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高中数学必修一:1.3.1《单调性与最大(小)值》课件2


1.3 函数的基本性质 1.3.1 函数的单调性和最大(小)值 三、判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的 单调性的一般步骤: ①取值: 任取x1,x2∈D,且x1<x2; ②作差:f(x1)-f(x2); ③变形:(因式分解和配方等)乘积或商式; ④定号:(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); ⑤下结论:(即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性). 证明:函数 f ( x) ? 3x ? 2 在 ? ??, ??? 上是增函数. 证明:在区间 ? ??, ???上任取两个值 x1 , x2 且 x1 ? x2 取值 作差 化简 x1, x2 ? ? ??, ??? ,且 x1 ? x2 ? x2 ? x1 ? 0 判号 所以函数 f ( x) ? 3x ? 2 在区间上 ? ??, ??? 是增函数. 定论 2.求函数的最大(小)值应注意的问题是什么? 【提示】 (1)对于任意的x属于给定区间,都有 f(x)≤M成立,“任意”是说对给定区间的每一个值都 必须满足不等式. (2)最大值M必须是一个函数值,即它是值域中的一个元 素. 例如函数f(x)=-x2对任意的x∈R,都有f(x)≤1,但 f(x)的最大值不是1,因为1不属于f(x)的值域. 一个星级旅馆有150个标准房,经过一段时间的经营, 经理得到一些定价和住房率的数据如下: 房价(元) 160 140 120 100 住房率(%) 55 65 75 85 欲使每天的的营业额最高,应如何定价? x 解:根据已知数据,可假设该客房的最高价为160元 ,并假设在各价位之间,房价与住房率之间存在线 性关系.设 为旅馆一天的客房总收入, 为与房价 160相比降低的房价,因此当房价为(160-x)元时, 住房率为 于是得 x (55 ? 10)% 20 x 10)% ? 1 可知 0 ? x ? 90 由于 (55 ? 20 x y ? 150 (160 ? x) (55 ? 10)% 20 因此问题转化为:当0≤x≤90时,求 的最大值的问题. 将y的两边同除以一个常数0.75,得 y 1=-x2+50+17600. 由于二次函数y 1在x=25时取得最大值,可知y也在x=25 时取得最大值,此时房价定位应是160-25=135(元) ,相应的住房率为67.5%,最大住房总收入为13668.75 (元). 所以该客房定价应为135元.(当然为了便于管理,定 价140元也是比较合理的) (1)运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法,特别是当 函数图象不好作或作不出来时,单调性几乎成为首选方法. (2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a,b]上是减函数,则f(x)在[a,b]上的 最大值为f(a),最小值为f(b); ②若函数在闭区间[a,b]上是增函数,则f(x)在[a,b]上的 最大值为f(b),最小值为f(a). 利用单调性求函数的最值 x?2 ( x ? [2, 3]) 的最值. 求函数 y ? x ?1 解:函数 x ? 2 x ?1? 3 3 y? ? ?1? x ?1 x ?1 x ?1 设 2 ? x1 ? x2 ? 3 则 3 3 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 3( x2 ? x1 ) ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ∵2≤x1<x2≤3 ∴x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0 ∴f(x1

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