实 数 k,使得关于 x 的方程 x +(2k-3) x -(3k-1)=0 有两 个实数根,且两根都在 0 与 2 之间?如果有,试确定 k 的取值范围;如果没有,试说明 理由.
2

13.已知曲线 S : y ? ?

2 3 x ? x 2 ? 4 x 及点 P(0,0) ,求过点 P 的曲线 S 的切线方程. 3

[来源:Z.xx.k.Com]

14.已知函数 f ? x ? ? lg ? m ? 3m ? 2 x ? 2 ? m ? 1? x ? 5? (1)如果函数 f ? x ? 的定
2 2

??

?

?

义域为 R 求实数 m 的取值范围。 (2)如果函数 f ? x ? 的值域为 R 求实数 m 的取值范围。

函数和导数答案
1. 设 ?、? 是方程 x ? 2kx ? k ? 6 ? 0 的两个实根, 则 (? ? 1) 2 ? ( ? ? 1) 2 的最小值是
2

A、 ?

49 4

B、 8

C、 18

D、不存在

【答案】B 【解析】 【错解分析】利用一元二次方程根与系 数的关系易得: ? ? ? ? 2k ,?? ? k ? 6,

? (? ? 1)2 ? ( ? ? 1)2 ? ? 2 ? 2? ? 1 ? ? 2 ? 2? ? 1 ? (? ? ? )2 ? 2?? ? 2(? ? ? ) ? 2 3 49 ? 4(k ? )2 ? . 4 4
故选 A 【正解】利用一元二次方程根与系数的关系易得: ? ? ? ? 2k ,?? ? k ? 6,

? (? ? 1)2 ? ( ? ? 1)2 ? ? 2 ? 2? ? 1 ? ? 2 ? 2? ? 1 ? (? ? ? )2 ? 2?? ? 2(? ? ? ) ? 2 3 49 ? 4(k ? )2 ? . 4 4
∴ ? ? 4k 2 ? 4(k ? 6) ? 0 ? ? 原方程有两个实根 ?、? ,
2 2 当 k ? 3 时, (? ? 1) ? ( ? ? 1) 的最小值是 8; 2 2 当 k ? ?2 时, (? ? 1) ? ( ? ? 1) 的最小值是 18。

k ? ?2 或 k ? 3.

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

故选 B。 【点评】有的学生一看到 ?

49 ,常受选择答案(A)的诱惑,盲从附和。这正是思维缺 4

乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别, 就能从中选出正确答案。 2.若函数 f ( x) ?

k ? 2x (a为常数) 在定义域上为奇函数,则 k的值为 ( 1? k ? 2x



A. 1 B. ? 1 C. ? 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【错解分析】此题容易错选为 A,错误原因是直接利用了 f (0) ? 0 ,万万不可。

k ? 2x k ? 2? x ? 【正解】利用定义: f (? x) ? f ( x) ? 0 , f ( x) ? f (? x) ? 1 ? k ? 2 x 1 ? k ? 2? x
2x 2 2x 化简得 f ? x ? ? f ? ? x ? ? 1 ? 2 k ? 2 ? 1 ? 0

?

?

因为 1 ? 2 >0
2x

所以 k ? 1 ? 0
2

k ? ?1 ,故选 C
【点评】对于一个函数在定义域范围内关于原点( 0 , 0)对称、对任意的 x 都满足

f ? ?x ? ? ? f ? x ? ,解题时一定要注意奇函数性质成立的条件必须是在定义域范围内,
同时本题的计算有点复杂,要注意把 2 看做一个整体求解。 3.定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,且在[-1,0]上单调递增,设
x

a ? f (3) , b ? f ( 2 ) , c ? f (2) ,则 a, b, c 大小关系是(
A. a ? b ? c 【答案】D 【解析】 B. a ? c ? b C. b ? c ? a

) D. c ? b ? a

【错解分析】此题常见错误 A、B,错误原因对 f ( x ? 1) ? ? f ( x) 这样的条件认识不充 分,忽略了函数的周期性。 【正解】解:由条件 f(x+1)=-f( x) ,可以得: f(x+2)=f( (x+1)+1)=-f(x+1) =f(x) ,所以 f(x)是个周期函数.周期为 2.又因为 f(x)是偶函数,所以图象在 [0,1]上是减函数. a=f(3)=f(1+2)=f(1) ,b=f()=f( 2 -2) =f(2- 2 )=f(2)=f(0) 所以 a<b<c 故选 D 【点评】由 f ( x ? 1) ? ? f ( x) 可得, f ( x) 是周期为 2 的函数。利用周期性 a, b, c 转化 为[-1,0]的函数值,再利用单调性比较.

?1? 4.设函数 f ( x) ? ? ? ?2?
A. b ? 12 【答案】D 【解析】

2 x 2 ?5 x ? b

?1? , g ( x) ? ? ? ?2?

x 2 ? x ?6

,若

f ( x) ? g ( x) 对于任意
D. b ? 15

实数 x 恒成立,则实数 b 的取值范围是( B. b ? 12

) C. b ? 15

【错解分析】此题容易错选为 B,错误原因是没有注意 y ? ( ) 是单调减函数。
x

1 2

?1? ? ? 【正解】由 f ( x) ? g ( x) 即 ? 2 ?

2 x 2 ?5 x ? b

?1? ?? ? ?2?

x2 ? x?6
2 2 可得 2 x ? 5x ? b ? x ? x ? 6

2 即 x ? 6 x ? b ? 6 ? 0 恒成立,由 ? ? 36 ? 4(b ? 6) ? 0 ,解得 b ? 15 。

【点评】指数大小比较,当底数大于 1 时,指数越大,幂越大;当底数小于 1 大于 0 时, 指数越小,幂越大当底数为负数时,要把负数提到外面,再比较大小。

5.已知函数 f ( x ) 的定义域为[0,1],则函数 f ( x ? 1) 的定义域



【答案】[-1,0] 【解析】

?1 ? x ? 1 ? 2 ∴ f ( x ? 1) 【错解分析】 由于函数 f ( x ) 的定义域为[0, 1], 即 0 ? x ? 1,
的定义域是[1,2] 【正解】由于函数 f ( x ) 的定义域为[0,1],即 0 ? x ? 1 ∴ f ( x ? 1) 满足

? 0 ? x ? 1 ? 1 , ?1 ? x ? 0 ,
∴ f ( x ? 1) 的定义域是[-1,0] 【点评】对函数定义域理解不透,不明白 f ( x ) 与 f (u ( x)) 定义域之间的区别与联系, 其实在这里只要明白: f ( x ) 中 x 取值的范围与 f (u ( x)) 中式子 u ( x) 的取值范围一致就 好了. 6.求函数 y ? f ( x) ? x2 ? 4 x ? 6 , x ? [1,5) 的值域 【答案】 ?211 ,? 【解析】 【错解分析】 .

f (1) ? 12 ? 4 ?1 ? 6 ? 3, f (5) ? 52 ? 4 ? 5 ? 6 ? 11 又 x ? [1,5) ,

? f ( x) 的值域是 ?311 ,?
【正解】配方,得 y ? f ( x) ? x ? 4x ? 6 ? ( x ? 2) ? 2
2 2

∵ x ? [1,5) ,对称轴是 x ? 2 ∴当 x ? 2 时,函数取最小值为 f (2) ? 2,

f ( x) ? f (5) ? 11 ? f ( x) 的值域是 ?211 ,?
【点评】对函数定义中,输入定义域中每一个 x 值都有唯一的 y 值与之对应,错误地理 解为 x 的两端点时函数值就是 y 的取值范围了. 7.函数 f ? x ? ? log a ax
2

?x

在 ? 2, 4? 上是增函数 a 的取值范围
2



【答案】存在实数 a>1 使得函数 f ? x ? ? log a ax

?x

在 ? 2, 4? 上是增函数

【解析】 【错解分析】本题主要考查对数函数的单调性及复合函数的单调性判断方法,在解题过 程中易忽略对数函数的真数大于零这个限制条件而导致 a 的范围扩大。 【正解】 函数 f ? x ? 是由 ? ? x ? ? ax ? x 和 y ? loga
2

? ? x?

复合而成的, 根据复合函数的单

调性的判断方法

[来源:Z*xx*k.Com]

(1)当 a>1 时,若使 f ? x ? ? log a ax

2

?x

在 ? 2, 4? 上是增函数,则 ? ? x ? ? ax ? x 在 ? 2, 4?
2

?1 ? ?2 上是增函数且大于零。故有 ? 2a 解得 a>1。 ?? ? 2 ? ? 4a ? 2 ? 0 ?
(2)当 a<1 时若使 f ? x ? ? log a ax
2

?x

在 ? 2, 4? 上是增函数,则 ? ? x ? ? ax2 ? x 在 ? 2, 4? 上

?1 ? ?4 是减函数且大于零。 ? 2a 不等式组无解。 ?? ? 4 ? ? 16a ? 4 ? 0 ?
综上所述存在实数 a>1 使得函数 f ? x ? ? log a ax
2

[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

?x

在 ? 2, 4? 上是增函数

【点评】要熟练掌握常用初等函数的单调性如:一次函数的单调性取决于一次项系数的 符号,二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置,指数函数、对数函 数的单调性决定于其底数的范围(大于 1 还是小于 1) ,特别在解决涉及指、对复合函 数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想(对数型函数还要注意定义域的限制) 。 8.判断函数 f ( x) ? (1 ? x)

1? x 是_____________函数。 (填“奇” 、 “偶” ). 1? x

【答案】既不是奇函数也不是偶函数 【解析】 【错解分析】∵ f ( x) ? (1 ? x)

1? x 1? x = (1 ? x)2 ? 1 ? x 2 1? x 1? x

2 2 ∴ f ( ? x) ? 1 ? ( ? x) ? 1 ? x ? f ( x)

∴ f ( x) ? (1 ? x)

1? x 是偶函数 1? x
1? x 1? x ? 0 ? ?1 ? x ? 1 有意义时必须满足 1? x 1? x

【正解】 f ( x) ? (1 ? x)

即函数的定义域是{ x | ?1 ? x ? 1 } , 由于定义域不关于原点对称,所以该函数既不是奇函数也不是偶函数 【点评】对函数奇偶性定义实质理解不全面.对定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x), f(-x)=-f(x)的实质是:函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件. 9.函数 y= 5 ? 4x ? x 2 的单调增区间是_________ 【答案】 [?5, ?2] 【解析】
2 【错解分析】因为函数 g ( x) ? 5 ? 4x ? x 的对称轴是 x ? ?2 ,图像是抛物 线,开口向

下, 由图可知 g ( x) ? 5 ? 4x ? x 在 (??, ?2] 上是增函数, 所以 y= 5 ? 4x ? x 2 的增区
2

间是 (??, ?2]

【正解】y= 5 ? 4x ? x 2 的定义域是 [?5,1] ,又 g ( x) ? 5 ? 4x ? x2 在区间 [?5, ?2] 上 增函数,在区间 [?2,1] 是减函数,所以 y= 5 ? 4x ? x 2 的增区间是 [?5, ?2] 【点评】在求单调性的过程中注意到了复合函数的单调性研究方法,但没有考虑到函数 的单调性只能在函数的定义域内来讨论, 从而忽视了函数的定义域, 导致了解题的错误. 10.已知 y ? loga (2 ? ax) 在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是 【答案】1< a <2 【解析】 【错解分析】∵ y ? loga (2 ? ax) 是由 y ? loga u , u ? 2 ? ax 复合而成,又 a >0 ∴ u ? 2 ? ax 在[0,1]上是 x 的减函数,由复合函数关系知 y ? loga u 应为增函数, ∴ a >1 【正解】∵ y ? loga (2 ? ax) 是由 y ? loga u , u ? 2 ? ax 复合而成,又 a >0 ∴ u ? 2 ? ax 在[0,1]上是 x 的减函数,由复合函数关系知 y ? loga u 应为增函数, ∴ a >1 又由于 x 在[0,1]上时 y ? loga (2 ? ax) 有意义, u ? 2 ? ax 又是减函数, ∴ x =1 时, u ? 2 ? ax 取最小值是 u min ? 2 ? a >0 即可,∴ a <2 综上可知所求的取值范围是 1< a <2 【点评】解题中虽然 考虑了对数函数与一次函数复合关系,却忽视了数定义域的限制, 单调区间应是定义域的某个子区间,即函数应在[0,1]上有意义. 11.函数 f ( x) ?

lg ?1 ? x 2 ? x?2 ?2

是_____________函数。 (填“奇” 、 “偶” )

【答案】奇 【解析】 【错解分析】此题常犯的错误是不考虑定义域,而按如下步骤求 解:

f (? x) ?

l g? 1 ? x2 ? x?2 ?2

? f ? x ? 从而得出函数 f ? x ? 为非奇非偶函数的错误结论。

2 ? ?1 ? x ? 0 【正解】由函数的解析式知 x 满足 ? 即函数的定义域为 ? ?1,0? ? ? x ? 2 ? ?2

? 0,1? 定义

域关于原点对称,在定义域下 f ? x ? ?

lg ?1 ? x 2 ? ?x

易证 f ? ? x? ? ? f ? x? 即函数为奇函

数。 【点评】 (1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件,因此 在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。 12.是否存在这样的实数 k,使得关于 x 的方程 x +(2k-3) x -(3k-1)=0 有两个 实数根,且两根都在 0 与 2 之间?如果有,试确定 k 的取值范围;如果没有,试说明理
2

由. 【答案】不存在 【解析】 【错解分析】令 f ( x) ? x2 ? (2k ? 3) x ? (3k ?1) 那么由条件得到

?? ? (2k ? 3) 2 ? 4(3k ? 1) ? 0 ? 即此不等式无解即不存在满足条件的 k 值. ? f (0) ? 1 ? 3k ? 0 ? f (2) ? 4 ? 2(2k ? 3) ? (3k ? 1) ? 0 ?
【正解】令 f ( x) ? x2 ? (2k ? 3) x ? (3k ?1) 那么由条件得到

? 4k 2 ? 5 ? 0 ?? ? (2k ? 3)2 ? 4(3k ? 1) ? 0 ? ? ?k ? 1 f (0) ? 1 ? 3 k ? 0 ? ? ? 3 ? f (2) ? 4 ? 2(2k ? 3) ? (3k ? 1) ? 0 即 ? ?k ? 1 ? ?3 ?0 ? 2k ? 3 ? 2 7 ? ? ?k? ? 2 ?2 2
此不等式无解即不存在满足条件的 k 值. 【点评】方程两根都在 0 与 2 之间,根据图像,可知除满足上述条件外,还要考虑二次 函数的对称 轴在区间(0,2)内.

2 3 x ? x 2 ? 4 x 及点 P(0,0) ,求过点 P 的曲线 S 的切线方程. 3 35 x. 【答案】 y ? 4 x 或 y ? 8
13.已知曲线 S : y ? ? 【解析】
[来源:Z|xx|k.Com]

【错解分析】 y? ? ?2 x 2 ? 2 x ? 4 ,? 过点 P 的切线斜率 k ? y?

x?0

? 4 ,? 过点 P 的

曲线 S 的切线方程为 y ? 4 x .曲线在某点处的切线斜率是该曲线 对应的函数在该点处 的导数值,这是导数的几何意义.在此题中,点 P 凑巧在曲线 S 上,求过点 P 的切线方 程,却并非说切点就是点 P ,上述解法对求过点 P 的切线方程和求曲线在点 P 处的切 线方程,认识不到位,发生了混淆. 【正解】设过点 P 的切线与曲线 S 切于点 Q( x0 , y0 ) ,则过点 P 的曲线 S 的切线斜率

k ? y?

x ? x0

? ?2 x0 ? 2 x0 ? 4 ,又 k PQ ?

2

y0 y 2 ,? ?2 x0 ? 2 x0 ? 4 ? 0 。① x0 x0

2 3 2 ? 点 Q 在曲线 S 上,? y 0 ? ? x0 ? x0 ? 4 x0 . ②, 3
②代入①得 ? 2 x0 ? 2 x 0 ? 4 ?
2

?

2 3 2 x0 ? x0 ? 4 x0 3 x0

4 3 2 x0 ? x0 ? 0 , 3 3 ? x0 ? 0 或 x 0 ? . 4
化简,得

若 x0 ? 0 ,则 k ? 4 ,过点 P 的切线方程为 y ? 4 x ;

3 35 35 x. ,则 k ? ,过点 P 的切线方程为 y ? 4 8 8 35 x. ? 过点 P 的曲线 S 的切线方程为 y ? 4 x 或 y ? 8
若 x0 ? 【点评】导数 f / ( x0 ) 的几何意义是曲线数 y ? f ( x) 在某点 x 0 处切线的斜率.所以求切 线的方程可通过求导数先得到斜率,再由切点利用点斜式方程得到,求过点 p(x0,y0) 的切线方程时,一要注意 p(x0,y0)是否在曲线上,二要注意该点可能是切点,也可 能不是切点,因而所求的切线方程可能不只有 1 条 14. 已知函数 f ? x ? ? lg ? m ? 3m ? 2 x ? 2 ? m ? 1? x ? 5?
2 2

??

?

?

(1)如果函数 f ? x ? 的定义域为 R 求实数 m 的取值范围。 (2)如果函数 f ? x ? 的值域为 R 求实数 m 的取值范围。 【答案】 (1) m ? 1 或 m ? (2) 2 ? m ? 【解析】 【错解分析】此题学生易忽视对 m ? 3m ? 2 是否为零的讨论,而导致思维不全面而漏
2

9 4

9 4

解。另一方面对两个问题中定义域为 R 和值域为 R 的含义理解不透彻导致错解 。 【 正 解 】( 1 ) 据 题 意 知 若 函 数 的 定 义 域 为 R 即 对 任 意 的 x 值

?m

2

? 3m ? 2 ? x 2 ? 2 ? m ? 1? x ? 5

?0











g ? x ? ? ? m 2 ? 3m ? 2 ? x 2 ? 2 ? m ? 1? x ? 5 ,当 m2 ? 3m ? 2 =0 时,即 m ? 1 或 2 。经
验证当 m ? 1 时适合,当 m2 ? 3m ? 2 ? 0 时,据二次函数知识若对任意 x 值函数值大于 零恒成立,只需 ?

? m 2 ? 3m ? 2 ? 0 ?? ? 0

解之得 m ? 1 或 m ?

9 综上所知 m 的取值范围为 4

m ? 1或 m ?

9 。 4

2 2 (2)如果函数 f ? x ? 的值域为 R 即对数的真数 m ? 3m ? 2 x ? 2 ? m ? 1? x ? 5 能取 2 2 2 到任意的正数,令 g ? x ? ? m ? 3m ? 2 x ? 2 ? m ? 1? x ? 5 当 m ? 3m ? 2 =0 时,即

?

?

?

?

m ? 1 或 2 。经验证当 m ? 2 时适合,当 m2 ? 3m ? 2 ? 0 时,据二次函数知识知要使的
函数值取得所有正值只需 ? 的取值范围是 2 ? m ?

? m 2 ? 3m ? 2 ? 0 ?? ? 0

解之得 2 ? m ?

9 综上可知满足题意的 m 4

9 。 4

【点评】对于二次型函数或二次型不等式若二次项系数含有字母,要注意对字母是否为 零进行讨论即函数是一次函数还是二次函数不等式是一次不等式还是二次不等式。 同时

通过本题的解析同学们要认真体会这种函数与不等式二者在解题中的结合要通过二者 的相互转化而获得解题的突破破口。 再者本题中函数的定义域和值域为 R 是两个不同的 概念,前者是对任意的自变量 x 的值函数值恒正,后者是函数值必须取遍所有的正值二 者有本质上的区别。


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