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D7-1向量及其线性运算_图文

第七章
空间解析几何与向量代数
第一部分 向量代数

第二部分

空间解析几何

在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 — 坐标, 方程(组) 基本方法 — 坐标法; 向量法

第一节 向量及其线性运算
一、向量的概念

第七章

二、向量的线性运算
三、向量在轴上的投影

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一、向量的概念
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).

表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a ,
向量的模 : 向量的大小, 单位向量: 模为 1 的向量, ?零向量: 模为 0 的向量,
M2 M1
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若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,
记作 a=b ; 自由向量: 与起点无关的向量.

若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, 记作
a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;

与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,
记作-a ; 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称

两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
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二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:

(a ? b) ? c a ? (b ? c)

c
b?c b

b a?b
三角形法则:

a
a?b b

a?b

a

运算规律 : 交换律

a?b ?b?a 结合律 ( a ? b ) ? c ? a ? ( b ? c ) ? a ? b ? c

a

三角形法则可推广到多个向量相加 .
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s ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 a4 a3 a5

s
a2 a1

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2. 向量的减法

a
三角不等式

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3. 数与向量的乘法(数乘) 规定 :

? ? 是一个数 , ? 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 ? a .

可见 ? ? ? ? 总之: ?a ? ? a 1 a ? a ; ? ? ? ? ? 运算律 : 结合律 ?( ? a ) ? ? (? a ) ? ? ? a ? 1 a ? ?a ; 分配律 ? ? ? ? ?(a ? b ) ? ? a ? ? b 1 ? ? ? ? ?? ? a . 因此 a ? a a 则有单位向量 a ? a ?
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例1. 设 M 为

ABCD 对角线的交点,

试用 a 与 b 表示 MA , MB , MC , MD .
解: a ? b ? AC

? ?2 MA ? ?2 MB
MB ? ? 1 (b ? a ) b 2
1 (b ? a ) 2

b ? a ? BD
? MA ? MC ? ?1 (a ? b) 2

D A M

C

1 (a ? b) 2

MD ?

a

B

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定理1. 设 a 为非零向量 , 则
a∥b 证: “ ”. 设 a∥b , 取 ?=± (? 为唯一实数)

, a , b 同向时

取正号, 反向时取负号, 则 b 与 ? a 同向, 且

?

? b

故 b ? ? a.
再证数 ? 的唯一性 . 设又有 b=? a , 则 (? ? ?) a ? 0

故 ? ? ? ? 0 , 即? ? ? .
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” 已知 b=? a , 则 b= 0 a , b 同向

a∥b

a , b 反向

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三、向量在轴上的投影 空间一点在轴上的投影
?

A
u

A?

过点A作垂直于u轴的平面,该平面与u轴的交点 A? 称为点在u轴上的投影

空间一向量在轴上的投影

B A

点O及单位向量 e

A?

B?

u 确定了u轴,向量 a=AB ,点A , B在u轴
上的投影分别为 A? B? 如果A'B'=λ e 则称 λ为 a 在u轴上的投影

记为Prju a =λ


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