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高二数学向量数量积的物理背景与定义


2.3.1 向量数量积的物 理背景与定义

复习回顾

1、若向量a=(x1,y1) ,b=(x2,y2) 则向量a+b=( x1 + x2 ,y1 + y2 ) y1 - y2 ) 向量a-b=(x1 - x2 ,
向量λa=( λ x1 ,λ y1)

2、若已知点A(x1,y1) , B(x2,y2)

y2- y1 ) 则向量AB=(x2 – x1 ,
3、向量a、b(b≠0)共线的充要

条件是什么? a =λb 若a= (x1,y1) b= (x2,y2) ,则共线的 充要条件是什么?x1 y2 - x2 y1=0

一.力做功的计算
θ

F

F θ S

O

位移S

A

如果一个物体在力F作用下产生位移S,那么F所 做的功为: W=│F││S│COSθ

θ表示力F的方向与位移S的方向的夹角。

二.两个向量的夹角
已知两个非零向量a、b, OA =a,OB = b. 则∠AOB称作向量a和向量b的夹角,

记作<a ,b>.
并规定0≤ <a ,b> ≤π

b
O

B

a
A

几点说明
(1)求两向量的夹角,应保证两个向量有公共起点,若没有,
须平移使它们有公共起点; (2)〈a ,b〉=〈b ,a〉;

b
O
B b O

B

(3)范围0≤〈a ,b〉≤π; (4)〈a ,b〉=0时, a、b同向;
O b B a A 〈a ,b〉=π时,a、b反向; B b O a A

a
A
a A

〈a ,b〉= 90°时, a ⊥b.

(5)规定:在讨论垂直问题时,零向量与任意向量垂直.

练习1 如图,等边三角形中,求 (1)AB与AC的夹角;

C

'

(2)AB与BC的夹角。 C

120
A

?

通过平移 变成共起点!

60

?

B

三.向量在轴上的正射影
(1)概念:
已知向量a和轴l,作 OA =a,过点O,A 分别作轴l的垂线,垂足分别为O1,A1,则 向量 O1 A1 叫做向量a在轴l上的正射影.
A

a
O x

A1 al

O1

l

(2)正射影的数量: 向量a的正射影在轴l上的坐标,称作a在

轴l上的数量或在轴l方向上的数量.
记作: al

向量a的方向与轴l的正方向所成的角为θ,
则有

al ? a cos?

几点说明
1. a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量是一个数
量,不是向量.

2. 当?为锐角时,数量为正值;
3. 当?为钝角时,数量为负值; 4. 当?为直角时,数量为0; 5. 当? = 0?时,数量为 |a|; 6. 当? = 180?时,数量为 ?|a|.
A2 a
O

a
x l

al

O 1 a l A1

例1.已知轴l
(1).向量︱OA︱=5, <OA, l>=60°, 求OA在l上的正射影的数量OA1
解:OA1=5COS600=5×( ?)=5/2

(2).向量︱OB︱=5, <OB,l >=120°, 求OB在l上的正射影的数量OB1

-5/2
(3)已知向量a, b ,向量|a|=4,<a, b>=600,则向量a在向量b上 的正射影的数量 解:4cos600=2

四.向量的数量积(内积)
定义: a b cos ? a, b ? 叫做向量a和b的数量 积(或内积) 记作:a· b. 即 a· b = a b cos ? a, b ?

几点说明
1.数量积a?b等于a的长度与b在a方向上正

射影的数量|b|cos?的乘积.
B

b
?
O

a ? b ? a ? b ? cos?
a
A

| b | cos?

2.两个向量的数量积是一个实数,符号由 cos〈a,b〉的符号所决定;而数乘向量是

一个向量。
B b

B b b

B

?
O

?
a

θ为锐角时, | b | cosθ>0

B1

A

B1

O

a A

? O( B1 ) a

A

θ为钝角时, | b | cosθ<0

θ为直角时, | b | cosθ=0

3.规定零向量与任意向 量的数量积为0

0?a ? 0

4. a ·b不能写成a×b ,a×b 表示向量的另一种运算.

两个向量的数量积的性质:

设a、b为两个非零向量,e是与b的单位向量.
1. e?a = a?e =|a|cos?;

2. a?b ? a?b = 0 内积为零是判定两向量垂直的条件
3. a?a = |a|2或 | a |? a ? a 用于计算向量的模

a ?b 4. cos? = | a || b |
5.|a?b| ≤ |a|.|b| .

用于计算向量的夹角, ; 以及判断三角形的形状

例2.已知|a|=5,|b|=4,<a,b>=120°,求a· b.
解: a?b =|a|· |b|cos<a,b>

=5×4×cos120°
= -10.

练习2
已知|a|=3,|b|=6,当①a∥b,②a⊥b, ③a与b的夹角是60°时,分别求a· b ①a∥b时, a· b =±18;

②a⊥b时,a· b=0;
③ a与b的夹角是60°时,a· b=9.

如图, 在平行四边形 ABCD中,已知 AB ? 4, AD ? 3, ?DAB ? 60? , 例3、
解: ?1?因为AD与BC平行且方向相同 ,

求 : ?1?. AD ? BC

?2?.AB? CD

?3?.AB? DA

D

C

? AD与BC的夹角为 0?. ? AD ? BC ? AD ? BC ? cos0? ? 3 ? 3 ?1 ? 9

60?
A 120 ? B

?2? ∵ AB与CD平行, 且方向相反
? AB与CD的夹角是 180?

? AB ? CD ? AB ? CD ? cos180? ? 4 ? 4 ? ?? 1? ? ?16

?3?. ∵ AB与 AD的夹角是 60 ° 的夹角是 120? ,? AB与DA
? 1? ? AB ? DA ? AB ? DA ? cos120? ? 4 ? 3 ? ? ? ? ? ?6 ? 2?

练习3
(1)已知|a|=3,

|b|=5,且a?b=-12,求a在b方向

上的正射影的数量及b在a方向上的正射影的
数量。 a ?b 4 解:因为 cos ? ? ??
| a |?| b | 5

所以a在b方向上的正射影的数量是
a ?b 12 | a | cos ? ? ?? |b| 5

b在a方向上的正射影的数量是
a ?b | b | cos ? ? ? ?4 |a|

( 2 )在 ?ABC中, AB ? BC ? 0,则 ?ABC的形状是
A 锐角三角形 C 钝角三角形 B 直角三角形 D 不能确定

D

( 3 )在 ?ABC中, AB ? BC ? 0,则 ?ABC的形状是 C
A C 锐角三角形 钝角三角形 B D 直角三角形 不能确定

练习4
判断下列命题是否正确

1.若a=0,则对任意向量b,有a · b=0.
2.若a≠0,则对任意非零向量b,有a · b≠0.

(

)

(× )

3.若a≠0,且a ·b=0,则b=0.
4.若a· b=0,则a=0或b=0. 5.对任意的向量a,有a2=│a│2. 6.若a≠0,且a ·b=a ·c,则b=c.

(× )
(× ) ( )

(× )

课堂小结
1.两个向量的夹角 范围0≤〈a ,b〉≤π;

2.向量在轴上的正射影
正射影的数量

al ? a cos?

3.向量的数量积(内积) a· b=

a b cos ? a, b ?

4.两个向量的数量积的性质:
(1). (2).

a ?b ? a ? b = 0

a?a = |a|2或 | a |? a ? a a ?b (3). cos? = | a || b |



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才找到蛰伏在她心脏边缘处的弑神蛊,弑神蛊的隐蔽能力不可小嘘,连她这个神尊境的强者找到它也是几乎用尽了全力,实在不敢想象如果 如今的她真的只是一个神之境的话,是不是真的就如秋无痕所说会被弑神蛊给吞噬的渣都不剩呢?夜北冥一阵庆幸,还好她早就突破到了神 尊境,比神之境高了两个大境界,不然依靠神之境或神人境还真的是在劫难逃了,夜北冥吸了口气不再多想集中精力用自己最后的一丝精神 力和神力设了一道屏障将弑神蛊围困在她心脏的边缘,希望这样能困住弑神蛊一短时间吧。困住弑神蛊后,已经汗流浃背的夜北冥长吁了一 口气,随之慢慢的睁开了眼睛,看着眼前被捆绑的跟毛毛虫似的秋无痕,邪气的笑了一下,慢慢的站起身整理自己衣服,秋无痕看着自己认 为必死的夜北冥又跟没事人一样的站了起来,而且竟然真的将弑神蛊给困了起来,为什么会这样?那人不是说中了弑神蛊的人不到一个时辰 就会被弑神蛊给吞噬殆尽吗?难以置信的瞪大眼睛说道:“你竟然真的将弑神蛊给困了起来,你怎么做到的?”正在整理衣服的夜北冥两手 拍了拍双臂,悠闲的说道:“有时间想这些,不如想想等会师傅来了你怎么跟她解释吧!”秋无痕听到夜北冥说师傅来了,立刻又恢复到之 前疯狂的模样,大笑道:“哈哈哈~就算师傅来了又如何,反正弑神蛊是无药可解的,哪怕你如今将它困了起来,你以为你能困住它一辈子 吗?你等着吧,等弑神蛊冲破了你的围困,到时候,你照样还是要被弑神蛊给吞噬了,哈哈呃??”就在这时整个大殿传来一阵恐怖的威压, 打断了秋无痕的笑声。第002章 中毒失明秋无痕立刻被这道凭空传来的恐怖威压给震的说不出话来,只得跟个死狗似的躺在地上一动也不敢 动,而反观夜北冥,跟个没事人一样坐在椅子上端着茶杯悠闲的吹气,然后轻抿一口再放下,她这风淡云轻的一幕秋无痕看不到,可是看到 的某人不淡定了,只见一道黑色的身影突然出现在夜北冥身前,来人是一个体态婀娜的中年女子,只听她声如洪钟的说道:“你中了弑神蛊? 你中了弑神蛊竟然还能悠闲的坐在这里喝茶?谁给你下的?是不是秋无痕这个白眼狼?”感应到爱徒夜北冥的气息一瞬间微弱下来,急匆匆 赶来的幽冥城城主花弦月指着地上努力将自己隐藏起来的秋无痕说着。夜北冥靠在椅背上手捏着眉心说道:“师傅的声音还是一如既往的大 啊,你看我这不是没事么?既然你来了,这里就交给你处理了,我先回去休息一会。”说完刚站起来,心脏处一阵绞痛,眼前一黑就不省人 事了。隐约听到一丝哭声,夜北冥烦忧的睁开眼睛想看看是谁打扰她休息?刚睁开一点点空隙,就看到紫色的帐顶,还有紫色的帐帘被束缚 在帐顶两边,这是她的房间,而此时的哭声从她床边坐着的一道


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