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天津市南开中学高二数学必修5导学案:1.2应用举例(2)


复习 2:在 ? ABC 中, a 、b、c 分别为 ? A、 ? B、 ? C 的对边,若 a : b : c =1:1: 3 , 求 A:B:C 的值.

二、新课导学 ◆ 典型例题 例 1. 如图,一艘海轮从 A 出发,沿北偏东 75 ? 的方向航行 67.5 n mile 后到达 海岛 B,然后从 B 出发,沿北偏东 32 ? 的方向航行 54.0 n mile 后达到海岛 C.如 果下次航行直接从 A 出发到达 C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距 离?(角度精确到 0.1 ? ,距离精确到 0.01n mile)

分析: 首先由三角形的内角和定理求出角 ? ABC, 然后用余弦定理算出 AC 边, 再根据正弦定理算出 AC 边和 AB 边的夹角 ? CAB.

变式:某船在海面 A 处测得灯塔 C 与 A 相距 10 3 海里,且在北偏东 30? 方向;测 得灯塔 B 与 A 相距 15 6 海里,且在北偏西 75? 方向. 船由 A 向正北方向航行到 D 处,测得灯塔 B 在南偏西 60? 方向. 这时灯塔 C 与 D 相距多少海里?

④解三角形
一、课前准备 复习 1:在 ? ABC 中 (1)若 a ? 1, b ? 3, B ? 120? ,则 A 等于 . (2)若 a ? 3 3 , b ? 2 , C ? 150? ,则 c ? _____.

复习 2: 在 ?ABC 中 , a ? 3 3 , b ? 2 , C ? 150? , 则 高 BD= = .

,三角形面积

二、新课导学 ◆ 学习探究 探究:在 ? ABC 中,边 BC 上的高分别记为 h a ,那么它如何用已知边和角表示? h a =bsinC=csinB 根据以前学过的三角形面积公式 S= ah,代入可以推导出下面的三角形面积公 式,S= absinC,
1 2 1 2

或 S=



同理 S= . 新知:三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之积的一半.

◆ 典型例题 例 1. 在 ? ABC 中,根据下列条件,求三角形的面积 S(精确到 0.1cm 2 ) : ? (1)已知 a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5 ; (2)已知 B=62.7 ? ,C=65.8 ? ,b=3.16cm; (3)已知三边的长分别为 a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.

变式:在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经 过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为 68m,88m,127m,这个区域的面 积是多少?(精确到 0.1cm 2 )

例 2. 在 ? ABC 中,求证:
a 2 ? b 2 sin 2 A ? sin 2 B ? ; c2 sin 2 C (2) a 2 + b 2 + c 2 =2(bccosA+cacosB+abcosC)

(1)

◆ 动手试试 1. 从 A 处望 B 处的仰角为 ? ,从 B 处望 A 处的俯角为 ? ,则 ? , ? 的关系为 ( ). A. ? ? ? B. ? = ? ? C. ? + ? = 90 D. ? + ? = 180? 2. 已知两线段 a ? 2 ,b ? 2 2 ,若以 a 、b 为边作三角形,则边 a 所对的角 A 的取 值范围是( ). A. ( , )
6 3

? ?
?

B. (0, ]
6

?

C. (0, )
2

D. (0, ]
4

?

3. 关于 x 的方程 sin A?x 2 ? 2sin B?x ? sin C ? 0 有相等实根,且 A、B、C 是 ? 的三个 内角,则三角形的三边 a、b、c 满足( ). A. b ? ac B. a ? bc C. c ? ab D. b 2 ? ac

其 中 正 确 说 法 的 序 号 是 . 6. 在 ?ABC 中, a ? 2, b ? 3, C ? 60? ,则 S?ABC ? ( A. 2 3 B.
3 2

).

C.

3

D.

3 2 3 5 9 2

7. 三角形两边之差为 2,夹角的正弦值为 ,面积为 ,那么这个三角形的两边 长分别是( ). A. 3 和 5 B. 4 和 6 C. 6 和 8 D. 5 和 7 8. ?ABC 三 边 长 分 别 为 3, 4,6 , 它 的 较 大 锐 角 的 平 分 线 分 三 角 形 的 面 积 比 是 . 三、总结提升 ◆ 学习小结 1. 已知量与未知量全部集中在一个三角形中,依次利用正弦定理或余弦定理解 之.; 2.已知量与未知量涉及两个或几个三角形,这时需要选择条件足够的三角形优 先研究,再逐步在其余的三角形中求出问题的解. 3. 三角形面积公式:S= absinC=
1 2

=

=



4. 证明三角形中的简单的恒等式方法: 应用正弦定理或余弦定理, “边” 化 “角” 或“角”化“边” .


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