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高三数学期中试卷


茂名市 2005~2006 学年度第一学期期中考试

高 三 数 学 试 卷(第一卷)
一、选择题
2 1、集合 A ? ? x ? x ? 1 ? 0? , B ? ? x | log 2 x ? 0? ,则 A ? B ? ( )

A.(0, ?? ) 2、y = 1 + ln x A. y = e x+1 C. y = e x – 1

B.(1, ?? )

C.( ?? ,-1)

D.( ?? ,-1) ? (1, ?? ) y=1+ex ( 1 ≤x < 2 ) y = e x – 1 ( 1 ≤x < 2 ) )

( 1≤ x < e )的反函数是 ( ) (0<x<1) B. (0<x<1) D.

3、定义在 R 上的函数 f ( x ) 为奇函数,且 f ( x ? 5) ? f ( x ) 若 f (2) ? 1, f (3) ? a 则( A. a ? 3 B. a ? ? 3
2

C. a ? 1

D. a ? ? 1

4、 已知函数 f ( x ) ? ? x ? 4 x ? a ( x ? [0,1]) ,若 f ( x ) 有最小值 ? 2 ,则 f ( x ) 的最大值为 A、 -1
2

B、 0

C、 1 )
1 2

D、 2

5、函数 y= -x +4ax 在[1,3]内单调递减的充要条件是( A. a ?
1 2

B. a ?

3 2 1
x

C.

1 2

?a?

2 3

D. a ?

或a ?

2 3

6、函数 y ? ? x ? b 与 y ? ( ) ( b ? 0 b ? 1 )的图象可能是( ) b

y 1 o x 1

y

y 1 1 x

y

o

x

o

o

x

7、已知定义在 R 上的函数 y=f (x)满足以下三个条件:①对于任意的 x∈R,都有 f ( x ? 4) ? f ( x ) ; ②对于任意的 x1 , x 2 ? R ,且 0 ? x1 ? x 2 ? 2 ,都有 f (x1)<f (x2);③函数 y=f (x+2)的图象关于 y 轴 对称。则下列结论中正确的是( f (4.5) ? f (7) ? f (6.5) A. C.
f ( 7 )? f ( 6 . ? ) f 5
2

) B.

f (7) ? f (4.5) ? f (6.5) f ( 4 . 5? f ) ( 6? 5 ) . f (7)

( 4 . 5 ) D.

8、 a ? 0 ”是“一元二次方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0, ( a ? 0) 有一个正根和一个负根”的( “ A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要

)条件

D. 不充分不必要

9、设

1

10、若方程 1 ? x A
( - ?, 1 ) ?

2

? x ? m 无解,则实数 m 的取值范围是

B

?0,

1?

? C ( - ?, 1 )∪( 2 , ? ? )

D

?

2,

??

?

二、填空题
?x 2 , x ? 0, 若 f ( f ( x 0 )) ? 2 , 则 x0= 11、已知函数 f ( x ) ? ? 0? x??. ? 2 cos x ,

.

12、函数

y?

lg( x ? 2) x?3
的定义域是_________________________
1 2

13 、 设 x ≥ 0 , y ≥ 0 且 , x + 2 y = __________________________________?

, 则 函 数 u = log 0 .5 (8 xy ? 4 y ? 1) 的 最 大 值 为
2

14、13.设奇函数 f ( x ) 的定义域 [? 5 ,5 ] ,若当

y
x ? [ 0 ,5 ] 时, f ( x ) 的图象如图,则不等式
f ( x ) ? 0 的解是_________

o

2

5 x

2

2005~2006 学年度第一学期期中考试

高 三 数 学 试 卷(第二卷)
座号; 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分共 50 分) 题号 答案 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分共 20 分) 11、___________________ 姓名: 13、_____________________ 12、____________________ 14 、_____________________________ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) : 班别:___________________ 15、 (本题满分 12 分)若 a∈R, A= ?1, 3, a ? , B= ?1, a ? a ? 1? , A∪B=A , 求 a 的值。
2

3

16、(本题满分 12 分)已知 f(x)= (1)解不等式:f(x)>1

2x ? 3 x ?1



(2) 当 x ? ( ?? , ? 2 ] ? [ 2 , ?? ) 时,求 f(x)的值域。

17、 (本题满分 14 分)某种商品在近 30 天内,每件的销售价格 P(元)与时间 t (天)的函数关系近
? t ? 20 , 似地满足 P= ? ? ? t ? 100 , (1 ? t ? 24 , t ? N ) ( 25 ? t ? 30 , t ? N )

,商品的日销售量 Q(件)与时间 t (天)的函数关系

近似地满足 Q= ? t ? 40 (1 ? t ? 30 , t ? N ) 。求这种商品日销售金额 R 的最大值,并指出销售金额最 大的一天是 30 天中的第几天。

4

18、 (本题满分 14 分)

已知:命题 p : y ? f

?1

( x ) 是 f ( x ) = 1 ? 3 x 的反函数且 f

?1

( a ) ? 2 ,命题

2 q:集合 A ? ? x | x ? ( a ? 2) x ? 1 ? 0, x ? R ? , B ? ? x | x ? 0? 且 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围,

使 p、q 中有且只有一个为真命题。

19、 (本小题满分 14 分) (1) 求 f(x)的解析式;

二次函数 f(x)满足 f ( x ? 1) ? f ( x ) ? 2 x , 且 f(0)=1.

(2) 在区间 ? ? 1,1? 上,y= f(x)的图象恒在 y=2x+m 的图象上方,试确定实数 m 的范围.

5

20、 (本小题满分 14 分)

已知函数 f ( x ) 的定义域为 R ,对任意实数 m 、 n ,满足

1 1 f ( ) ? 2 ,且 f ( m ? n ) ? f ( m ) ? f ( n ) ? 1 ,当 x ? ? 时, f ( x ) ? 0 2 2 1 (1)求 f (? ) 的值; 2

(2)求证: f ( x ) 在定义域 R 上是单调递增函数。

6

高 三 数 学 试 卷(第二卷)
座号; 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分共 50 分) 题号 答案 1 B 2 D 3 D 4 C 5 A 6 C 7 A 8 c 9 A 10 C

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分共 20 分) 3? 11、 12、 (2 ,3)∪ (3, + ∞) 4 姓名: 13、 0 14 、 ( -2 , 0 )∪ ?2 ,
5?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) : 班别:___________________ 15、 (本题满分 12 分)若 a∈R, A= ?1, 3, a ? , B= ?1, a ? a ? 1? , A∪B=A , 求 a 的值。
2

解:? A ? B ? A ? B ? A . ???3 分
? a ? a ? 1 ? 3或 a ? a ? 1 ? a ???7 分
2 2

得: a ? ? 1, a ? 2 , a ? 1 ?????11 分 经检验: a ? ? 1, a ? 2 . ?????13 分

16、(本题满分 12 分)已知 f(x)= (1)解不等式:f(x)>1

2x ? 3 x ?1



(2) 当 x ? ( ?? , ? 2 ] ? [ 2 , ?? ) 时,求 f(x)的值域。 解:(1) 由
2x ? 3 x ?1

>1 得,

2x ? 3 x ?1

-

x -1 x ?1

>0, (2’)

x?4 x ?1

>0 (3’)

(x+4)(x-1)>0 x< -4 或 x>1 (5’) 故解集为 ( ?? , ? 4 ] ? [1, ?? ) (6’)
2x ? 3 x ?1

(2)由 y=

得,x=
1 3

y?3 y?2



y?3 y?2

≤-2 或

y?3 y?2

≥2

(4’)

解上述不等式得: 故值域为{y|
1 3

? y ? 2 或 2<y≤7

(6’)

? y ? 2 或 2<y≤7}

7

17、 (本题满分 14 分)某种商品在近 30 天内,每件的销售价格 P(元)与时间 t (天)的函数关系近
? t ? 20 , 似地满足 P= ? ? ? t ? 100 , (1 ? t ? 24 , t ? N ) ( 25 ? t ? 30 , t ? N )

,商品的日销售量 Q(件)与时间 t (天)的函数关系

近似地满足 Q= ? t ? 40 (1 ? t ? 30 , t ? N ) 。求这种商品日销售金额 R 的最大值,并指出销售金额最 大的一天是 30 天中的第几天。
? ( t ? 20 )( ? t ? 40 ) (1 ? t ? 24 ) ? 4分 解: R ? ? ? ( ? t ? 100 )( ? t ? 40 ) ( 25 ? t ? 30 )

? ? ( t ? 10 ) 2 ? 900 ? t ? 10 时最大销售金额为 900 元 ? 2 分 ?R ?? 2 ? ( t ? 70 ) ? 900 ? t ? 25 时最大销售金额为 1125 元 ? 2 分

所以这种商品日销售金额 R 的最大值为 1125 元,销售金额最大的一天是 30 天中的第 25 天。 已知:命题 p : y ? f
?1

18、 (本题满分 14 分)

( x ) 是 f ( x ) = 1 ? 3 x 的反函数且 f

?1

( a ) ? 2 ,命题

2 q:集合 A ? ? x | x ? ( a ? 2) x ? 1 ? 0, x ? R ? , B ? ? x | x ? 0? 且 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围,

使 p、q 中有且只有一个为真命题。
?1

解 :f
1? a 3
2

( x) ?

1? x 3

由 f

?1

( a ) ? 2 得:

? 2 ? ?5 ? a ? 7

设 x ? ( a ? 2) x ? 1 ? 0 判别式为 ? 当 ? ? 0 时, A ? ? ,此时 ? ? ( a ? 2) ? 4 ? 0 , ? 4 ? a ? 0
2

?? ? 0 ? a?0 当 ? ? 0 时,由 A ? B ? ? 得 ? ? x1 ? x 2 ? ? ( a ? 2) ? 0
? a>-4
??5 ? q ? 7 ? ?5 ? a ? ?4 (1)若 p 真 q 假 ? ? a ? ?4

? a ? ? 5或 a ? 7 ? a ? 7 ---------------------2 (2)若 p 假 q 真 ? ? a ? ?4

8

? a的 取 值 范 围 ? -5 -4 ? ? ? 7, ?? ?

19、 (本小题满分 14 分) (1) 求 f(x)的解析式;

二次函数 f(x)满足 f ( x ? 1) ? f ( x ) ? 2 x , 且 f(0)=1.

(2) 在区间 ? ? 1,1? 上,y= f(x)的图象恒在 y=2x+m 的图象上方,试确定实数 m 的范围. 解: (1)设 f(x)=ax2+bx+c,由 f(0)=1 得 c=1,故 f(x)=ax2+bx+1. ∵f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x.
?2a ? 2 ?a ? 1 ,? ? 即 2ax+a+b=2x,所以 ? ,∴f(x)=x2-x+1. a?b ?0 b ? ?1 ? ?

(2)由题意得 x2-x+1>2x+m 在[-1,1]上恒成立.即 x2-3x+1-m>0 在[-1,1]上恒成立. 3 设 g(x)= x2-3x+1-m,其图象的对称轴为直线 x= ,所以 g(x) 在[-1,1]上递减. 2 故只需 g(1)>0,即 12-3× 1+1-m>0,解得 m<-1.

20、 (本小题满分 14 分)

已知函数 f ( x ) 的定义域为 R ,对任意实数 m 、 n ,满足

1 1 f ( ) ? 2 ,且 f ( m ? n ) ? f ( m ) ? f ( n ) ? 1 ,当 x ? ? 时, f ( x ) ? 0 2 2 1 (1)求 f (? ) 的值; 2

(2)求证: f ( x ) 在定义域 R 上是单调递增函数。

解: (1)令 m ? n ? 0 ,得 f ( 0 ) ? 2 f ( 0 ) ? 1 ,? f ( 0 ) ? 1
1 1 1 1 1 1 1 又 f ( ) ? 2 ,令 m ? , n ? ? ,得 f ( ? ) ? f ( ) ? f ( ? ) ? 1 2 2 2 2 2 2 2 1 ? f (? ) ? 0 2 1 1 (2)设 x 1 , x 2 ? R 且 x1 ? x 2 ,则 x 2 ? x1 ? 0 , x 2 ? x 1 ? ? ? 2 2 1 当 x ? ? 时, f ( x ) ? 0 2 1 ? f ( x 2 ? x1 ? ) ? 0 2

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? f [( x 2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x1 )

9

= f ( x 2 ? x1 ) + f ( x 1 ) -1- f ( x 1 ) = f ( x 2 ? x1 ) -1 = f ( x 2 ? x1 ) + f (? = f ( x 2 ? x1 ?
1 2
1 2 ) -1

)?0

因此, f ( x ) 是增函数。

10


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