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北师大版高中数学必修5第一章 数列数列在日常经济生活中的应用习题2


§4

数列在日常经济生活中的应用
课后篇巩固探究 A组

1.现有 200 根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,则剩余钢管的根 数为( A.9 解析 : ∵ 200-190=10. 答案:B 2.银行一年定期的年利率为 r,三年定期的年利率为 q,为吸引长期资金,鼓励储户存三年定期 存款,则 q 的值应略大于( A. C.(1+r) -1
3 3

) B.10 C.19 D.29

<200,而满足

<200 时 ,n 可取的最大值为 19. 当 n=19 时 ,

=190, ∴

)

B. [(1+r) -1] D.r
3

解析:设储户存 a 元,存一年定期并自动转存,三年后的本利和为 a(1+r) 元.三年定期的本利和 为 a(1+3q)元.为鼓励储户存三年定期,则 a(1+3q)>a(1+r) ,即 q> [(1+r) -1]. 答案:B 3.某运输卡车从材料工地运送电线杆到 500 m 以外的公路,沿公路一侧每隔 50 m 埋一根电线 杆,又知每次最多只能运 3 根,要完成运载 20 根电线杆的任务,最佳方案是使运输卡车运行 ( ) B.14 600 m D.14 000 m A.11 700 m C.14 500 m
3 3

解析:由近往远运送,第一次运两根,以后每次运三根,这种运法最佳,由近往远运送,每次来回 行走的米数构成一个等差数列,记为{an},则 a1=1 100,d=300,n=7, 故 S7=7×1 100+ 答案:D 4.某林厂现在的森林木材存量是 1 800 万立方米,木材以每年 25%的增长率生长,而每年要砍伐 固定的木材量为 x 万立方米,为达到经两次砍伐后木材存量增加 50%的目标,则 x 的值是( A.40 B.45 C.50 D.55 解析:经过一次砍伐后,木材存量为 1 800(1+25%)-x=2 250-x; 经过两次砍伐后,木材存量为(2 250-x)×(1+25%)-x=2 812.5-2.25x. )

×300=14 000.

由题意应有 2 812.5-2.25x=1 800×(1+50%), 解得 x=50. 答案:C 5.一个卷筒纸,其内圆直径为 4 cm,外圆直径为 12 cm,一共卷了 60 层,若把各层都视为一个同 心圆,π 取 3.14,则这个卷筒纸的长度约为 m(精确到个位). 解析:∵纸的厚度相同,∴各层同心圆直径成等差数列.

∴l=π d1+π d2+?+π d60=60π ·
答案:15

=480π =1 507.2(cm)≈15(m).

6.一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存 2 kB,然后每 3 分钟自身复制一次,复制后 所占内存是原来的 2 倍,那么开机后
n
10 16

分,该病毒占据 64 MB(1 MB=2

10

kB).

解析:由题意可得每 3 分病毒占的内存容量构成一个等比数列,设病毒占据 64 MB 时自身复制 了 n 次,即 2×2 =64×2 =2 ,解得 n=15,从而复制的时间为 15×3=45(分). 答案:45 7.甲、乙两人于同一天分别携款 1 万元到银行储蓄,甲存 5 年定期储蓄,年利率为 2.88%,乙存 一年定期储蓄,年利率为 2.25%,并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄,按规定每次计息 时,储户须交纳 20%作为利息税.若存满五年后两人同时从银行中取出存款,则甲、乙所得利息 之差为 元. 解析:由已知甲所得本息和 a=10 000+10 000×2.88%×5×80%,而乙实际上年利率在去掉利息 税后为 ×2.25%,故乙所得本息和应为 b=10 000× 答案:219.01 8.某地区有荒山 2 200 亩,从 2015 年开始每年年初在荒山上植树造林,第一年植树 100 亩,以 后每一年比上一年多植树 50 亩(假定全部成活).则至少需要几年可将荒山全部绿化? 解设第 n 年植树造林 an 亩,数列{an}的前 n 项和为 Sn, 则数列{an}为等差数列,其中 a1=100,d=50, ,经计算 a-b≈219.01(元).

∴an=100+50×(n-1)=50(n+1), ∴Sn=na1+ =25(n2+3n),
要将荒山全部绿化,只要 Sn≥2 200, 即 25(n +3n)≥2 200,
2

d=100n+

×50

∴n2+3n-8×11≥0,得 n≥8,
故至少需要 8 年可将荒山全部绿化. 9. 导学号 33194026 为了加强环保建设,提高社会效益和经济效益,长沙市计划 用若干年更换一万辆燃油型公交车 ,每更换一辆新车 ,则淘汰一辆旧车,更换的新车为电力型 车和混合动力型车.今年年初投入了电力型公交车 128 辆,混合动力型公交车 400 辆,计划以后

电力型车每年的投入量比上一年增加 50%,混合动力型车每年比上一年多投入 a 辆. (1)求经过 n 年,该市被更换的公交车总数 S(n); (2)若该市计划用 7 年的时间完成全部更换,求 a 的最小值. 解(1)设 an,bn 分别为第 n 年投入的电力型公交车、 混合动力型公交车的数量,依题意知,数列{an} 是首项为 128,公比为 1+50%= 的等比数列,数列{bn}是首项为 400,公差为 a 的等差数列.

所以数列{an}的前 n 项和 Sn=

=256

,

数列{bn}的前 n 项和 Tn=400n+

a.

所以经过 n 年,该市更换的公交车总数

S(n)=Sn+Tn=256

+400n+

a.

(2)若用 7 年的时间完成全部更换, 则 S(7)≥10 000, 即 256

+400×7+

a≥10 000,

即 21a≥3 082,所以 a≥

.

又 a∈N+,所以 a 的最小值为 147. B组 1.通过测量知道,温度每降低 6 ℃,某电子元件的电子数目就减少一半.已知在零下 34 ℃时, 该电子元件的电子数目为 3 个,则在室温 27 ℃时,该元件的电子数目接近 A.860 个 B.1 730 个 C.3 072 个 D.3 900 个 ( )

解析:由题设知,该元件的电子数目变化为等比数列,且 a1=3,q=2,由 27-(-34)=61, =10 ,可得

a11=3·210=3 072,故选 C.
答案:C 2.现存入银行 8 万元,年利率为 2.50 %,若采用 1 年期自动转存业务,则 5 年末的本利和是( 万元. A.8×1.025
3

)

B.8×1.025

4

C.8×1.025 答案:C

5

D.8×1.025

6 5 5

解析:定期自动转存属于复利计算问题,5 年末的本利和为 8×(1+2.50%) =8×1.025 (万元). 3.某企业在 2016 年年初贷款 M 万元,年利率为 m,从该年年末开始,每年偿还的金额都是 a 万元, 并恰好在 10 年间还清,则 a 的值等于( A. B. )

C.

D.
9 8 10

解析:由已知条件和分期付款公式可得,a[(1+m) +(1+m) +?+(1+m)+1]=M(1+m) , 则 a= 答案:C 4.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,即根据商品的最低销售限价 a,最高销 售限价 b(b>a)以及实数 x(0<x<1)确定实际销售价格 c=a+x(b-a).这里,x 被称为乐观系数.经 验表明,最佳乐观系数 x 恰好使得(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项.据此可得,最佳乐观系数 x 的值等于 答案: 5.已知某火箭在点火第一秒通过的路程为 2 km,以后每秒通过的路程都增加 2 km,在达到离地 面 240 km 的高度时,火箭与飞船分离,则这一过程大约需要的时间是 列. 由求和公式得 na1+ 秒. 解析:设每一秒通过的路程依次为 a1,a2,a3,?,an,则数列{an}是首项 a1=2,公差 d=2 的等差数

.

.

=240,

即 2n+n(n-1)=240,解得 n=15. 答案:15 6.某企业进行技术改造,有两种方案,甲方案:一次性贷款 10 万元,第一年便可获利 1 万元,以 后每年比前一年增加 30%的利润;乙方案:每年贷款 1 万元,第一年可获利 1 万元,以后每年比前 一年增加 5 千元.两种方案使用期都是 10 年,到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都 按 年 息 5% 的 复 利 计 算 , 试 比 较 两 种 方 案 中 , 哪 种 纯 获 利 更 多 ?( 取 1.05 ≈1.629,1.3 ≈13.786,1.5 ≈57.665) 解①甲方案获利:1+(1+30%)+(1+30%) +?+(1+30%) = 银行贷款本息:10(1+5%) ≈16.29(万元),
10 2 9 10 10 10

≈42.62(万元),

故甲方案纯获利:42.62-16.29=26.33(万元).

②乙方案获利:1+(1+0.5)+(1+2×0.5)+?+(1+9×0.5)=10×1+

×0.5=32.5(万元),

银行本息和:1.05×[1+(1+5%)+(1+5%) +?+(1+5%) ]=1.05× 故乙方案纯获利:32.50-13.21=19.29(万元). 综上所述,甲方案纯获利更多. 7.

2

9

≈13.21(万元).

导学号 33194027 某企业在第 1 年年初购买一台价值为 120 万元的设备 M,M

的价值在使用过程中逐年减少.从第 2 年到第 6 年,每年年初 M 的价值比上年年初减少 10 万元; 从第 7 年开始,每年年初 M 的价值为上年年初的 75%. (1)求第 n 年年初设备 M 的价值 an 的表达式; (2)设 An= ,若 An 大于 80 万元,则 M 继续使用,否则须在第 n 年年初对 M 更新.证明:

须在第 9 年年初对设备 M 更新. (1)解当 n≤6 时,数列{an}是首项为 120,公差为-10 的等差数列,

an=120-10(n-1)=130-10n.
当 n≥7 时,数列{an}是以 a7 为首项, 为公比的等比数列,又 a7=70× ,

所以 an=70×

=70×

.

因此,第 n 年年初,M 的价值 an 的表达式为

an=

(2)证明设 Sn 表示数列{an}的前 n 项和,由等差及等比数列的求和公式得, 当 1≤n≤6 时,Sn=120n-5n(n-1),

An=120-5(n-1)=125-5n.
当 n≥7 时,Sn=S6+(a7+a8+?+an)

=570+70× ×4×

=780-210×

,

An=

.

易知{An}是递减数列, 又 A8=

=82 >80,

A9=

=76 <80,

所以须在第 9 年年初对设备 M 更新.


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