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【创新设计】2015高考数学(四川专用,理科)二轮专题整合:1-6-2随机变量及其分布列

第2讲
一、选择题

随机变量及其分布列

1.(2014· 新课标全国卷Ⅱ)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良 的概率是 0.75,连续两天为优良的概率是 0.6,已知某天的空气质量为优良, 则随后一天的空气质量为优良的概率是 A.0.8 C.0.6 解析 B.0.75 D.0.45 已知连续两天为优良的概率是 0.6,那么在前一天空气质量为优良的前 ( ).

提下,要求随后一天的空气质量为优良的概率,可根据条件概率公式,得 P= 0.6 0.75=0.8. 答案 A

2.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球 3 次,一旦发球成 功,则停止发球.否则一直发到 3 次为止,设学生一次发球成功的概率为 p(p≠0), 发球次数为 X, 若 X 的数学期望 E(X)>1.75, 则 p 的取值范围是( 7? ? A.?0,12? ? ? 1? ? C.?0,2? ? ? 解析 X 的可能取值为 1,2,3, ?7 ? B.?12,1? ? ? ?1 ? D.?2,1? ? ? ).

∵P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p, P(X=3)=(1-p)2, ∴E(X)=p+2p(1-p)+3(1-p)2=p2-3p+3, 1 5 1 由 E(X)>1.75,即 p2-3p+3>1.75,得 p<2或 p>2(舍).∴0<p<2. 答案 C

3.(2014· 杭州模拟)在“石头、剪刀、布”的游戏中,规定:“石头赢剪刀”“剪 刀赢布”“布赢石头”.现有甲、乙两人玩这个游戏,共玩 3 局,每一局中每 人等可能地独立选择一种手势.设甲赢乙的局数为 ξ,则随机变量 ξ 的数学期

-1-

望是 1 A.3 2 C.3 解析 4 B.9 D.1

(

).

1 ξ 的可能取值 0,1,2,3.考查每一局的情况, 易知在每一局中甲赢的概率为3.

2 2 2 8 P(ξ=0)=3×3×3=27; 1 2 2 4 P(ξ=1)=3×3×3×3=9; 1 1 2 2 P(ξ=2)=3×3×3×3=9; 1 1 1 1 P(ξ=3)=3×3×3=27. 因此可求得期望 E(ξ)=1. 答案 D

3 4.(2014· 成都诊断)某人射击一次击中的概率为5,经过 3 次射击,此人至少有两 次击中目标的概率为 54 A.125 81 C.125 解析 27 B.125 108 D.125 该人 3 次射击,恰有两次击中目标的概率是 ( ).

?3?2 2 ?5? · , P1=C2 3· ? ? 5 ?3?3 ?5? . 三次全部击中目标的概率是 P2=C3 3· ? ? 所以此人至少有两次击中目标的概率是 ?3?3 81 2 ?3?2 2 ?5? · +C3 P=P1+P2=C3 · . 3?5? = ? ? 5 ? ? 125 答案 C

二、填空题 5.(2014· 绍兴质量调测)有一种游戏规则如下:口袋里有 5 个红球和 5 个黄球,一 次摸出 5 个,若颜色相同则得 100 分;若 4 个球颜色相同,另一个不同,则得
-2-

50 分,其他情况不得分.小张摸一次得分的期望是________分. 解析
1 2 2C4 5C5 ∵小张得 100 分的概率为C5 ,得 50 分的概率为 C5 ,∴小张得分的数 10 10

1 200+100C4 5C5 75 学期望为 E(X)= = 7 (分). C5 10

答案

75 7

6.(2014· 广安诊断)有三位同学过节日互赠礼物,每人准备一件礼物,先将礼物集 中在一个袋子中,每人从中随机抽取一件礼物,设恰好抽到自己准备的礼物的 人数为 ξ,则 ξ 的数学期望 E(ξ)=__________. 解析 ξ 的可能取值为 0,1,3,P(ξ=0)= 2×1 2 =6; 3×2×1

P(ξ=1)= 答案 1

3 3 1 1 2 3 1 =6;P(ξ=3)= =6;E(ξ)=0×6+1×6+3×6=1. 3×2×1 3×2×1

7.(2014· 金丽衢十二校联考)有甲、乙、丙三位同学,投篮命中的概率如下表: 同学 概率 甲 0.5 乙 a 丙 a

7 现请三位同学各投篮一次, 设 ξ 表示命中的次数, 若 E(ξ)=6, 则 a=__________. 解析 ξ 可取值 0,1,2,3.

P(ξ=0)=0.5×(1-a)×(1-a)=0.5(1-a)2; P(ξ=1)=0.5×(1-a)×(1-a)+2×0.5×a×(1-a)=0.5(1-a2); P(ξ=2)=0.5×a2+2×0.5×a×(1-a)=0.5a(2-a); P(ξ=3)=0.5×a×a=0.5a2. 7 ∴E(ξ)=P(ξ=0)×0+P(ξ=1)×1+P(ξ=2)×2+P(ξ=3)×3= . 6 7 1 即 0.5(1-a2)+a(2-a)+1.5a2=6,解得 a=3. 答案 1 3

8.袋中有大小、质地相同的 5 个球,2 白 3 黑,现从中摸球,规定:每次从袋中 随机摸取一球,若摸到的是白球,则将此球放回袋中,并再放同样的一个白球

-3-

入袋;若摸到的是黑球,则将球放回袋中,并再放同样的一个黑球入袋,连续 摸两次球且按规定操作后袋中白球的个数记为 X,则 X 的数学期望为 __________. 解析 首先,连续摸两次球且按规定操作后袋中白球的个数可能为 2,3,4.

3 4 2 P(X=2)=P(两次都摸到黑球)=5×6=5; 2 3 1 P(X=4)=P(两次都摸到白球)=5×6=5; 2 P(X=3)=1-P(X=2)-P(X=3)=5. X 的分布列为 X P 2 2 1 14 E(X)=2×5+3×5+4×5= 5 . 答案 14 5 2 2 5 3 2 5 4 1 5

三、解答题 9. (2014· 天津卷)某大学志愿者协会有 6 名男同学, 4 名女同学. 在这 10 名同学中, 3 名同学来自数学学院,其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个 学院.现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学,到希望小学进行支教活动(每位 同学被选到的可能性相同). (1)求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率; (2)设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数, 求随机变量 X 的分布列和数学期望. 解 (1)设“选出的 3 名同学是来自互不相同的学院”为事件 A,则
0 3 C1 C2 C7 49 3· 7+C3· =60. 3 C10

P(A)=

49 所以,选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率为60. (2)随机变量 X 的所有可能值为 0,1,2,3.
-k k C4 · C3 6 P(X=k)= C3 (k=0,1,2,3). 10

所以,随机变量 X 的分布列是
-4-

X P

0 1 6

1 1 2

2 3 10

3 1 30

1 1 3 1 6 随机变量 X 的数学期望 E(X)=0×6+1×2+2×10+3×30=5. 10.(2014· 益阳模拟)甲、乙、丙三名音乐爱好者参加某电视台举办的演唱技能海 选活动,在本次海选中有合格和不合格两个等级.若海选合格记 1 分,海选不 2 3 1 合格记 0 分.假设甲、乙、丙海选合格的概率分别为3,4,2,他们海选合格 与不合格是相互独立的. (1)求在这次海选中,这三名音乐爱好者至少有一名海选合格的概率; (2)记在这次海选中,甲、乙、丙三名音乐爱好者所得分之和为随机变量 ξ,求 随机变量 ξ 的分布列和数学期望 E(ξ). 解 (1)记“甲海选合格”为事件 A, “乙海选合格”为事件 B, “丙海选合格”

为事件 C,“甲、乙、丙至少有一名海选合格”为事件 E,则 P(E)=1-P( A B 1 1 1 23 C )=1-3×4×2=24.

(2)ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3. P(ξ=0)=P( A P(ξ=1)=P(A B B 1 C )=24; C )+P( A B C )+P( A 6 B C)=24;

11 P(ξ=2)=P(A B C)+P(A B C )+P( A BC)=24; 6 P(ξ=3)=P(ABC)=24. 所以 ξ 的分布列为 ξ P 0 1 24 1 6 24 2 11 24 3 6 24

1 6 11 6 23 E(ξ)=0×24+1×24+2×24+3×24=12. 11.(2014· 潍坊模拟)某次数学测验共有 10 道选择题,每道题共有四个选项,且其 中只有一个选项是正确的,评分标准规定:每选对 1 道题得 5 分,不选或选错

-5-

得 0 分.某考生每道题都选并能确定其中有 6 道题能选对,其余 4 道题无法确 定正确选项,但这 4 道题中有 2 道题能排除两个错误选项,另 2 道只能排除一 个错误选项,于是该生做这 4 道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个 选项做答,且各题做答互不影响. (1)求该考生本次测验选择题得 50 分的概率; (2)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望. 解 (1)设选对一道“能排除 2 个选项的题目”为事件 A,选对一道“能排除 1

1 1 个选项的题目”为事件 B,则 P(A)=2,P(B)=3. 该考生选择题得 50 分的概率为: ?1? ?1?2 1 ? ?= . P(A)· P(A)· P(B)· P(B)=?2?2· ? ? ?3? 36 (2)考生所得分数 X=30,35,40,45,50. 1? 1 ?1? ? ?1-3?2= ; P(X=30)=?2?2· ? ? ? ? 9 ?1?2 ?2?2 ?1?2 1 1 2 1 ? ? +? ? · P(X=35)=C1 C ··= ; 2?2? · ? ? ?3? ?2? 2 3 3 3 ?1? ?2?2 ?1?2 1 1 2 ?1?2 ?1?2 13 ?3? +C1 ?2? · ? ?= ; P(X=40)=?2?2· C · · +? ? · 2· ? ? ? ? ? ? 2 3 3 ?2? ?3? 36 ?1?2 ?1?2 ?1?2 1 1 2 1 ? ? +? ? · P(X=45)=C1 C ··= ; 2?2? · ? ? ?3? ?2? 2 3 3 6 ?1? ?1?2 1 ? ?= . P(X=50)=?2?2· ? ? ?3? 36 所以,该考生所得分数 X 的分布列为 X P 30 1 9 35 1 3 40 13 36 45 1 6 50 1 36

1 1 13 1 1 115 ∴E(X)=30×9+35×3+40×36+45×6+50×36= 3 .

-6-


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