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江苏省盐城市龙岗中学2017届高三(上)入学数学试卷(理科)(解析版).doc


2016-2017 学年江苏省盐城市龙岗中学高三(上)入学数学试卷(理科) 参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1.已知全集 U=R,集合 A={x|y=lg(x﹣1)},集合 B={y|y= +∞) . 【考点】交集及其运算. 【分析】求出 A 中 x 的范围确定出 A,求出 B 中 y 的范围确定出 B,找出 A 与 B 的交集即 可. 【解答】解:由 A 中 y=lg(x﹣1) ,得到 x﹣1>0, 解得:x>1,即 A=(1,+∞) , 由 B 中 y= 则 A∩B=[2,+∞) , 故答案为:[2,+∞) = ≥2,得到 B=[2,+∞) , },则 A∩B= [2,

2.不等式

>1 的解集是 (﹣1, ) .

【考点】指、对数不等式的解法.
2 【分析】不等式可化为 2x +x﹣1<0,求出解集即可.

【解答】解:∵不等式
2 ∴2x +x﹣1<0,

>1,

即(2x﹣1) (x+1)<0, 解得﹣1<x< ; 所以原不等式的解集为(﹣1, ) . 故答案为: (﹣1, ) .

3.已知复数 z 满足(1+2i3)z=1+2i(i 为虚数单位) ,则 z 共轭复数 等于 【考点】复数代数形式的乘除运算.



【分析】把已知等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,再由共轭复数的概念得 答案.
3 【解答】解:由(1+2i )z=1+2i,得



∴ 故答案为:

. .

4.设 x∈R,则“|x﹣2|<1”是“x2+x﹣2>0”的 充分不必要 条件. (填充分不必要、必要不 充分、充要条件、既不充分也不必要) 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【解答】解:由|x﹣2|<1 得﹣1<x﹣2<1,得 1<x<3,
2 由 x +x﹣2>0 得 x>1 或 x<﹣2,

则(1,3)?(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞) ,
2 故“|x﹣2|<1”是“x +x﹣2>0”的充分不必要条件,

故答案为:充分不必要

5.执行如图所示的程序框图,则输出 S 的值为

2 .

【考点】程序框图.

【分析】由程序框图求出前 5 次运行结果,得到该程序框图的运行得到的 S 的结果每四次 循环一次,由程序框图得需要输出 S 的值是第 2016 次的运行结果,由此能求出结果. 【解答】解:由程序框图得: 第 1 次运行时,k=1,S= 第 2 次运行时,k=2,S= =﹣3, =﹣ ,

第 3 次运行时,k=3,S=

= ,

第 4 次运行时,k=4,S=

=2,

第 5 次运行时,k=5,S= …

=﹣3,

第 2016 次运行时,k=2016,S=

=2,

∵k=2016≥2016, ∴结束运行,输出 S=2. 故答案为:2.

6.已知| |=4,| |=2,且 与 夹角为 120° ,则( +2 )?( + )= 12 . 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】求出 【解答】解: ,再将( +2 )?( + )展开计算即可. =4×2×cos120° =﹣4. =16﹣12+8=12.

∴( +2 )?( + )= 故答案为:12.

7.已知等比数列{an}中,各项都是正数,且 a1, 3+2 .

a3,2a2 成等差数列,则

的值为

【考点】等比数列的性质;等差数列的性质. 【分析】先根据等差中项的性质可知得 2×( )=a1+2a2,进而利用通项公式表示出

q2=1+2q,求得 q,然后把所求的式子利用等比数列的通项公式化简后,将 q 的值代入即可 求得答案. 【解答】解:依题意可得 2×(
2 即,a3=a1+2a2,整理得 q =1+2q,

)=a1+2a2,

求得 q=1±



∵各项都是正数, ∴q>0,q=1+ ∴ = , =q2=3+2 .

故答案为:3+2

8.已知函数 f(x)=sinx+2xf′( 【考点】导数的运算. 【分析】根据导数的求导公式,x= 【解答】解:∵f(x)=sinx+2xf′( ∴f′(x)=cosx+2f′( 令 x= 则 f′( ∴f′( , )=cos )= +2f′( , ) ,

) ,则 f′(

)= ﹣



即可得到结论. ) ,

)= +2f′(

) ,

故答案为:

9.tan70° +tan50° ﹣ 【考点】两角和与差的正切函数.

= ﹣



【分析】直接根据两角和正切公式的变形形式 tan(α+β) (1﹣tanαtanβ)=tanα+tanβ;整理 即可得到答案. +tan50° 【解答】解:因为:tan70° ﹣ =tan(70° +50° tan50° ) (1﹣tan70° )﹣ =﹣ =﹣ =﹣ tan50° (1﹣tan70° )﹣ + . . tan70° tan50° ﹣ tan70° tan50°

tan70° tan50°

tan70° tan50°

故答案为:﹣

10.若 x>0,y>0,且 2x+y=2,则 + 的最小值是 【考点】基本不等式. 【分析】由 + = ( + )×(2x+y)= (2+1+ 小值. 【解答】解:∵x>0,y>0,且 2x+y=2, ∴ + = ( + )×(2x+y)= (2+1+ 当 x=2﹣ ,y=2 ﹣2. ,

+



+ ) ,根据基本不等式即可求出最

+ )≥ (3+2

)= +

,当且仅

故 + 的最小值是 + 故答案为: + .

11.若圆 x2+y2=r2 过双曲线



=1 的右焦点 F,且圆与双曲线的渐近线在第一、四象

限的交点分别为 A、B,当四边形 OAFB 为菱形时,双曲线的离心率为 2 . 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】由题意,直线的一条渐近线方程斜率为 ,由此即可求出双曲线的离心率. ,

【解答】解:由题意,直线的一条渐近线方程斜率为

∴ = ∴e=

, =2,

故答案为:2.

12.已知函数 f(x)=

则方程 f(x)=ax 恰有两个不同实数根时,实数 a 的

取值范围是 [ , ) . 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程; 函数的零点与方程根的关系; 分段函数的应用. 【分析】由题意,方程 f(x)=ax 恰有两个不同实数根,等价于 y=f(x)与 y=ax 有 2 个交 点,又 a 表示直线 y=ax 的斜率,求出 a 的取值范围. 【解答】解:∵方程 f(x)=ax 恰有两个不同实数根, ∴y=f(x)与 y=ax 有 2 个交点, 又∵a 表示直线 y=ax 的斜率, ∴y′= , 设切点为(x0,y0) ,k= ∴切线方程为 y﹣y0= , (x﹣x0) ,

而切线过原点,∴y0=1,x0=e,k= , ∴直线 l1 的斜率为 , 又∵直线 l2 与 y= x+1 平行, ∴直线 l2 的斜率为 , ∴实数 a 的取值范围是[ , ) 故答案为:[ , ) .

13.已知 f(x)=x3﹣3x+m,若在区间[0,2]上任取三个数 a、b、c,均存在以 f(a) 、f(b) 、 f(c)为边长的三角形,则实数 m 的取值范围为 (6,+∞) . 【考点】函数的值.

【分析】三角形的边长为正数,而且任意两边之和大于第三边才能构成三角形,故只需求出 函数在区间[0,2]上的最小值与最大值,从而可得不等关系,即可求解.
3 2 【解答】解:f(x)=x ﹣3x+m,求导 f'(x)=3x ﹣3,由 f'(x)=0 得到 x=1 或者 x=﹣1,

又 x 在[0,2]内,∴函数 f(x)在区间(0,1)单调递减,在区间(1,2)单调递增, 则 f(x)min=f(1)=m﹣2,f(x)max=f(2)=m+2,f(0)=m. 在[0,2]上任取三个数 a,b,c,均存在以 f(a) ,f(b) ,f(c)为边的三角形, 三个不同的数 a,b,c 对应的 f(a) ,f(b) ,f(c)可以有两个相同. 由三角形两边之和大于第三边,可知最小边长的二倍必须大于最大边长. 由题意知,f(1)=﹣2+m>0…(1) , f(1)+f(1)>f(0) ,得到﹣4+2m>m…(2) , f(1)+f(1)>f(2) ,得到﹣4+2m>2+m…(3) , 由(1) (2) (3)得到 m>6 为所求. 故答案为: (6,+∞) .

14.设函数 f(x)=x( )x+
* (n∈N )的点,向量

,O 为坐标原点,An 为函数 y=f(x)图象上横坐标为 n

与向量 =(1,0)的夹角为 αn,则满足 tanα1+tanα2+…+tanαn<

的最大整数 n 的值为 2 . 【考点】数列的应用. 【分析】由题意, , ,代入

tanα1+tanα2+…+tanαn< ,构造函数,判断出符合条件的最大整数 n 的值 【解答】解: ∴ 即 函数 , 故最大整数 n 的值为 2. 故答案为:2. , , 为减函数, , , ,

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.已知向量 =( ,﹣sinx) , =(1,sinx+ (I)求 f(x)的最小正周期及值域; (2)已知△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,若 f(A)=0,a= △ABC 的周长. 【考点】三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算;余弦定理. 【分析】 (1)由向量和三角函数化简可得 f(x)=1+cos(2x+ (2)由(1)的结果和三角形的值易得 A= 周长. 【解答】解: (1)∵向量 =( ,﹣sinx) , =(1,sinx+ ∴f(x)= ? = ﹣sinx(sinx+ = ﹣ (1﹣cos2x)﹣ =1+cos(2x+ 周期为 T= cosx)= ﹣sin2x﹣ sin2x cosx) ,x∈R, ) ,可得值域和周期; ,bc=2,求 cosx) ,x∈R,函数 f(x)= ? .

,由余弦定理整体可得 b+c 的值,可得三角形

sinxcosx

sin2x=1+ cos2x﹣

) ,故函数的值域为[0,2], =π; )=0, ,

(2)∵在△ABC 中 f(A)=1+cos(2A+ ∴cos(2A+ 又 a= )=﹣1,即 2A+

=π,解得 A=

2 2 2 2 ,bc=2,∴3=b +c ﹣2bccosA=b +c ﹣bc

=(b+c)2﹣3bc=(b+c)2﹣6,解得 b+c=3, ∴△ABC 的周长为 a+b+c=3+ .

16.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,已知 AC⊥BC,BC=CC1,设 AB1 的中点为 D, B1C∩BC1=E. 求证: (1)DE∥平面 AA1C1C; (2)BC1⊥AB1.

【考点】直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质. 【分析】 (1)根据中位线定理得 DE∥AC,即证 DE∥平面 AA1C1C; (2)先由直三棱柱得出 CC1⊥平面 ABC,即证 AC⊥CC1;再证明 AC⊥平面 BCC1B1,即 证 BC1⊥AC;最后证明 BC1⊥平面 B1AC,即可证出 BC1⊥AB1. 【解答】证明: (1)根据题意,得; E 为 B1C 的中点,D 为 AB1 的中点,所以 DE∥AC; 又因为 DE?平面 AA1C1C,AC? 平面 AA1C1C, 所以 DE∥平面 AA1C1C; (2)因为棱柱 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱, 所以 CC1⊥平面 ABC, 因为 AC? 平面 ABC, 所以 AC⊥CC1; 又因为 AC⊥BC, CC1? 平面 BCC1B1, BC? 平面 BCC1B1, BC∩CC1=C, 所以 AC⊥平面 BCC1B1; 又因为 BC1? 平面 BCC1B1, 所以 BC1⊥AC; 因为 BC=CC1,所以矩形 BCC1B1 是正方形, 所以 BC1⊥平面 B1AC;

又因为 AB1? 平面 B1AC, 所以 BC1⊥AB1.

17.已知美国苹果公司生产某款 iphone 手机的年固定成本为 40 万美元,每生产 1 只还需另 投入 16 美元.设苹果公司一年内共生产该款 iphone 手机 x 万只并全部销售完,每万只的销

售收入为 R(x)万美元,且 R(x)=

(1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(万只)的函数解析式; (2)当年产量为多少万只时,苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最 大利润. 【考点】函数与方程的综合运用. 【分析】 (1)利用利润等于收入减去成本,可得分段函数解析式; (2)分段求出函数的最大值,比较可得结论. 【解答】解: (1)利用利润等于收入减去成本,可得
2 当 0<x≤40 时,W=xR(x)﹣(16x+40)=﹣6x +384x﹣40;当 x>40 时,W=xR(x)﹣

(16x+40)=

∴W=



2 2 (2)当 0<x≤40 时,W=﹣6x +384x﹣40=﹣6(x﹣32) +6104,∴x=32 时,Wmax=W(32)

=6104; 当 x>40 时,W= 当且仅当 ∵6104>5760 ∴x=32 时,W 的最大值为 6104 万美元. ≤﹣2 ,即 x=50 时,Wmax=W(50)=5760 +7360,

18.如图,设 F 是椭圆 点,与 y 轴交于点 P (1)若 =

+

=1 的下焦点,直线 y=kx﹣4(k>0)与椭圆相交于 A、B 两

,求 k 的值;

(2)求证:∠AFP=∠BF0; (3)求面积△ABF 的最大值.

【考点】椭圆的简单性质.

【分析】 (1)联立

2 2 ,得(3k +4)x ﹣24kx+36=0,由此利用韦达定理、根的判

别式、向量相等,结合已知条件能求出 k. (2)证明∠AFP=∠BFO,等价于证明等价于 kAF+kBF=0,由此能证明∠AFP=∠BFO. (3)S△ABF=S△PBF﹣S△PAF= 等式性质能求出△ABF 面积的最大值. = .令 t= ,利用基本不

【解答】解: (1)联立

2 2 ,得(3k +4)x ﹣24kx+36=0,

∵直线 y=kx﹣4(k>0)与椭圆相交于 A、B 两点,∴△=144(k ﹣4)>0,即 k>2 或 k <﹣2, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 ∵ ,∴x2=2x1, . , ,

2

代入上式,解得 k=

证明: (2)由图形得要证明∠AFP=∠BFO,等价于证明直线 AF 与直线 BF 的倾斜角互补, 即等价于 kAF+kBF=0, kAF+kBF= +

=

=2k﹣3(



=2k﹣

=2k﹣2k=0, ∴∠AFP=∠BFO. 解: (3)∵k>2 或 k<﹣2, ∴S△ABF=S△PBF﹣S△PAF= =

=


2 2 ,则 t>0,3k +4=3t +16,

令 t=

∴S△ABF=

=
2 ,即 t =

=



=



当且仅当 3t=

,k= .

取等号,

∴△ABF 面积的最大值为

19.已知正项数列{an},{bn}满足:对任意正整数 n,都有 an,bn,an+1 成等差数列,bn,an+1, bn+1 成等比数列,且 a1=10,a2=15. (Ⅰ)求证:数列 是等差数列;

(Ⅱ)求数列{an},{bn}的通项公式; (Ⅲ) 设 求实数 a 的取值范围. 【考点】等差数列与等比数列的综合;数列与不等式的综合. 【分析】 (Ⅰ)通过已知得到关于数列的项的两个等式,处理方程组得到 ,利用等差数列的定义得证 (Ⅱ)利用等差数列的通项公式求出 ,求出 bn,an. ,如果对任意正整数 n,不等式 恒成立,

(Ⅲ)先通过裂项求和的方法求出 Sn,代入

化简得到关于 n 的二次不等式

恒成立,构造新函数,通过对二次项系数的讨论求出函数的最大值,令最大值小于 0,求出 a 的范围.
2 【解答】解: (Ⅰ)由已知,得 2bn=an+an+1①,an+1 =bn?bn+1②.由②得 *

③.

将③代入①得,对任意 n≥2,n∈N ,有 即 ∴ 是等差数列. 的公差为 d, . . . , . .∴ . .



(Ⅱ)设数列

由 a1=10,a2=15.经计算,得 ∴ ∴ ∴

(Ⅲ)由(1)得

不等式

化为



2 即(a﹣1)n +(3a﹣6)n﹣8<0. 2 设 f(n)=(a﹣1)n +(3a﹣6)n﹣8,则 f(n)<0 对任意正整数 n 恒成立.

当 a﹣1>0,即 a>1 时,不满足条件; 当 a﹣1=0,即 a=1 时,满足条件; 当 a﹣1<0,即 a<1 时,f(n)的对称轴为 因此,只需 f(1)=4a﹣15<0.解得 综上,a≤1. ,∴a<1. ,f(n)关于 n 递减,

20.已知函数 f(x)=alnx﹣ax﹣3(a∈R) . (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 y=f(x)的图象在点(2,f(2) )处的切线的倾斜角为 45° ,对于任意的 t∈[1, 2],函数 g(x)=x3+x2(f'(x)+ )在区间(t,3)上总不是单调函数,求 m 的取值范围; (Ⅲ)求证: × × ×…× < (n≥2,n∈N ) .
*

【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数 f′(x) ;②解 f′(x)>0(或<0) ; ③得到函数的增区间(或减区间) , 对于本题的(1)在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数 a 的讨论情况; (2)点(2,f(2) )处的切线的倾斜角为 45° ,即切线斜率为 1,即 f'(2)=1,可求 a 值, 代入得 g(x)的解析式,由 t∈[1,2],且 g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数可知:

,于是可求 m 的范围.

(3)是近年来高考考查的热点问题,即与函数结合证明不等式问题,常用的解题思路是利 用前面的结论构造函数, 利用函数的单调性, 对于函数取单调区间上的正整数自变量 n 有某 些结论成立,进而解答出这类不等式问题的解. 【解答】解: (Ⅰ) 当 a>0 时,f(x)的单调增区间为(0,1],减区间为[1,+∞) ; 当 a<0 时,f(x)的单调增区间为[1,+∞) ,减区间为(0,1];

当 a=0 时,f(x)不是单调函数 (Ⅱ) ∴
2 ∴g'(x)=3x +(m+4)x﹣2

得 a=﹣2,f(x)=﹣2lnx+2x﹣3 ,

∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数,且 g′(0)=﹣2 ∴ 由题意知:对于任意的 t∈[1,2],g′(t)<0 恒成立,

所以有:

,∴

(Ⅲ)令 a=﹣1 此时 f(x)=﹣lnx+x﹣3,所以 f(1)=﹣2, 由(Ⅰ)知 f(x)=﹣lnx+x﹣3 在(1,+∞)上单调递增, ∴当 x∈(1,+∞)时 f(x)>f(1) ,即﹣lnx+x﹣1>0, ∴lnx<x﹣1 对一切 x∈(1,+∞)成立, ∵n≥2,n∈N*,则有 0<lnn<n﹣1, ∴ ∴

2016 年 12 月 11 日


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