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【优秀教案】高中数学第二册上 第八章 圆锥曲线方程: 8.5抛物线及其标准方程


8 .5

抛物线及其标准方程

我们知道,与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数 e 的点的轨 迹,当 0<e<1 时是椭圆,当 e>1 时是双曲线.那么,当 e=1 时它是什么曲线 呢? 把一根直尺固定在图板上直线 l 的位置(图 8-19).把一块三角尺的一条直 角边紧靠着直尺的边缘, 再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一 点 A,取绳长等于点 A 到直角顶点 C 的长(即点 A 到直线 l 的距离),并且把绳子 的另一端固定在图板上的一点 F.用铅笔尖扣着绳子,使点 A 到笔尖的一段绳子 紧靠着三角尺,然后将三角尺沿着直尺上下滑动,笔尖就在图板上描出了一条曲 线. 从图 8-19 中可以看出,这条曲线上任意一点 P 到 F 的距离与它到直线 l 的距离相等.把图板绕点 F 旋转 90°,曲线就是初中见过的抛物线.

平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 点 抛物线. 抛物线 F 叫做抛物线的焦点 抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线 抛物线的准线 抛物线的焦点 抛物线的准线. 下面根据抛物线的定义,我们来求抛物线的方程. 如图 8-20,建立直角坐标系 xOy,使 x 轴经过点 F 且垂直于直线 l,垂足 为 K,并使原点与线段 KF 的中点重合.

设点 M(x,y)是抛物线上任意一点,点 M 到 l 的距离为 d. 由抛物线的定义,抛物线就是集合 P={M||MF|=d}.

将上式两边平方并化简,得 y2=2px(p> 0). 方程①叫做抛物线的标准方程 抛物线的标准方程.它表示的抛物线的焦点在 x 轴的 抛物线的标准方程 ①

一条抛物线,由于它在坐标平面内的位置不同,方程也不同.所以抛物线的 标准方程还有其他几种形式:y2=-2px,x2=2py,x2=-2py.这四种抛物线的图 形、标准方程、焦点坐标以及准线方程列表如下:

例1

(1)已知抛物线的标准方程是 y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程;

(2)已知抛物线的焦点坐标是 F(0,-2),求它的标准方程.

线的标准方程是 x2=-8y.
小结: 小结: 求标准方程: 先定焦点的位置;再定一次项系数。 练习 1,已知抛物线方程 x=1/6y2 求焦点坐标,准线方程。 , 求焦点坐标,准线方程。 2, 已知抛物线的准线方程 , y=-2, 求抛物线的标准方程。 求抛物线的标准方程。

3,若抛物线的焦点在直线 4x+3y+12=0 上,求抛物线标准方程。 , 求抛物线标准方程。 作业: 作业: 课本 P119: :

2


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