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高考文科数学复习第一轮


高考文科数学 一轮复习
(极坐标与参数方程)

1

第二讲 极坐标与参数方程
目标认知 考试大纲要求:
1. 理解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况; 2. 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示 点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化; 3. 能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方 程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时 选择适当坐标系的意义; 4. 了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表 示点的位置的方法相比较,了解它们的区别; 5. 了解参数方程,了解参数的意义,能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参 数方程; 6. 了解平摆线、渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程,了解其他摆线的生 成过程,了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨道中的作用。

重点、难点:
1.理解参数方程的概念,了解常用参数方程中参数的意义,掌握参数方程与普通方程 的互化。 2.理解极坐标的概念,掌握极坐标与直角坐标的互化;直线和圆的极坐标方程。 【知识要点梳理】:

知识点一:极坐标 1.极坐标系
平面内的一条规定有单位长度的射线 , 为极点, 为极轴,选定一个长度单位

和角的正方向(通常取逆时针方向) ,这就构成了极坐标系。

2.极坐标系内一点
平面上一点 序实数对 就叫做点

的极坐标
的距离 称为极径 , 与 轴的夹角 称为极角,有

到极点

的极坐标。 表示非负数;

(1)一般情况下,不特别加以说明时

2

当 当 使 求的点。 (2)点

时表示极点; 时,点 ,在 的位置这样确定:作射线 的反向延长线上取一点 , ,使得 ,点 即为所

与点



)所表示的是同一个点,即角 与



终边是相同的。 综上所述,在极坐标系中,点与其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对 应, 即 , , 均表示同一个点.

3. 极坐标与直角坐标的互化
当极坐标系与直角坐标系在特定条件下 (① 极点与原点重合; ② 极轴与 轴正半轴重合; ③长 度 单 位 相 同 ) ,平面上一个点 的极坐标 和直角坐标 有如下

关系: 直角坐标化极坐标: ;

极坐标化直角坐标:

.

此即在两个坐标系下,同一个点的两种坐标间的互化关系.

4. 直线的极坐标方程:
(1)过极点倾斜角为 (2)过 的直线: 或写成 及 .

垂直于极轴的直线:

5. 圆的极坐标方程:
(1)以极点 (2)若 为圆心, , 为半径的圆: ,以 .

为直径的圆:

知识点二:参数方程
3

1. 概念:一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 数 的函数:

都是某个变

,并且对于 的每一个允许值,方程所确定的点 么方程就叫做这条曲线的参数方程,联系

都在这条曲线上,那

间的关系的变数 叫做参变数(简称参数). ,

相对于参数方程来说,前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程 叫做曲线的普通方程。

知识点四:常见曲线的参数方程 1.直线的参数方程
(1)经过定点 ,倾斜角为 的直线 的参数方程为:

( 为参数) ; 其中参数 的几何意义: 点 的距离。 (当 在 上方时, ,有 , 在 ,即 表示直线上任一点 M 到定 )。

下方时,

(2)过定点

,且其斜率为

的直线 的参数方程为:

( 为参数, 其中 的几何意义为:若

为为常数, 是直线上一点,则

) ; 。

2.圆的参数方程
(1)已知圆心为 ,半径为 的圆 的参数方程为:

( 是参数,

) ;

4

特别地当圆心在原点时,其参数方程为

( 是参数) 。

(2)参数 的几何意义为:由 轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的 角。

(3)圆的标准方程明确地指出圆心和半径,圆的一般方程突出方程形式上的特点,圆 的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。

3. 椭圆的参数方程

(1)椭圆



)的参数方程



为参数) 。

(2)参数 的几何意义是椭圆上某一点的离心角。 如图中,点 交大圆即以 对应的角为 为直径的圆于 (过 作 轴, 。

) ,切不可认为是

(3)从数的角度理解,椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。

椭圆

上任意一点可设成



为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。

4. 双曲线的参数方程

双曲线



,

)的参数方程为

( 为参数) 。

5. 抛物线的参数方程
5

抛物线

(

)的参数方程为

( 是参数) 。

参数 的几何意义为:抛物线上一点与其顶点

连线的斜率的倒数,即



规律方法指导:
1、把参数方程化为普通方程,需要根据其结构特征,选取适当的消参方法. 常见的消 参方法有:代入消法 ;加减消参;平方和(差)消参法;乘法消参法;比值消参法;利用 恒等式消参法;混合消参法等. 2、把曲线 的普通方程 化为参数方程的关键:一是适当选取参数;二是确

保互化前后方程的等价性, 注意方程中的参数的变化范围。

【经典例题精析】
类型一:极坐标方程与直角坐标方程
1.在极坐标系中,点 关于极点的对称点的坐标是_____ ,关于极轴的对

称点的坐标是_____,关于直线

的对称点的坐标是_______,

思路点拨:画出极坐标系,结合图形容易确定。 解析:它们依次是 ( ). 或 ; ;

示意图如下: 总结升华:应用数形结合,抓住对称点与已知点之间的极径与极角的联系,

同时应注意点的极坐标的多值性。

6

2.化下列极坐标方程为直角坐标方程,并说明它是什么曲线。

(1)

; 思路点拨:依据关系式

(2)

; ,对已有方程进行变形、

配凑。 解析: (1)方程变形为 ∴ 或 ,即 , 或 ,

故原方程表示圆心在原点半径分别为 1 和 4 的两个圆。 (2) 变形得 故原方程表示直线 ,即 。 ,

总结升华:极坐标方程化为直角坐标方程,关键是依据关系式 ,把极坐标方程中的 用x、y表示。

类型二:参数方程与普通方程互化
4.把参数方程化为普通方程

(1)

(

, 为参数);

(2)

(

, 为参数);

思路点拨: (1)将第二个式子变形后,把第一个式子代入消参; (2)利用三角恒等式进行消参; (3)观察式子的结构,注意到两式中分子分母的结构特点,因而可以采取加减消参的 办法;或把 用 表示,反解出 后再代入另一表达式即可消参; 而已,因而消参方法依旧,但需要注意

(4)此题是(3)题的变式,仅仅是把 换成 、 的范围。

7

解析: (1)∵ ; 又∵ , ,∴ ( , , ,把 , ) 代入得 . ,把 代入得

∴ 所求方程为: (2)∵

又∵





,

. ∴ 所求方程为

(

,

).

总结升华: 1. 消参的方法主要有代入消参,加减消参,比值消参,平方消参,利用恒等式消参等。 2.消参过程中应注意等价性,即应考虑变量的取值范围,一般来说应分别给出 、 的 范围.在这过程中实际上是求函数值域的过程,因而可以综合运用求值域的各种方法.

8

【课堂检测】
选择题
参27.在极坐标系中,点(ρ ,θ )与(-ρ , π -θ )的位置关系为( A.关于极轴所在直线对称 B.关于极点对称 C.关于直线θ = D.重合 )。

? 2

(ρ ∈R) 对称

28.极坐标方程 4ρ sin2 A.圆 C.双曲线的一支

? 2 =5

表示的曲线是( B.椭圆 D.抛物线

)。

29.点 P1(ρ 1,θ 1) 与 P2(ρ 2,θ 2) 满足ρ 1 +ρ 2=0,θ 的位置关系是( )。 A.关于极轴所在直线对称 C.关于θ =

1



2

= 2π ,则 P1、P2

两点

B.关于极点对称 D.重合

? 2

所在直线对称

30.椭圆 ?

? x ? 3 ? 3 cos? 的两个焦点坐标是( ? y ? ?1 ? 5 sin ?
B.(3, 3),(3, -5) D.(7, -1),(-1, -1)

)。

A.(-3, 5),(-3, -3) C.(1, 1),(-7, 1) 六、1.若直线的参数方程为 ?

? x ? 1 ? 2t (t为参数) ,则直线的斜率为( ? y ? 2 ? 3t



2 3 3 C. 2
A.

B. ?

2 3 3 D. ? 2

2.下列在曲线 ?

? x ? sin 2? (? 为参数) 上的点是( ? y ? cos ? ? sin ?
B. ( ?



A. (

1 , ? 2) 2

3 1 , ) 4 2

C. (2,

3)

D. (1,

3)

9

3.将参数方程 ?

? x ? 2 ? sin 2 ? ? (? 为参数) 化为普通方程为( 2 ? ? y ? sin ?
B.
2



A.

y ? x?2

y ? x?2

C.

y ? x ? 2(2 ? x ? 3)


D.

y ? x ? 2(0 ? y ? 1)

4.化极坐标方程 ? A. x
2

cos? ? ? ? 0 为直角坐标方程为(
B. x

? y 2 ? 0或y ? 1

?1

C. x

2

? y 2 ? 0或x ? 1


D.

y ?1

5.点 M 的直角坐标是 (?1, A. (2,

3) ,则点 M

的极坐标为(

?
3

)

B. (2, ?

?
3

)

C. (2,

2? ) 3

D. (2, 2k? )

? ), (k ? Z ) 3

?

6.极坐标方程 ? cos ?

? 2sin 2? 表示的曲线为(
B.两条直线

A.一条射线和一个圆 七、1.直线 l 的参数方程为 ? 间的距离是( ) B. 2 t1

C.一条直线和一个圆

D.一个圆

?x ? a ? t (t为参数) ,l 上的点 P1 对应的参数是 t1 ,则点 P1 与 P(a, b) 之 y ? b ? t ?

A.

t1

C.

2 t1

D.

2 t1 2

1 ? ?x ? t ? 2.参数方程为 ? t (t为参数) 表示的曲线是( ? ?y ? 2
A.一条直线 B.两条直线 C.一条射线



D.两条射线

1 ? x ? 1? t ? 2 ? 3.直线 ? (t为参数) 和圆 x2 ? y 2 ? 16 交于 A, B 两点, ? y ? ?3 3 ? 3 t ? ? 2


AB 的中点坐标为(
B . (?



A. (3, ?3) 4.圆 ?

3,3)

C. (

3, ?3)


D. (3, ?

3)

? 5cos? ? 5 3sin ? 的圆心坐标是(
4? ) 3
B. (?5,

A. ( ?5, ?

?
3

)

C. (5,

?
3

)

D. ( ?5,

5? ) 3


5.与参数方程为 ?

? ?x ? t ? ? y ? 2 1? t

(t为参数) 等价的普通方程为(

10

A. x

2

?

y2 ?1 4 y2 ? 1(0 ? y ? 2) 4

B. x

2

?

y2 ? 1(0 ? x ? 1) 4 ? y2 ? 1(0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2) 4


C. x

2

?

D. x

2

6.直线 ?

? x ? ?2 ? t (t为参数) 被圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 25 所截得的弦长为( ? y ? 1? t

A.

98

B. 40

1 4

C.

82

D.

93 ? 4 3


八、1.把方程 xy
1 ? ?x ? t 2 A. ? 1 ? y ? t?2 ?

? 1 化为以 t 参数的参数方程是(

? x ? sin t ? B. ? 1 y? ? sin t ?

? x ? cos t ? C. ? 1 y? ? cos t ?


? x ? tan t ? D. ? 1 y? ? tan t ?

2.曲线 ?

? x ? ?2 ? 5t (t为参数) 与坐标轴的交点是( ? y ? 1 ? 2t
2 1 )、 ( , 0) 5 2
B. (0,

A. (0,

(8, 0) C. (0, ?4)、
3.直线 ?

1 1 )、 ( , 0) 5 2 5 (8, 0) D. (0, )、 9


? x ? 1 ? 2t (t为参数) 被圆 x2 ? y 2 ? 9 截得的弦长为( ?y ? 2 ? t
B.

12 5 9 5 C. 5
A.

12 5 5 9 10 D. 5
? x ? 4t 2 ? y ? 4t (t为参数) 上,

4.若点 P(3, m) 在以点 F 为焦点的抛物线 ?



PF

等于( B. 3 D. 5



A. 2 C. 4

5.极坐标方程 ? cos 2? A.极点 C.一条直线

? 0 表示的曲线为(



B.极轴 D.两条相交直线

6.在极坐标系中与圆 ?

? 4sin ? 相切的一条直线的方程为(



11

A. ? cos ? C. ?

?2

B. ? sin ?

?2

? 4 sin(? ?

?
3

)

D. ?

? 4 sin(? ? ) 3

?

填空题
参、5.把参数方程 ?

? x ? sin ? (α 为参数)化为普通方程,结果是 ? y ? cos? ? 1



15.把直角坐标系的原点作为极点,x 的正半轴作为极轴,并且在两种坐标系中取相同的长度单位, 若曲线的极坐标方程是 P
2

?

1 4 cos 2 ? ? 1

,则它的直角坐标方程是



六、1.直线 ?

? x ? 3 ? 4t (t为参数) 的斜率为______________________。 ? y ? 4 ? 5t

2.参数方程 ?

? x ? et ? e ? t ? (t为参数) 的普通方程为__________________。 t ?t ? ? y ? 2(e ? e )

3.已知直线 l1 : ?

? x ? 1 ? 3t (t为参数) 与直线 l2 : 2 x ? 4 y ? 5 相交于点 B ,又点 A(1, 2) , ? y ? 2 ? 4t



AB ? _______________。

1 ? x ? 2? t ? ? 2 (t为参数) 被圆 x2 ? y 2 ? 4 截得的弦长为______________。 4.直线 ? ? y ? ?1 ? 1 t ? ? 2

5.直线 x cos ?

? y sin ? ? 0 的极坐标方程为____________________。

12

1 ? ?x ? 1? 七、1.曲线的参数方程是 ? t (t为参数,t ? 0) ,则它的普通方程为__________________。 ? y ? 1? t2 ?
2.直线 ?

? x ? 3 ? at (t为参数) 过定点_____________。 ? y ? ?1 ? 4t
2

3.点 P(x,y)是椭圆 2 x

? 3 y 2 ? 12 上的一个动点,则 x ? 2 y 的最大值为___________。
? tan ? ? 1 cos ?
,则曲线的直角坐标方程为________________。

4.曲线的极坐标方程为 ?

5.设

y ? tx(t为参数) 则圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的参数方程为__________________________。

? x ? 2 pt 2 八、 1 .已知曲线 ? (t为参数,p为正常数) 上的两点 M , N ? y ? 2 pt
且t1 ? t2 ? 0 ,那么 MN
2.直线 ? =_______________。

对应的参数分别为 t1和t2, ,

? ? x ? ?2 ? 2t ? ? y ? 3 ? 2t

(t为参数) 上与点 A(?2,3) 的距离等于 2 的点的坐标是_______。

3.圆的参数方程为 ?

? x ? 3sin ? ? 4cos ? (? 为参数) ,则此圆的半径为_______________。 ? y ? 4sin ? ? 3cos ?

4.极坐标方程分别为 ?

? cos ?

与?

? sin ? 的两个圆的圆心距为_____________。

5.直线 ?

? x ? t cos ? ? y ? t sin ?

与圆 ?

? x ? 4 ? 2cos ? 相切,则 ? ? _______________。 ? y ? 2sin ?

解答题

13

参、3.如图,过点 M (-2, 0) 的直线ι 依次与圆(x +

9 2

) + y = 16 和抛物线 y = - 4x

2

2

2

交于 A、B、C、D 四点,且|AB| = |CD|,求直线ι 的方程。

\

4.过点 P(-2, 0) 的直线ι 与抛物线 y = 4x 相交所得弦长为 8,求直线ι 的方程。

2

5.求直线 ?

? x ? ?1 ? t ? y ? ?2 ? 3t

( t 为参数)被抛物线 y = 16x 截得的线段 AB 中点 M 的坐

2

标及点 P(-1, -2) 到 M 的距离。

14

8.A 为椭圆

x2 y2 + 25 9

=1 上任一点,B 为圆( x - 1) + y = 1 上任一点,求 | AB | 的

2

2

最大值和最小值 。

9.A、B 在椭圆

x2 a2

+

y2 b2

= 1(a > b > 0)上,OA⊥OB,求△AOB 面积的最大值和最小值。

x2 10.椭圆 2 a

y2 + 2 b
? ?

=1(a > b > 0)的右顶点为 A,中心为 O,若椭圆在第 一象限的弧

上存在点 P,使∠OPA=90°,求离心率的范围。 一 1、求圆心为 C ? 3,

??

? ,半径为 3 的圆的极坐标方程。 6?

15

2、已知直线 l 经过点 P(1,1),倾斜角 ? (1)写出直线 l 的参数方程。 (2)设 l 与圆 x
2

?

?
6



? y 2 ? 4 相交与两点 A、B,求点 P 到 A、B 两点的距离之积。

3、求椭圆

x2 y2 1, 0)之间距离的最小值。 ? ? 1 上一点P与定点( 9 4

三、18. 求直线?

?x ? 2 ? t (t为参数)被双曲线 x 2 ? y 2 ? 1上截得的弦长。 ? y ? 3t

16

四、14.设椭圆 4x +y =1 的平行弦的斜率为 2,求这组平行弦中点的轨迹.

2

2

五、19. ?ABC 的底边 BC

? 10, ?A ?

1 ?B, 以 B 点为极点,BC 2

为极轴,求顶点 A 的轨迹方程。

20.在平面直角坐标系中已知点 A(3,0) ,P 是圆珠笔 交 PA 于 Q 点,求 Q 点的轨迹的极坐标方程。

?x

2

? y 2 ? 1 上一个运点,且 ?AOP 的平分线
P Q O A

?

17

六 1.已知点 P( x, y) 是圆 x (1)求 2 x ? (2)若 x ?

2

? y 2 ? 2 y 上的动点,

y 的取值范围;

y ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。

\\\\

2.求直线 l1 : ?

? ?x ? 1? t (t为参数) 和直线 l2 : x ? y ? 2 3 ? 0 的交点 P 的坐标,及点 P y ? ? 5 ? 3 t ? ?

与 Q(1, ?5) 的距离。

\\

3.在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上找一点,使这一点到直线 x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离的最小值。 16 12

18

七、1.参数方程 ?

? x ? cos ? (sin ? ? cos ? ) (? 为参数) 表示什么曲线? ? y ? sin ? (sin ? ? cos ? )

2.点 P 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上,求点 P 到直线 3x ? 4 y ? 24 的最大距离和最小距离。 16 9

\

3.已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? (1)写出直线 l 的参数方程。 (2)设 l 与圆 x
2

?

?
6



? y 2 ? 4 相交与两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积。

19

1 ? x ? (et ? e ? t ) cos ? ? ? 2 八、1.分别在下列两种情况下,把参数方程 ? 化为普通方程: ? y ? 1 (et ? e ? t ) sin ? ? ? 2
(1) ? 为参数, t 为常数; (2) t 为参数, ? 为常数;

2.过点 P (

10 , 0) 作倾斜角为 ? 的直线与曲线 x2 ? 12 y2 ? 1 交于点 M , N , 2
的最小值及相应的 ? 的值。



PM ? PN

20















练 题 型 大 全 答案 田硕

27.A 【习题分析】 与点 M(ρ ,θ )关于极轴对称的点有(ρ ,-θ )或(-ρ ,π -θ ),关于θ =

? 2

所在直线对称的点有(-ρ ,-θ )或

(ρ ,π -θ ),关于极点对称的点有(-ρ ,θ )或(ρ ,π +θ )。掌握好点与极坐标的对应关系,及点之间特殊的对 称关系是很有用处的。 28.D 【习题分析】

化为

1 ? cos ? 4P ? 2

5 2 =5。即ρ = 1 ? cos?

,表示抛物线,应选 D。判断曲线类型一般不外乎直线、

圆、圆锥曲线等,因此需化为相应方程即可。 29.C 【习题分析】 点 P2 坐标为(-ρ 1, 2π -θ 1)也即为(ρ 1, 3π -θ 1), ∴点 P1、P2 关于θ =

? 2

所在直线对称,应选 C。

判断点的对称,应记忆好相应坐标之间的关系,必要时 可结合图形。 30.B 【习题分析】

先将椭圆方程化为普通方程,得:

( x ? 3) 2 9

+

( y ? 1) 2 25

=1。

然后由平移公式 ?

? x ? x`?3 。 ? y ? y`?1

及在新系中焦点(0, ±4)可得答案,应选 B。 【填空】 5.x2+(y-1) 2=1 【习题分析】

21

将原方程变形为 ?

? x ? sin ? ,两边相加即可得 x2 + (y - 1)2 =1。 y ? 1 ? cos ? ?

15.3x2-y2=1 【习题分析】 原方程可化为 4ρ 2cos2θ -ρ 2 =1。将ρ cosθ = x, p2 = x2 + y2 代入上式,得 4x2 - x2 - y2 = 1,即 3x2 - y2 = 1。 【计算】 3.x=-2 或 2x-y+4=0 或 2x=y=4=0 【习题分析】 设直线的参数方程为 ? | = | CD |

? x ? ?2 ? t cos? (t ? y ? t sin ?

为参数) 代入圆的方程和抛物线的方程,化简并利用| AB

? tA + tD = tC + tB,
3 ( x ? 2) 3

根据韦达定理可迅速获解。

4.

y??

【习题分析】

设: ?

? x ? ?2 ? t cos? ? y ? 0 ? t sin ?

( t 为参数),α 为直线ι 的倾角,

代入抛物线方程整理得: ι
2

sin2α - (4cosα ) t + 8 = 0

由韦达定理得 t1 + t2 =

4 cos ? sin 2 ?

t1 ? t2 =

8 sin 2 ?



弦长| t1 - t2 | = 8,整理得 4sin4α + 3sin2α -1 = 0

解得 sin2α =

1 4 5 6

∴sinα = ±

1 2

0 ≤α <π



α=

? 6



π

即所求直线ι 的方程为 y = ±

3 3

(x + 2)

5.

2 3?5 8 3 , 3 3



4 3 ? 16 3
22

【习题分析】 不能把原参数方程直接代入 y = 16x2 中,因为原参数不是 标准式,不具有几何意义,在求 | PM | 时 不用两点间距离 公式,而用参数的几何意义直接得出。 因而解本题用到两个结论:1. 弦的中点对应参 数为: t=

t1 ? t 2 2

,2.

点 P(直线经过的定点)到弦中点 M 的距离|PM=|

t1 ? t 2 2

|

6. 17

2

【习题分析】

x2 由 4

+y2=1 有 P(2cosθ ,sinθ ),则 2x+y=4cosθ +sinθ =

17

sin(θ +φ )(tanφ = 4),

∴(2x + y)大=

17 。

若已知椭圆(圆或双曲线)上一点,用参数方程来设坐标较方便,用此法可以解决 Ax + By 型的最值问题。

8.7,

3 15 ?1 4

【习题分析】 圆心 C (1, 0) , 求|AB|的最值, 只需求 AC 的最值, 设A (5cosθ ,3sinθ ) 用两点间距离公式求解|AC|。 解决本题的关键在于将圆上的动点 B 转化到定点—圆心 C。

9.

ab 2



a 2b 2 a2 ? b2

【习题分析】 从椭圆中心(抛物线顶点)出发的线段长有关的问题,可将 ? 为极坐标方程, 设 A( ρ 1,θ ) ,B(ρ 2,θ ± S△AOB=

? x ? p cos? ? y ? p sin ?

直接代入普通方程,转化

? 2

)则有

1 2

| ρ 1ρ 2 | 进一步处理。

10.

2 2

≤e<1

【习题分析】 设 P(acosθ , bsinθ )(0 <θ < 90°), ∵∠OPA=90° ∴有

b sin ? a cos ?

?

b sin ? = -1 ? a cos ? ? a

(a2-b2)cos2θ - acos2θ + b2=0

23

解得 cosθ =

b2 a2 ? b2

或 cosθ =1(舍)。

∴当

b2 a2 ? b2

≤1,即 a ≥

2 b,也即

2 2

≤e < 1 时,

存在这样的点 P,使∠OPA=90°。 练习 1 参考答案 三、解答题 1、1、如下图,设圆上任一点为 P( ? ,? ) ,则 ? OP ? ?

? ?,?POA ? ? ? , ? OA? ? 2 ? 3 ? 6
6

Rt?OAP中, ?OP? ? ?OA? ? cos ?POA

2 ?? ? ?? ? 6 c o? s? ? ? 而点 O (0, ? ) 6? 3 ?
P A C O x

A (0,

?
6

) 符合

? 3 x ? 1? t, ? ? 2 2、解: (1)直线的参数方程是 ? (t是参数) ? y ? 1 ? 1 t; ? 2 ?
(2)因为点 A,B 都在直线 l 上,所以可设它们对应的参数为 t1 和 t2,则点 A,B 的坐标分别为

A(1 ?

3 1 3 1 t1 ,1 ? t1 ), B(1 ? t 2 ,1 ? t 2 ) 2 2 2 2
2

以直线 L 的参数方程代入圆的方程 x

? y 2 ? 4 整理得到

t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0



因为 t1 和 t2 是方程①的解,从而 t1t2=-2。 所以|PA|?|PB|= |t1t2|=|-2|=2。 3、 (先设出点 P 的坐标,建立有关距离的函数关系)

设P ? 3cos ?, 2sin ? ?,则P到定点( 1, 0)的距离为 d ?? ? ?

? 3cos? ? 1? ? ? 2sin ? ? 0 ?
2

2

3 ? 16 ? ? 5cos 2 ? ? 6cos ? ? 5 ? 5 ? cos ? ? ? ? 5? 5 ?

2

24

3 4 5 当c o s ? ? 时,d ?? 取最小值 ) 5 5

练习 3 参考答案

1 ? x ? 2? t ? 2 ? 18.解:把直线参数方程化为标准参数方程 ? (t 为参数) 3 ?y ? t ? 2 ?
1 ? ? 3 ? 代入x ? y ? 1,得: t ?2 ? t ? ? ? 2 ? ? ? ? 2
2 2 2

? ? ?1 ? ?

2

整理,得: t 2 ? 4t ? 6 ? 0 设其二根为 t1 ,t 2 ,则 t1 ? t 2 ? 4,t1 ?t 2 ? ?6
从而弦长为AB ? t1 ? t 2 ?

?t1 ? t 2 ?2 ? 4t1 t 2
练习 4 参考答案

? 4 2 ? 4?? 6? ? 40 ? 2 10

14.取平行弦中的一条弦 AB 在 y 轴上的截距 m 为参数,并设 A(x1,

设弦 AB 的中点为 M(x,y),则

25

极坐标与参数方程单元练习 5 三.解答题(共 75 分)

练习 5 参考答案 19.解:设 M

?? ,? ? 是曲线上任意一点,在 ?ABC
?
3 sin(? ? ? ) 2
? 30 ? 40 sin

中由正弦定理得:

?
2 ?

10 sin
2

?
2

得 A 的轨迹是: ?

20.解:以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设 Q

?? ,? ? , P?1,2? ?

? S ?OQA ? S ?OQP ? S ?OAP
1 1 1 ? ? 3? sin ? ? ? sin ? ? ? 3 ? 1 ? sin 2? 2 2 2 3 ? ? cos ? 2
坐标系与参数方程单元练习 6 坐标系与参数方程单元练习 6 参考答案 一、选择题 1. D 2.B 3. C

k?

y ? 2 ?3t 3 ? ?? x ? 1 2t 2

转化为普通方程: 转化为普通方程:

y 2 ? 1 ? x ,当 x ? ?

3 1 时, y ? 4 2

y ? x ? 2 ,但是 x ?[2,3], y ?[0,1]

4. C 5. C 6. C

? ( ? cos ? ? 1) ? 0, ? ? x 2 ? y 2 ? 0, 或? cos ? ? x ? 1
(2, 2k? ? 2? ), (k ? Z ) 都是极坐标 3

? cos? ? 4sin ? cos? ,cos? ? 0, 或? ? 4sin ? ,即? 2 ? 4? sin ?
则?

? k? ?

?
2

, 或 x2 ? y 2 ? 4 y

二、填空题 1. ?

5 4

k?

y?4 ?5 t 5 ? ?? x ?3 4 t 4

26

2.

x y ? ? 1, ( x ? 2) 4 16

2

2

y ? ? x ? et ? e ? t x ? ? 2et ? y y ? ? 2 ?? ? (x ? ) ( x? ? ) ?y t ?t 2 2 ? ? e ?e ? x ? y ? 2e? t ?2 ? ? 2

4

3.

5 2

将?

? x ? 1 ? 3t 1 5 5 ) A(1, 2,得 代入 2 x ? 4y ? 5 得 t ? ,则 B ( , 0 ,而 ) AB ? 2 2 2 ? y ? 2 ? 4t
直线为

4.

14

x ? y ?1 ? 0

,圆心到直线的距离

d?

1 2 ? 2 2

,弦长的一半为

22 ? (
5. ?

2 2 14 ) ? 2 2

,得弦长为

14

?

?
2

??

? cos? cos ? ? ? sin ? sin ? ? 0,cos(? ? ? ) ? 0 ,取 ? ? ? ?
? x ? cos ? ? y ? 1 ? sin ?

?
2

三、解答题 1.解: (1)设圆的参数方程为 ? ,

2x ? y ? 2cos? ? sin ? ? 1 ? 5 sin(? ? ? ) ?1 ?? 5 ?1 ? 2x ? y ? 5 ?1
(2) x ?

y ? a ? cos ? ? sin ? ? 1 ? a ? 0

? a ? ?(cos ? ? sin ? ) ? 1 ? ? 2 sin(? ? ) ? 1 4 ? a ? ? 2 ?1
2.解:将 ?

?

? ?x ? 1? t 代入 x ? y ? 2 3 ? 0 得 t ? 2 3 , ? ? y ? ?5 ? 3t

得 P(1 ? 2

3,1) ,而 Q(1, ?5) ,得 PQ ? (2 3)2 ? 62 ? 4 3
4 cos ? ? 4 3 sin ? ? 12 ? ? x ? 4 cos ? ,d ? 5 ? ? y ? 2 3 sin ?

3.解:设椭圆的参数方程为 ?

?

4 5 4 5 ? cos? ? 3 sin ? ? 3 ? 2cos(? ? ) ? 3 5 5 3
?

当 cos(?

?
3

) ? 1 时, d min ?

4 5 ,此时所求点为 (2, ?3) 。 5

27

坐标系与参数方程单元练习 7 参考答案 一、选择题 1. C 2. D 距离为

t12 ? t12 ? 2 t1

y ? 2 表示一条平行于 x 轴的直线,而 x ? 2, 或x ? ?2 ,所以表示两条射线
t ?t 1 3 2 (1 ? t )2 ? (?3 3 ? t ) ? 16 ,得 t 2 ? 8t ? 8 ? 0 , t1 ? t2 ? 8, 1 2 ? 4 2 2 2

3. D

1 ? x ? 1? ? 4 ? ? 2 ? ?x ? 3 中点为 ? ?? ?y ? ? 3 ? y ? ?3 3 ? 3 ? 4 ? ? ? 2
4. A 圆心为 (

5 5 3 ,? ) 2 2

5. D

y2 y2 2 2 x ? t, ? 1? t ? 1? x , x ? ? 1, 而t ? 0, 0 ? 1 ? t ? 1, 得0 ? y ? 2 4 4
2

6. C

? 2 x ? ?2 ? 2t ? ? ? x ? ?2 ? t ? 2 ,把直线 ? x ? ?2 ? t 代入 ?? ? ? ? y ? 1? t ? y ? 1? t ? y ? 1 ? 2t ? 2 ? ? 2

( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 25 得 (?5 ? t )2 ? (2 ? t )2 ? 25, t 2 ? 7t ? 2 ? 0
t1 ? t2 ? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? 41 ,弦长为 2 t1 ? t2 ? 82
二、填空题 1.

y?

x( x ? 2) ( x ? 1) ( x ? 1) 2


1 1 1? x ? ,t ? , 而 y ? 1? t 2 , t 1? x

1 2 x( x ? 2) y ? 1? ( ) ? ( x ? 1) 1? x ( x ? 1) 2

2. (3, ?1)

y ?1 4 ? , ?( y ? 1)a ? 4x ? 1 2? 对于任何 0 a 都成立,则 x ? 3 ,且y ? ? 1 x?3 a

3.

22

x2 y 2 ? ? 1 ,设 P( 6 cos? , 2sin ? ) , 椭圆为 6 4

x ? 2 y ? 6 cos? ? 4sin ? ? 22 sin(? ? ? ) ? 22

28

4. x

2

?y

? ? t a n? ?

1 sin ? ? ,? c 2 o s? ? 2 cos ? c o? s

s i?n 2?,

2

c? o ?s

?

s ?i 即 xn ? ,y
2

4t ? x? ? ? 1? t2 5. ? 2 ? y ? 4t ? 1? t2 ?

x2 ? (tx)2 ? 4tx ? 0 ,当 x ? 0 时, y ? 0 ;当 x ? 0 时, x ?

4t 1? t2



4t ? x? ? 4t ? 1? t2 而 y ? tx ,即 y ? ,得 ? 2 1? t2 ? y ? 4t ? 1? t2 ?
2

三、解答题

1.解:显然

y ? tan ? x

,则

y2 1 1 ?1 ? , cos 2 ? ? 2 2 2 y x cos ? ?1 x2

1 1 2 tan ? x ? cos 2 ? ? sin ? cos ? ? sin 2? ? cos 2 ? ? ? ? cos 2 ? 2 2 2 1 ? tan ? y y 2 ?1 1 1 y2 y x ? x 即x? ? ? , x (1 ? ) ? ?1 2 2 2 2 y y y 2 x x 1? 2 1? 2 1? 2 x x x
得x?

y2 y ? ? 1 ,即 x2 ? y 2 ? x ? y ? 0 x x ? 12cos ? ? 12sin ? ? 24 5

2.解:设 P(4cos ? ,3sin ? ) ,则 d

12 2 cos(? ? ) ? 24 4 即d ? 5
当 cos(? 当 cos(?

?



? ?

?
?
4 4

) ? ?1 时, d max ? ) ? 1 时, d min

12 (2 ? 2) ; 5 12 ? (2 ? 2) 。 5

? ? x ? 1 ? t cos ? ? 6 3.解: (1)直线的参数方程为 ? ? y ? 1 ? t sin ? ? 6 ?

? 3 x ? 1? t ? ? 2 ,即 ? ? y ? 1? 1 t ? ? 2

29

? 3 x ? 1? t ? ? 2 代入 x 2 ? y 2 ? 4 (2)把直线 ? ? y ? 1? 1 t ? ? 2
得 (1 ?

3 2 1 t ) ? (1 ? t )2 ? 4, t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0 2 2

t1t2 ? ?2 ,则点 P 到 A, B 两点的距离之积为 2
坐标系与参数方程单元练习 8 参考答案 一、选择题 1. D 2.B

xy ? 1 , x 取非零实数,而 A,B,C 中的 x 的范围有各自的限制
2 1 1 ,而 y ? 1 ? 2t ,即 y ? ,得与 y 轴的交点为 (0, ) ; 5 5 5 1 1 1 当 y ? 0 时, t ? ,而 x ? ?2 ? 5t ,即 x ? ,得与 x 轴的交点为 ( , 0) 2 2 2
当x

? 0 时, t ?

3.B

? x ? 1 ? 5t ? ? x ? 1 ? 2t ? ? ?? ? ?y ? 2 ? t ? y ? 1 ? 5t ? ? ?

2 ? x ? 1 ? 2t 5 ,把直线 ? 代入 1 ?y ? 2 ?t 5

x2 ? y 2 ? 9 得 (1 ? 2t )2 ? (2 ? t )2 ? 9,5t 2 ? 8t ? 4 ? 0
12 8 16 12 5 t1 ? t2 ? (t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ? (? )2 ? ? ,弦长为 5 t1 ? t2 ? 5 5 5 5
4. C 5. D 6. A 抛物线为

y 2 ? 4x ,准线为 x ? ?1 , PF

为 P(3, m) 到准线 x

? ?1 的距离,即为 4

? cos 2? ? 0, cos 2? ? 0, ? ? k? ?

?
4

,为两条相交直线

? ? 4sin ? 的普通方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 , ? cos? ? 2 的普通方程为 x ? 2
圆x
2

? ( y ? 2)2 ? 4 与直线 x ? 2 显然相切

二、填空题 1. 4 p

t1

显然线段 MN 垂直于抛物线的对称轴。即 x 轴,

M N ? 2 p 1t ? 2t ?2 p 21t

2. (?3, 4) ,或 (?1, 2)

1 2 2 (? 2t )2 ? ( 2t ) 2 ? ( 2) , t 2 ? ,t ? ? 2 2

30

3. 5

由?

? ? 4 c? os 2 ?x ? 3 s i n 2 得 x ? y ? 25 y ? 4 s i n ? ? 3 c ? o s ?
圆心分别为 (

4.

2 2

1 1 , 0和 ) (0, ) 2 2

5.

? 6

,或

5? 6

直线为

y ? xtan ? ,圆为 ( x ? 4)2 ? y 2 ? 4 ,作出图形,相切时,

易知倾斜角为 三、解答题 1.解: (1)当 t 当t

? 6

,或

5? 6

? 0 时, y ? 0, x ? cos ? ,即 x ? 1, 且y ? 0 ; ? 0 时, cos ? ?

x 1 t ?t (e ? e ) 2
x2

,sin ? ?

y 1 t ?t (e ? e ) 2
?1

而x

2

? y 2 ? 1,即

1 t (e ? e ? t ) 2 4

?

y2 1 t (e ? e ? t ) 2 4

(2)当 ?

1 ? k? , k ? Z 时, y ? 0 , x ? ? (et ? e?t ) ,即 x ? 1, 且y ? 0 ; 2 ? 1 t ?t 当 ? ? k? ? , k ? Z 时, x ? 0 , y ? ? (e ? e ) ,即 x ? 0 ; 2 2

2x ? t ?t e ?e ? ? k? ? cos ? , k ? Z 时,得 ? 当? ? 2 ?e t ? e ? t ? 2 y ? sin ? ?
得 2e
t

2x 2y ? t 2e ? ? ? ? cos ? sin ? ,即 ? ? 2e ? t ? 2 x ? 2 y ? cos ? sin ? ?

? 2e ?t ? (

2x 2y 2x 2y ? )( ? ) cos ? sin ? cos ? sin ?



x2 y2 ? ?1。 cos 2 ? sin 2 ?

? 10 ? t cos ? ?x ? 2.解:设直线为 ? (t为参数) ,代入曲线并整理得 2 ? y ? t sin ? ?
(1 ? sin 2 ? )t 2 ? ( 10 cos ? )t ? 3 ?0 2



3 2 PM ? PN ? t1t2 ? 1 ? sin 2 ?

31

所以当 sin

2

? ? 1 时,即 ? ?

?
2



PM ? PN

的最小值为

3 4

,此时 ?

?

?
2



参27.在极坐标系中,点(ρ ,θ )与(-ρ , π -θ )的位置关系为( A.关于极轴所在直线对称 B.关于极点对称 C.关于直线θ = D.重合

)。

? 2

(ρ ∈R) 对称

28.极坐标方程 4ρ sin2 A.圆 C.双曲线的一支

? 2 =5

表示的曲线是( B.椭圆 D.抛物线

)。

29.点 P1(ρ 1,θ 1) 与 P2(ρ 2,θ 2) 满足ρ 1 +ρ 2=0,θ 的位置关系是( )。 A.关于极轴所在直线对称 C.关于θ =

1



2

= 2π ,则 P1、P2

两点

B.关于极点对称 D.重合

? 2

所在直线对称

30.椭圆 ?

? x ? 3 ? 3 cos? 的两个焦点坐标是( ? y ? ?1 ? 5 sin ?
B.(3, 3),(3, -5) D.(7, -1),(-1, -1)

)。

A.(-3, 5),(-3, -3) C.(1, 1),(-7, 1) 六、1.若直线的参数方程为 ?

? x ? 1 ? 2t (t为参数) ,则直线的斜率为( ? y ? 2 ? 3t



2 3 3 C. 2
A.

B. ?

2 3 3 D. ? 2

2.下列在曲线 ?

? x ? sin 2? (? 为参数) 上的点是( ? y ? cos ? ? sin ?
B. ( ?



A. (

1 , ? 2) 2

3 1 , ) 4 2

C. (2,

3)

D. (1,

3)

32

3.将参数方程 ?

? x ? 2 ? sin 2 ? ? (? 为参数) 化为普通方程为( 2 ? ? y ? sin ?
B.
2



A.

y ? x?2

y ? x?2

C.

y ? x ? 2(2 ? x ? 3)


D.

y ? x ? 2(0 ? y ? 1)

4.化极坐标方程 ? A. x
2

cos? ? ? ? 0 为直角坐标方程为(
B. x

? y 2 ? 0或y ? 1

?1

C. x

2

? y 2 ? 0或x ? 1


D.

y ?1

5.点 M 的直角坐标是 (?1, A. (2,

3) ,则点 M

的极坐标为(

?
3

)

B. (2, ?

?
3

)

C. (2,

2? ) 3

D. (2, 2k? )

? ), (k ? Z ) 3

?

6.极坐标方程 ? cos ?

? 2sin 2? 表示的曲线为(
B.两条直线

A.一条射线和一个圆 七、1.直线 l 的参数方程为 ? 间的距离是( ) B. 2 t1

C.一条直线和一个圆

D.一个圆

?x ? a ? t (t为参数) ,l 上的点 P1 对应的参数是 t1 ,则点 P1 与 P(a, b) 之 y ? b ? t ?

A.

t1

C.

2 t1

D.

2 t1 2

1 ? ?x ? t ? 2.参数方程为 ? t (t为参数) 表示的曲线是( ? ?y ? 2
A.一条直线 B.两条直线 C.一条射线



D.两条射线

1 ? x ? 1? t ? 2 ? 3.直线 ? (t为参数) 和圆 x2 ? y 2 ? 16 交于 A, B 两点, ? y ? ?3 3 ? 3 t ? ? 2


AB 的中点坐标为(
B . (?



A. (3, ?3) 4.圆 ?

3,3)

C. (

3, ?3)


D. (3, ?

3)

? 5cos? ? 5 3sin ? 的圆心坐标是(
4? ) 3
B. (?5,

A. ( ?5, ?

?
3

)

C. (5,

?
3

)

D. ( ?5,

5? ) 3


5.与参数方程为 ?

? ?x ? t ? ? y ? 2 1? t

(t为参数) 等价的普通方程为(

33

A. x

2

?

y2 ?1 4 y2 ? 1(0 ? y ? 2) 4

B. x

2

?

y2 ? 1(0 ? x ? 1) 4 ? y2 ? 1(0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2) 4


C. x

2

?

D. x

2

6.直线 ?

? x ? ?2 ? t (t为参数) 被圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 25 所截得的弦长为( ? y ? 1? t

A.

98

B. 40

1 4

C.

82

D.

93 ? 4 3


八、1.把方程 xy
1 ? ?x ? t 2 A. ? 1 ? y ? t?2 ?

? 1 化为以 t 参数的参数方程是(

? x ? sin t ? B. ? 1 y? ? sin t ?

? x ? cos t ? C. ? 1 y? ? cos t ?


? x ? tan t ? D. ? 1 y? ? tan t ?

2.曲线 ?

? x ? ?2 ? 5t (t为参数) 与坐标轴的交点是( ? y ? 1 ? 2t
2 1 )、 ( , 0) 5 2
B. (0,

A. (0,

(8, 0) C. (0, ?4)、
3.直线 ?

1 1 )、 ( , 0) 5 2 5 (8, 0) D. (0, )、 9


? x ? 1 ? 2t (t为参数) 被圆 x2 ? y 2 ? 9 截得的弦长为( ?y ? 2 ? t
B.

12 5 9 5 C. 5
A.

12 5 5 9 10 D. 5
? x ? 4t 2 ? y ? 4t (t为参数) 上,

4.若点 P(3, m) 在以点 F 为焦点的抛物线 ?



PF

等于( B. 3 D. 5



A. 2 C. 4

5.极坐标方程 ? cos 2? A.极点 C.一条直线

? 0 表示的曲线为(



B.极轴 D.两条相交直线

6.在极坐标系中与圆 ?

? 4sin ? 相切的一条直线的方程为(



34

A. ? cos ? C. ?

?2

B. ? sin ?

?2

? 4 sin(? ?

?
3

)

D. ?

? 4 sin(? ? ) 3

?

填空题
参、5.把参数方程 ?

? x ? sin ? (α 为参数)化为普通方程,结果是 ? y ? cos? ? 1



15.把直角坐标系的原点作为极点,x 的正半轴作为极轴,并且在两种坐标系中取相同的长度单位, 若曲线的极坐标方程是 P
2

?

1 4 cos 2 ? ? 1

,则它的直角坐标方程是



六、1.直线 ?

? x ? 3 ? 4t (t为参数) 的斜率为______________________。 ? y ? 4 ? 5t

2.参数方程 ?

? x ? et ? e ? t ? (t为参数) 的普通方程为__________________。 t ?t ? ? y ? 2(e ? e )

3.已知直线 l1 : ?

? x ? 1 ? 3t (t为参数) 与直线 l2 : 2 x ? 4 y ? 5 相交于点 B ,又点 A(1, 2) , ? y ? 2 ? 4t



AB ? _______________。

1 ? x ? 2? t ? ? 2 (t为参数) 被圆 x2 ? y 2 ? 4 截得的弦长为______________。 4.直线 ? ? y ? ?1 ? 1 t ? ? 2

5.直线 x cos ?

? y sin ? ? 0 的极坐标方程为____________________。

35

1 ? ?x ? 1? 七、1.曲线的参数方程是 ? t (t为参数,t ? 0) ,则它的普通方程为__________________。 ? y ? 1? t2 ?
2.直线 ?

? x ? 3 ? at (t为参数) 过定点_____________。 ? y ? ?1 ? 4t
2

3.点 P(x,y)是椭圆 2 x

? 3 y 2 ? 12 上的一个动点,则 x ? 2 y 的最大值为___________。
? tan ? ? 1 cos ?
,则曲线的直角坐标方程为________________。

4.曲线的极坐标方程为 ?

5.设

y ? tx(t为参数) 则圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的参数方程为__________________________。

? x ? 2 pt 2 八、 1 .已知曲线 ? (t为参数,p为正常数) 上的两点 M , N ? y ? 2 pt
且t1 ? t2 ? 0 ,那么 MN
2.直线 ? =_______________。

对应的参数分别为 t1和t2, ,

? ? x ? ?2 ? 2t ? ? y ? 3 ? 2t

(t为参数) 上与点 A(?2,3) 的距离等于 2 的点的坐标是_______。

3.圆的参数方程为 ?

? x ? 3sin ? ? 4cos ? (? 为参数) ,则此圆的半径为_______________。 ? y ? 4sin ? ? 3cos ?

4.极坐标方程分别为 ?

? cos ?

与?

? sin ? 的两个圆的圆心距为_____________。

5.直线 ?

? x ? t cos ? ? y ? t sin ?

与圆 ?

? x ? 4 ? 2cos ? 相切,则 ? ? _______________。 ? y ? 2sin ?

解答题

36

参、3.如图,过点 M (-2, 0) 的直线ι 依次与圆(x +

9 2

) + y = 16 和抛物线 y = - 4x

2

2

2

交于 A、B、C、D 四点,且|AB| = |CD|,求直线ι 的方程。

\

4.过点 P(-2, 0) 的直线ι 与抛物线 y = 4x 相交所得弦长为 8,求直线ι 的方程。

2

5.求直线 ?

? x ? ?1 ? t ? y ? ?2 ? 3t

( t 为参数)被抛物线 y = 16x 截得的线段 AB 中点 M 的坐

2

标及点 P(-1, -2) 到 M 的距离。

37

8.A 为椭圆

x2 y2 + 25 9

=1 上任一点,B 为圆( x - 1) + y = 1 上任一点,求 | AB | 的

2

2

最大值和最小值 。

9.A、B 在椭圆

x2 a2

+

y2 b2

= 1(a > b > 0)上,OA⊥OB,求△AOB 面积的最大值和最小值。

x2 10.椭圆 2 a

y2 + 2 b
? ?

=1(a > b > 0)的右顶点为 A,中心为 O,若椭圆在第 一象限的弧

上存在点 P,使∠OPA=90°,求离心率的范围。 一 1、求圆心为 C ? 3,

??

? ,半径为 3 的圆的极坐标方程。 6?

38

2、已知直线 l 经过点 P(1,1),倾斜角 ? (1)写出直线 l 的参数方程。 (2)设 l 与圆 x
2

?

?
6



? y 2 ? 4 相交与两点 A、B,求点 P 到 A、B 两点的距离之积。

3、求椭圆

x2 y2 1, 0)之间距离的最小值。 ? ? 1 上一点P与定点( 9 4

三、18. 求直线?

?x ? 2 ? t (t为参数)被双曲线 x 2 ? y 2 ? 1上截得的弦长。 ? y ? 3t

39

四、14.设椭圆 4x +y =1 的平行弦的斜率为 2,求这组平行弦中点的轨迹.

2

2

五、19. ?ABC 的底边 BC

? 10, ?A ?

1 ?B, 以 B 点为极点,BC 2

为极轴,求顶点 A 的轨迹方程。

20.在平面直角坐标系中已知点 A(3,0) ,P 是圆珠笔 交 PA 于 Q 点,求 Q 点的轨迹的极坐标方程。

?x

2

? y 2 ? 1 上一个运点,且 ?AOP 的平分线
P Q O A

?

40

六 1.已知点 P( x, y) 是圆 x (1)求 2 x ? (2)若 x ?

2

? y 2 ? 2 y 上的动点,

y 的取值范围;

y ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。

\\\\

2.求直线 l1 : ?

? ?x ? 1? t (t为参数) 和直线 l2 : x ? y ? 2 3 ? 0 的交点 P 的坐标,及点 P y ? ? 5 ? 3 t ? ?

与 Q(1, ?5) 的距离。

\\

3.在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上找一点,使这一点到直线 x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离的最小值。 16 12

41

七、1.参数方程 ?

? x ? cos ? (sin ? ? cos ? ) (? 为参数) 表示什么曲线? ? y ? sin ? (sin ? ? cos ? )

2.点 P 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上,求点 P 到直线 3x ? 4 y ? 24 的最大距离和最小距离。 16 9

\

3.已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? (1)写出直线 l 的参数方程。 (2)设 l 与圆 x
2

?

?
6



? y 2 ? 4 相交与两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积。

42

1 ? x ? (et ? e ? t ) cos ? ? ? 2 八、1.分别在下列两种情况下,把参数方程 ? 化为普通方程: ? y ? 1 (et ? e ? t ) sin ? ? ? 2
(1) ? 为参数, t 为常数; (2) t 为参数, ? 为常数;

2.过点 P (

10 , 0) 作倾斜角为 ? 的直线与曲线 x2 ? 12 y2 ? 1 交于点 M , N , 2
的最小值及相应的 ? 的值。



PM ? PN

43















练 题 型 大 全 答案 田硕

27.A 【习题分析】 与点 M(ρ ,θ )关于极轴对称的点有(ρ ,-θ )或(-ρ ,π -θ ),关于θ =

? 2

所在直线对称的点有(-ρ ,-θ )或

(ρ ,π -θ ),关于极点对称的点有(-ρ ,θ )或(ρ ,π +θ )。掌握好点与极坐标的对应关系,及点之间特殊的对 称关系是很有用处的。 28.D 【习题分析】

5 1 ? cos ? 2 化为 4P ? =5。即ρ = 2 1 ? cos?
圆、圆锥曲线等,因此需化为相应方程即可。 29.C 【习题分析】

,表示抛物线,应选 D。判断曲线类型一般不外乎直线、

点 P2 坐标为(-ρ 1, 2π -θ 1)也即为(ρ 1, 3π -θ 1), ∴点 P1、P2 关于θ =

? 2

所在直线对称,应选 C。

判断点的对称,应记忆好相应坐标之间的关系,必要时 可结合图形。 30.B 【习题分析】

先将椭圆方程化为普通方程,得:

( x ? 3) 2 9

+

( y ? 1) 2 25

=1。

然后由平移公式 ?

? x ? x`?3 。 ? y ? y`?1

及在新系中焦点(0, ±4)可得答案,应选 B。 【填空】 5.x2+(y-1) 2=1 【习题分析】 将原方程变形为 ?

? x ? sin ? ,两边相加即可得 x2 + (y - 1)2 =1。 ? y ? 1 ? cos?

15.3x2-y2=1 【习题分析】

44

原方程可化为 4ρ 2cos2θ -ρ 2 =1。将ρ cosθ = x, p2 = x2 + y2 代入上式,得 4x2 - x2 - y2 = 1,即 3x2 - y2 = 1。 【计算】 3.x=-2 或 2x-y+4=0 或 2x=y=4=0 【习题分析】 设直线的参数方程为 ? | = | CD |

? x ? ?2 ? t cos? (t ? y ? t sin ?

为参数) 代入圆的方程和抛物线的方程,化简并利用| AB

? tA + tD = tC + tB,
3 ( x ? 2) 3

根据韦达定理可迅速获解。

4.

y??

【习题分析】

设: ?

? x ? ?2 ? t cos? ? y ? 0 ? t sin ?

( t 为参数),α 为直线ι 的倾角,

代入抛物线方程整理得: ι
2

sin2α - (4cosα ) t + 8 = 0

由韦达定理得 t1 + t2 =

4 cos ? sin 2 ?

t1 ? t2 =

8 sin 2 ?



弦长| t1 - t2 | = 8,整理得 4sin4α + 3sin2α -1 = 0

解得 sin2α =

1 4 5 6

∴sinα = ±

1 2

0 ≤α <π



α=

? 6



π

即所求直线ι 的方程为 y = ±

3 3

(x + 2)

5.

2 3?5 8 3 , 3 3



4 3 ? 16 3

【习题分析】 不能把原参数方程直接代入 y = 16x2 中,因为原参数不是 标准式,不具有几何意义,在求 | PM | 时 不用两点间距离 公式,而用参数的几何意义直接得出。 因而解本题用到两个结论:1. 弦的中点对应参 数为: t=

t1 ? t 2 2

,2.

点 P(直线经过的定点)到弦中点 M 的距离|PM=|

t1 ? t 2 2

|

45

6. 17

2

【习题分析】



x2 4

+y2=1 有 P(2cosθ ,sinθ ),则 2x+y=4cosθ +sinθ =

17

sin(θ +φ )(tanφ = 4),

∴(2x + y)大=

17 。

若已知椭圆(圆或双曲线)上一点,用参数方程来设坐标较方便,用此法可以解决 Ax + By 型的最值问题。

8.7,

3 15 ?1 4

【习题分析】 圆心 C (1, 0) , 求|AB|的最值, 只需求 AC 的最值, 设A (5cosθ ,3sinθ ) 用两点间距离公式求解|AC|。 解决本题的关键在于将圆上的动点 B 转化到定点—圆心 C。

9.

ab 2



a 2b 2 a2 ? b2

【习题分析】 从椭圆中心(抛物线顶点)出发的线段长有关的问题,可将 ? 为极坐标方程, 设 A( ρ 1,θ ) ,B(ρ 2,θ ± S△AOB=

? x ? p cos? ? y ? p sin ?

直接代入普通方程,转化

? 2

)则有

1 2

| ρ 1ρ 2 | 进一步处理。

10.

2 2

≤e<1

【习题分析】 设 P(acosθ , bsinθ )(0 <θ < 90°), ∵∠OPA=90° ∴有

b sin ? a cos ?

?

b sin ? = -1 ? a cos ? ? a

(a2-b2)cos2θ - acos2θ + b2=0

解得 cosθ =

b2 a2 ? b2

或 cosθ =1(舍)。

b2 ∴当 2 a ? b2

≤1,即 a ≥

2 b,也即

2 2

≤e < 1 时,

存在这样的点 P,使∠OPA=90°。

46

练习 1 参考答案 三、解答题 1、1、如下图,设圆上任一点为 P( ? ,? ) ,则 ? OP ? ?

? ?,?POA ? ? ? , ? OA? ? 2 ? 3 ? 6
6

Rt?OAP中, ?OP? ? ?OA? ? cos ?POA

2 ?? ? ?? ? 6 c o? s? ? ? 而点 O (0, ? ) 6? 3 ?
P A C O x

A (0,

?
6

) 符合

? 3 x ? 1? t, ? ? 2 (t是参数) 2、解: (1)直线的参数方程是 ? ? y ? 1 ? 1 t; ? 2 ?
(2)因为点 A,B 都在直线 l 上,所以可设它们对应的参数为 t1 和 t2,则点 A,B 的坐标分别为

A(1 ?

3 1 3 1 t1 ,1 ? t1 ), B(1 ? t 2 ,1 ? t 2 ) 2 2 2 2
2

以直线 L 的参数方程代入圆的方程 x

? y 2 ? 4 整理得到

t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0



因为 t1 和 t2 是方程①的解,从而 t1t2=-2。 所以|PA|?|PB|= |t1t2|=|-2|=2。 3、 (先设出点 P 的坐标,建立有关距离的函数关系)

设P ? 3cos ?, 2sin ? ?,则P到定点( 1, 0)的距离为 d ?? ? ?

? 3cos? ? 1? ? ? 2sin ? ? 0 ?
2

2

3 ? 16 ? ? 5cos ? ? 6cos ? ? 5 ? 5 ? cos ? ? ? ? 5? 5 ?
2

2

3 4 5 当c o s ? ? 时,d ?? 取最小值 ) 5 5

练习 3 参考答案

47

1 ? x ? 2? t ? 2 ? 18.解:把直线参数方程化为标准参数方程 ? (t 为参数) ?y ? 3 t ? 2 ?
1 ? ? 3 ? 代入x ? y ? 1,得: t ?2 ? t ? ? ? 2 ? ? ? ? 2
2 2 2

? ? ?1 ? ?

2

整理,得: t 2 ? 4t ? 6 ? 0 设其二根为 t1 ,t 2 ,则 t1 ? t 2 ? 4,t1 ?t 2 ? ?6
从而弦长为AB ? t1 ? t 2 ?

?t1 ? t 2 ?2 ? 4t1 t 2
练习 4 参考答案

? 4 2 ? 4?? 6? ? 40 ? 2 10

14.取平行弦中的一条弦 AB 在 y 轴上的截距 m 为参数,并设 A(x1,

设弦 AB 的中点为 M(x,y),则

极坐标与参数方程单元练习 5 三.解答题(共 75 分)

练习 5 参考答案 48

19.解:设 M

?? ,? ? 是曲线上任意一点,在 ?ABC
?
3 sin(? ? ? ) 2
? 30 ? 40 sin

中由正弦定理得:

?

10 sin

?
2

得 A 的轨迹是: ?

2

?
2

20.解:以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设 Q

?? ,? ? , P?1,2? ?

? S ?OQA ? S ?OQP ? S ?OAP
1 1 1 ? ? 3? sin ? ? ? sin ? ? ? 3 ? 1 ? sin 2? 2 2 2 3 ? ? cos ? 2
坐标系与参数方程单元练习 6 坐标系与参数方程单元练习 6 参考答案 一、选择题 1. D 2.B 3. C

k?

y ? 2 ?3t 3 ? ?? x ? 1 2t 2

转化为普通方程: 转化为普通方程:

y 2 ? 1 ? x ,当 x ? ?

3 1 时, y ? 4 2

y ? x ? 2 ,但是 x ?[2,3], y ?[0,1]

4. C 5. C 6. C

? ( ? cos ? ? 1) ? 0, ? ? x 2 ? y 2 ? 0, 或? cos ? ? x ? 1
(2, 2k? ? 2? ), (k ? Z ) 都是极坐标 3

? cos? ? 4sin ? cos? ,cos? ? 0, 或? ? 4sin ? ,即? 2 ? 4? sin ?
则?

? k? ?

?
2

, 或 x2 ? y 2 ? 4 y

二、填空题 1. ?

5 4
2

k?

y?4 ?5 t 5 ? ?? x ?3 4 t 4

2.

x y ? ? 1, ( x ? 2) 4 16

2

y ? ? x ? et ? e ? t x ? ? 2et ? y y ? ? 2 ? ? ( x ? ) ( x ? ? ) ?y ? t ?t y 2 2 ? e ? e ? t ? ? x ? ? 2e ?2 ? ? 2

4

3.

5 2

将?

? x ? 1 ? 3t 1 5 5 ) A(1, 2,得 ) AB ? 代入 2 x ? 4y ? 5 得 t ? ,则 B ( , 0 ,而 2 2 2 ? y ? 2 ? 4t
49

4.

14

直线为

x ? y ?1 ? 0

,圆心到直线的距离

d?

1 2 ? 2 2

,弦长的一半为

22 ? (
5. ?

2 2 14 ) ? 2 2

,得弦长为

14

?

?
2

??

? cos? cos ? ? ? sin ? sin ? ? 0,cos(? ? ? ) ? 0 ,取 ? ? ? ?
? x ? cos ? ? y ? 1 ? sin ?

?
2

三、解答题 1.解: (1)设圆的参数方程为 ? ,

2x ? y ? 2cos? ? sin ? ? 1 ? 5 sin(? ? ? ) ?1 ?? 5 ?1 ? 2x ? y ? 5 ?1
(2) x ?

y ? a ? cos ? ? sin ? ? 1 ? a ? 0

? a ? ?(cos ? ? sin ? ) ? 1 ? ? 2 sin(? ? ) ? 1 4 ? a ? ? 2 ?1
2.解:将 ?

?

? ?x ? 1? t 代入 x ? y ? 2 3 ? 0 得 t ? 2 3 , ? ? y ? ?5 ? 3t

得 P(1 ? 2

3,1) ,而 Q(1, ?5) ,得 PQ ? (2 3)2 ? 62 ? 4 3
4 cos ? ? 4 3 sin ? ? 12 ? ? x ? 4 cos ? ,d ? 5 ? ? y ? 2 3 sin ?

3.解:设椭圆的参数方程为 ?

?

4 5 4 5 ? cos? ? 3 sin ? ? 3 ? 2cos(? ? ) ? 3 5 5 3
?

当 cos(?

?
3

) ? 1 时, d min ?

4 5 ,此时所求点为 (2, ?3) 。 5

坐标系与参数方程单元练习 7 参考答案 一、选择题 1. C 2. D 距离为

t12 ? t12 ? 2 t1

y ? 2 表示一条平行于 x 轴的直线,而 x ? 2, 或x ? ?2 ,所以表示两条射线

50

3. D

t ?t 1 3 2 (1 ? t )2 ? (?3 3 ? t ) ? 16 ,得 t 2 ? 8t ? 8 ? 0 , t1 ? t2 ? 8, 1 2 ? 4 2 2 2

1 ? x ? 1? ? 4 ? ? 2 ? ?x ? 3 中点为 ? ?? ?y ? ? 3 ? y ? ?3 3 ? 3 ? 4 ? ? ? 2
4. A 圆心为 (

5 5 3 ,? ) 2 2
y2 y2 ? 1 ? t ? 1 ? x2 , x2 ? ? 1, 而t ? 0, 0 ? 1 ? t ? 1, 得0 ? y ? 2 4 4

5. D

x2 ? t,

6. C

? 2 x ? ?2 ? 2t ? ? x ? ? 2 ? t ? ? 2 ,把直线 ? x ? ?2 ? t 代入 ?? ? ? ? y ? 1? t ? y ? 1? t ? y ? 1 ? 2t ? 2 ? ? 2

( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 25 得 (?5 ? t )2 ? (2 ? t )2 ? 25, t 2 ? 7t ? 2 ? 0
t1 ? t2 ? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? 41 ,弦长为 2 t1 ? t2 ? 82
二、填空题 1.

y?

x( x ? 2) ( x ? 1) ( x ? 1) 2


1 1 1? x ? ,t ? , 而 y ? 1? t 2 , t 1? x

1 2 x( x ? 2) y ? 1? ( ) ? ( x ? 1) 1? x ( x ? 1) 2

2. (3, ?1)

y ?1 4 ? , ?( y ? 1)a ? 4x ? 1 2? 对于任何 0 a 都成立,则 x ? 3 ,且y ? ? 1 x?3 a
椭圆为

3.

22

x2 y 2 ? ? 1 ,设 P( 6 cos? , 2sin ? ) , 6 4

x ? 2 y ? 6 cos? ? 4sin ? ? 22 sin(? ? ? ) ? 22
4. x
2

?y

? ? t a n? ?

1 sin ? ? ,? c 2 o s? ? 2 cos ? c o? s

s i?n 2?,

2

c? o ?s

?

s ?i 即 xn ? ,y
2

4t ? x? ? ? 1? t2 5. ? 2 ? y ? 4t ? 1? t2 ?

x2 ? (tx)2 ? 4tx ? 0 ,当 x ? 0 时, y ? 0 ;当 x ? 0 时, x ?

4t 1? t2



51

4t ? x? ? 4t ? 1? t2 而 y ? tx ,即 y ? ,得 ? 2 1? t2 ? y ? 4t ? 1? t2 ?
2

三、解答题

1.解:显然

y ? tan ? x

,则

y2 1 1 ?1 ? , cos 2 ? ? 2 2 2 y x cos ? ?1 x2

1 1 2 tan ? x ? cos 2 ? ? sin ? cos ? ? sin 2? ? cos 2 ? ? ? ? cos 2 ? 2 2 2 1 ? tan ? y y 2 ?1 1 1 y2 y x x 即x? ? ? ? , x (1 ? ) ? ?1 2 2 2 2 y y y 2 x x 1? 2 1? 2 1? 2 x x x
得x?

y2 y ? ? 1 ,即 x2 ? y 2 ? x ? y ? 0 x x ? 12cos ? ? 12sin ? ? 24 5

2.解:设 P(4cos ? ,3sin ? ) ,则 d

12 2 cos(? ? ) ? 24 4 即d ? 5
当 cos(? 当 cos(?

?



? ?

?
?
4 4

) ? ?1 时, d max ? ) ? 1 时, d min

12 (2 ? 2) ; 5 12 ? (2 ? 2) 。 5

? ? x ? 1 ? t cos ? ? 6 3.解: (1)直线的参数方程为 ? ? y ? 1 ? t sin ? ? 6 ?

? 3 x ? 1? t ? ? 2 ,即 ? ? y ? 1? 1 t ? ? 2

? 3 x ? 1? t ? ? 2 2 2 (2)把直线 ? 代入 x ? y ? 4 ? y ? 1? 1 t ? ? 2
得 (1 ?

3 2 1 t ) ? (1 ? t )2 ? 4, t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0 2 2

t1t2 ? ?2 ,则点 P 到 A, B 两点的距离之积为 2
52

坐标系与参数方程单元练习 8 参考答案 一、选择题 1. D 2.B

xy ? 1 , x 取非零实数,而 A,B,C 中的 x 的范围有各自的限制
2 1 1 ,而 y ? 1 ? 2t ,即 y ? ,得与 y 轴的交点为 (0, ) ; 5 5 5 1 1 1 当 y ? 0 时, t ? ,而 x ? ?2 ? 5t ,即 x ? ,得与 x 轴的交点为 ( , 0) 2 2 2
当x

? 0 时, t ?

3.B

? x ? 1 ? 5t ? ? x ? 1 ? 2t ? ? ?? ? ?y ? 2 ? t ? y ? 1 ? 5t ? ? ?

2 ? x ? 1 ? 2t 5 ,把直线 ? 代入 1 ?y ? 2 ?t 5

x2 ? y 2 ? 9 得 (1 ? 2t )2 ? (2 ? t )2 ? 9,5t 2 ? 8t ? 4 ? 0
12 8 16 12 5 t1 ? t2 ? (t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ? (? )2 ? ? ,弦长为 5 t1 ? t2 ? 5 5 5 5
4. C 5. D 6. A 抛物线为

y 2 ? 4x ,准线为 x ? ?1 , PF

为 P(3, m) 到准线 x

? ?1 的距离,即为 4

? cos 2? ? 0, cos 2? ? 0, ? ? k? ?

?
4

,为两条相交直线

? ? 4sin ? 的普通方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 , ? cos? ? 2 的普通方程为 x ? 2
圆x
2

? ( y ? 2)2 ? 4 与直线 x ? 2 显然相切

二、填空题 1. 4 p

t1

显然线段 MN 垂直于抛物线的对称轴。即 x 轴,

M N ? 2 p 1t ? 2t ?2 p 21t

2. (?3, 4) ,或 (?1, 2)

1 2 2 (? 2t )2 ? ( 2t ) 2 ? ( 2) , t 2 ? ,t ? ? 2 2

3. 5

由?

? ? 4 c? os 2 ?x ? 3 s i n 2 得 x ? y ? 25 ? ? 3 c? os ?y ? 4 s i n
圆心分别为 (

4.

2 2

1 1 , 0和 ) (0, ) 2 2

5.

? 6

,或

5? 6

直线为

y ? xtan ? ,圆为 ( x ? 4)2 ? y 2 ? 4 ,作出图形,相切时,

易知倾斜角为 三、解答题

? 6

,或

5? 6

53

1.解: (1)当 t 当t

? 0 时, y ? 0, x ? cos ? ,即 x ? 1, 且y ? 0 ; ? 0 时, cos ? ?

x 1 t ?t (e ? e ) 2
x2

,sin ? ?

y 1 t ?t (e ? e ) 2
?1

而x

2

? y 2 ? 1,即

1 t (e ? e ? t ) 2 4

?

y2 1 t (e ? e ? t ) 2 4

(2)当 ?

1 ? k? , k ? Z 时, y ? 0 , x ? ? (et ? e?t ) ,即 x ? 1, 且y ? 0 ; 2 ? 1 t ?t 当 ? ? k? ? , k ? Z 时, x ? 0 , y ? ? (e ? e ) ,即 x ? 0 ; 2 2

2x ? t ?t e ?e ? ? k? ? cos ? , k ? Z 时,得 ? 当? ? 2 ?e t ? e ? t ? 2 y ? sin ? ?
得 2e
t

2x 2y ? t 2e ? ? ? ? cos ? sin ? ,即 ? ? 2e ? t ? 2 x ? 2 y ? cos ? sin ? ?

? 2e ?t ? (

2x 2y 2x 2y ? )( ? ) cos ? sin ? cos ? sin ?



x2 y2 ? ?1。 cos 2 ? sin 2 ?

? 10 ? t cos ? ?x ? 2.解:设直线为 ? (t为参数) ,代入曲线并整理得 2 ? y ? t sin ? ?
(1 ? sin 2 ? )t 2 ? ( 10 cos ? )t ? 3 ?0 2

3 2 则 PM ? PN ? t1t2 ? 1 ? sin 2 ? ? 2 所以当 sin ? ? 1 时,即 ? ? , PM ? PN 2

的最小值为

3 4

,此时 ?

?

?
2



54


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