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【红对勾】2016-2017学年高中数学必修二(人教A版):模块综合测试


模块综合试题
时间:120 分钟 分值:150 分

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.下列命题正确的是( )

A.四条线段顺次首尾连接,所得的图形一定是平面图形 B.一条直线和两条平行直线都相交,则三条直线共面 C.两两平行的三条直线一定确定三个平面 D.和两条异面直线都相交的直线一定是异面直线 解析:此题主要考查三个公理及推论的应用,两条平行线确定一 个平面,第三条直线与其相交,由公理 1 可知,这三条直线共面,故 B 正确. 答案:B 2.已知直线(a-2)x+ay-1=0 与直线 2x+3y+5=0 平行,则 a 的值为( A.-6 4 C.-5 ) B.6 4 D.5

a-2 2 解析:由题意可知两直线的斜率存在,且- a =-3,解得 a= 6.

答案:B 3.圆台侧面的母线长为 2a,母线与轴的夹角为 30° ,一个底面的 半径是另一个底面半径的 2 倍.求两底面的面积之和是( A.3πa2 C.5πa2 B.4πa2 D.6πa2 )

解析:设圆台上底面半径为 r,则下底面半径为 2r,如图所示, ∠ASO=30° , 在 Rt△SA′O′中, ∴SA′=2r. 2r 在 Rt△SAO 中,SA=sin30° , ∴SA=4r.∴SA-SA′=AA′, 即 4r-2r=2a,r=a. ∴S=S1+S2=πr2+π(2r)2=5πr2=5πa2. 答案:C 4.若直线 l 过点 A(3,4),且点 B(-3,2)到直线 l 的距离最远,则 直线 l 的方程为( ) B.3x-y+5=0 D.3x+y-13=0 r =sin30° , SA′

A.3x-y-5=0 C.3x+y+13=0

解析:当 l⊥AB 时,符合要求. 4-2 1 ∵kAB= = ,∴l 的斜率为-3, 3+3 3 ∴直线 l 的方程为 y-4=-3(x-3),即 3x+y-13=0. 答案:D 5.过原点且倾斜角为 60° 的直线被圆 x2+y2-4y=0 所截得的弦 长为( A. 3 C. 6 ) B.2 D.2 3

解析:直线方程为 y= 3x,圆的标准方程为 x2+(y-2)2=4,圆 心(0,2)到直线 y= 3x 的距离 d= 2 22-12=2 3. 答案:D 6.如图,在三棱锥 S-ABC 中,G1,G2 分别是△SAB 和△SAC 的重心,则直线 G1G2 与 BC 的位置关系是( A.相交 C.异面 B.平行 D.以上都有可能 ) | 3×0-2| ? 3?2+?-1?2 =1.故所求弦长 l=

题图

答图

解析:连接 SG1,SG2 并延长分别交 AB 于点 M,交 AC 于点

SG1 SG2 N.∵G M=G N,∴G1G2∥MN. 1 2 ∵M,N 分别为 AB,AC 的中点, ∴MN∥BC.故 G1G2∥BC. 答案:B 7.棱锥被平行于底面的平面所截,当截面分别平分棱锥的侧棱、 侧面积、体积时,相应的截面面积分别为 S1,S2,S3,则( A.S1<S2<S3 C.S2<S1<S3 B.S3<S2<S1 D.S1<S3<S2
? ?

)

S ?2? 解析:设棱锥的底面面积为 S.由截面的性质,可知S =?1?2?S1
1

? 1 S 2 1 =4S;S =1?S2=2S;? ? 2

1 S ?3 2 ? = ?S3= S,故 S1<S2<S3. S3? 1 3 4

答案:A 8.在圆的方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 中,若 D2=E2>4F,则圆 的位置满足( )

A.截两坐标轴所得弦的长度相等 B.与两坐标轴都相切 C.与两坐标轴相离 D.上述情况都有可能 解析:在圆的方程中令 y=0 得 x2+Dx+F=0. ∴圆被 x 轴截得的弦长为|x1-x2|= D2-4F. 同理得圆被 y 轴截得的弦长为 E2-4F= D2-4F.故选 A.

答案:A 9.在如图所示的空间直角坐标系 O-xyz 中,一个四面体的顶点 坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①,②,③, ④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( )

A.①和②

B.③和①

C.④和③

D.④和②

解析:由三视图可知,该几何体的正视图显然是一个直角三角形 (三个顶点坐标分别是(0,0,2),(0,2,0),(0,2,2))且内有一虚线(一直角顶 点与另一直角边中点的连线),故正视图是④;俯视图在底面射影是一 个斜三角形,三个顶点坐标分别是(0,0,0),(2,2,0),(1,2,0),故俯视图 是②.故选 D. 答案:D 10.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是正方形 ADD1A1 和正方形 ABCD 的中心,G 是 CC1 的中点,设 GF,C1E 与 AB 所成 的角分别为 α,β,则 α+β 等于( )

A.120° B.90° C.75° D.60° 解析:根据异面直线所成角的定义知 α+β=90° . 答案:B 11.已知点 P(x,y)是直线 kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB

是圆 C:x2+y2-2y=0 的两条切线,A,B 是切点.若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k 的值为( )

21 A. 2 B. 2 C.2 2 D.2 解析:圆心 C(0,1)到 l 的距离 d= 5 . k2+1

1 ∴四边形面积的最小值为 2(2×1× d2-1)=2, ∴k2=4,即 k=± 2.又 k>0,∴k=2. 答案:D 12.在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,沿 AC 将矩形 ABCD 折 成一个直二面角 B - AC - D ,则四面体 ABCD 的外接球的体积为 ( ) 125π 125π 125π 125π A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 解析:取 AC 的中点 O. 由 O 到各顶点距离相等,知 O 是球心. 5 设外接球的半径为 R,则 2R=5,R=2. 4 ?5? 125π 故外接球的体积 V 球=3π?2?3= 6 .
? ?

答案:C 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13. 经过两条直线 2x+y+2=0 和 3x+4y-2=0 的交点, 且垂直 于直线 3x-2y+4=0 的直线方程为________.
? ?3x+4y-2=0, 解析:由方程组? 得交点 A(-2,2).因为所求直 ?2x+y+2=0, ?

2 线垂直于直线 3x-2y+4=0,故所求直线的斜率 k=-3.由点斜式得 2 所求直线方程为 y-2=-3(x+2),即 2x+3y-2=0. 答案:2x+3y-2=0 14.长方体被一平行于棱的平面截成体积相等的两个几何体,其 中一个几何体的三视图如图所示,则长方体的体积为________.

解析:由三视图可知这个长方体的长、宽、高分别为 3,4,4,所以 长方体的体积为 3×4×4=48. 答案:48 15.侧棱长为 a 的正三棱锥 P-ABC 的侧面都是直角三角形,且 四个顶点都在一个球面上,则该球的表面积为________. 解析:侧棱长为 a 的正三棱锥 P-ABC 其实就是棱长为 a 的正方

3a 体的一角,所以球的直径就是正方体的对角线,所以球的半径为 2 , 该球的表面积为 3πa2. 答案:3πa2 16.若⊙O1:x2+y2=5 与⊙O2:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于 A,B 两点,且两圆在点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是 ________. 解析:由题知 O1(0,0),O2(m,0),且 5<|m|<3 5,又 O1A⊥AO2, 则有 m2=( 5)2+(2 5)2=25,得 m=± 5.故|AB|=2× 答案:4 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)已知直线 l 平行于直线 3x+4y-7=0,并且与两坐标 轴围成的三角形的面积为 24,求直线 l 的方程. 解:设 l:3x+4y+m=0. m 当 y=0 时,x=- 3 ; m 当 x=0 时,y=- 4 . ∵直线 l 与两坐标轴围成的三角形面积为 24, 1 m m ∴2· |- 3 |· |- 4 |=24. ∴m=± 24. ∴直线 l 的方程为 3x+4y+24=0 或 3x+4y-24=0. 18.(12 分)已知一个组合体的三视图如图所示,请根据具体的数 5× 20 =4. 5

据,计算该组合体的体积.

解:由三视图可知此组合体的结构为:上部是一个圆锥,中部是 一个圆柱,下部也是一个圆柱,由题图中的尺寸可知:上部圆锥的体 积V
圆锥

1 8π =3π×22×2= 3 ,中部圆柱的体积 V

圆柱

=π×22×10=40π,

8π 下部圆柱的体积 V′圆柱=π×42×1=16π, 故此组合体的体积 V= 3 + 176π 40π+16π= 3 . 19.(12 分)求过点 A(-2,-4)且与直线 l:x+3y-26=0 相切于 点 B(8,6)的圆的方程. 解:设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, D E 则圆心 C(- 2 ,- 2 ).∴kCB= E 6+ 2

D. 8+ 2

1 ∵kCB· kl=-1,∴ D· (-3)=-1.① 8+ 2 又有(-2)2+(-4)2-2D-4E+F=0,② 82+62+8D+6E+F=0,③ 所以解①②③可得 D=-11,E=3,F=-30. ∴所求圆的方程为 x2+y2-11x+3y-30=0.

E 6+ 2

20.(12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,△PAB 是正三角形,四 边形 ABCD 是矩形,且平面 PAB⊥平面 ABCD,PA=2,PC=4. (1)若点 E 是 PC 的中点,求证:PA∥平面 BDE; (2)若点 F 在线段 PA 上,且 FA=λPA,当三棱锥 B-AFD 的体积 4 为3时,求实数 λ 的值. 解:(1)证明:如图(1),连接 AC,设 AC∩BD=Q,连接 EQ. 因为四边形 ABCD 是矩形,所以点 Q 是 AC 的中点. 又点 E 是 PC 的中点,则在△PAC 中,中位线 EQ∥PA, 又 EQ?平面 BDE,PA?平面 BDE,所以 PA∥平面 BDE.

(2)依据题意可得:PA=AB=PB=2,取 AB 中点 O,连接 PO.所 以 PO⊥AB,且 PO= 3. 又平面 PAB⊥平面 ABCD,平面 PAB∩平面 ABCD=AB,PO? 平面 PAB,则 PO⊥平面 ABCD(如图(2)); 作 FM∥PO 交 AB 于点 M,则 FM⊥平面 ABCD. 因为四边形 ABCD 是矩形,所以 BC⊥AB. 同理,可证 BC⊥平面 PAB, PB?平面 PAB,则△PBC 是直角三角形. 所以 BC= PC2-PB2=2 3. 则直角三角形 ABD 的面积为 1 S△ABD=2AB· AD=2 3. 4 1 2 3 所以3=VB-AFD=VF-ABD=3S△ABD· FM= 3 FM 2 3 `?FM= 3 . 2 3 3 FM FA 2 由 FM∥PO,得 PO =PA=λ? =λ?λ=3. 3

21. (12 分)如图, 在直角梯形 ABCD 中, ∠A=∠D=90° , AB<CD, SD⊥平面 ABCD,AB=AD=a,SD= 2a. (1)求证:平面 SAB⊥平面 SAD. CD (2)设 SB 的中点为 M,当AB为何值时,能使 DM⊥MC?请给出 证明. 解:(1)证明:∵∠BAD=90° ,∴AB⊥AD. 又∵SD⊥平面 ABCD,AB?平面 ABCD,∴SD⊥AB. 又∵SD∩AD=D,∴AB⊥平面 SAD. 又∵AB?平面 SAB,∴平面 SAB⊥平面 SAD. CD (2)当AB=2 时,能使 DM⊥MC.

证明:连接 BD, ∵∠BAD=90° ,AB=AD=a,

∴BD= 2a,∠BDA=45° , ∴SD=BD. 又∵M 为 SB 的中点, ∴DM⊥SB.① 设 CD 的中点为 P,连接 BP, ∴DP∥AB,且 DP=AB. 故四边形 ABPD 是平行四边形. ∴BP∥AD.故 BP⊥CD. 因而 BD=BC. 又∵∠BDC=90° -∠BDA=45° , ∴∠CBD=90° ,即 BC⊥BD. 又∵BC⊥SD,BD∩SD=D,∴BC⊥平面 SBD. 又∵DM?平面 SBD,∴DM⊥BC.② 由①②知 DM⊥平面 SBC, 又∵MC?平面 SBC,∴DM⊥MC.

22.(12 分)如图,已知圆心坐标为( 3,1)的圆 M 与 x 轴及直线 y = 3x 分别相切于 A,B 两点,另一圆 N 与圆 M 外切,且与 x 轴及直 线 y= 3x 分别相切于 C,D 两点.

(1)求圆 M 与圆 N 的方程; (2)过点 B 作直线 MN 的平行线 l,求直线 l 被圆 N 截得的弦的长 度. 解:(1)∵点 M 的坐标为( 3,1),∴M 到 x 轴的距离为 1,即圆 M 的半径为 1,则圆 M 的方程为(x- 3)2+(y-1)2=1.

设圆 N 的半径为 r,连接 MA,NC,OM,则 MA⊥x 轴,NC⊥x 轴, 由题意知:M,N 点都在∠COD 的平分线上, ∴O,M,N 三点共线. 由 Rt△OAM∽Rt△OCN 可知,OM ON=MA NC, 即 2 1 = r ?r=3,则 OC=3 3, 3+r

则圆 N 的方程为(x-3 3)2+(y-3)2=9. (2)由对称性可知, 所求的弦长等于过 A 点与 MN 平行的直线被圆 3 N 截得的弦的长度, 此弦的方程是 y= 3 (x- 3), 即 x- 3y- 3=0, 3 圆心 N 到该直线的距离 d= 2 , 则弦长为 2 r2-d2= 33.


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