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根的判别式与韦达定理

。 一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练 对于一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) ,当判别式 ? ? b2 ? 4ac ? 0 时,其求根公式为: x1、2 ? ? b ? b2 ? 4ac ;当 2a ? ? 0 时,设一元二次方程的两根为 x1、x2 ,有: x1 ? x2 ? ? b a , x1 ? x2 ? c a ;根与系数的这种关系又称为韦达定理;它的 逆定理也是成立的,即当 x1 ? x2 ? ? b a , x1 ? x2 ? c a 时,那么 x1、x2 则是方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两根。一元二次方程 的根与系数的关系,综合性强,应用极为广泛,在中学数学中占有极重要的地位,也是数学学习中的重点。学习中,除了要 求熟记一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 根的判别式 ? ? b2 ? 4ac 存在的三种情况外,还常常要求应用韦达定理解答一些 变 式 题 目 , 以 及 应 用 求 根 公 式 求 出 方 程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的 两 个 根 x1、x2 , 进 而 分 解 因 式 , 即 ax2 ? bx ? c ? a(x ? x1)( x ? x2 ) 。下面就对韦达定理的应用可能出现的问题举例做些分析,希望能带来小小的帮助。 一、根据判别式,讨论一元二次方程的根。 例 1:已知关于 x 的方程(1) x2 ? (1? 2a)x ? a2 ? 3 ? 0 有两个不相等的实数根,且关于 x 的方程(2) x2 ? 2x ? 2a ?1 ? 0 没有实数根,问 a 取什么整数时,方程(1)有整数解? 分析:在同时满足方程(1),(2)条件的 a 的取值范围中筛选符合条件的 a 的整数值。 解: 说明:熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础,正确确定 a 的取值范围,并依靠熟练的解不等式的基本技 能和一定的逻辑推理,从而筛选出 a,这是解答本题的基本技巧。 二、判别一元二次方程两根的符号。 例 2:不解方程,判别方程 2x2 ? 3x ? 7 ? 0 两根的符号 。 判别根的符号,需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定,倘若由题中 x1 ? x2 ? 0 ,所以可判定方 程的根为一正一负;倘若 x1 ? x2 ? 0 ,仍需考虑 x1 ? x2 的正负,倘若 x1 ? x2 ? 0 ,则方程有两个正数根;倘若 x1 ? x2 ? 0 , 则方程有两个负数根。 解: 说明:对于 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 来说,往往二次项系数,一次项系数,常数项皆为已知,可据此求出根的判别式 ? , 但 ? 只能用于判定根的存在与否,若判定根的正负,则需要确定 x1 ? x2 或 x1 ? x2 的正负情况。因此解答此类题的关键是:既 要求出判别式的值,又要确定 x1 ? x2 或 x1 ? x2 的正负情况。 三、已知一元二次方程的一个根,求出另一个根以及字母系数的值。 精选资料,欢迎下载 。 例 3:已知方程 x2 ? 6x ? m2 ? 2m ? 5 ? 0 的一个根为 2,求另一个根及 m 的值。 分析:此类题通常有两种解法:一是根据方程根的定义,把 x=2 代入原方程,先求出 m 的值,再通过解方程办法求出另 一个根;二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及 m 的值。 解法一: 解法二: 例 4:已知方程 x2 ? 2(m ? 2)x ? m2 ? 4 ? 0 有两个实数根,且两个根的平方和比两根的积大 21,求 m 的值。 分析:本题若利用转化的思想,将等量关系“两个根的平方和比两根的积大 21”转化为关于 m 的方程,即可求得 m 的值。 解: 说明:当利用根与系数的关系求出 m 后,还需注意使用韦达定理的必要条件 ? ? 0 ,应舍去不合题意的 m。 四、运用判别式及根与系数的关系解题。 例 5:已知 x1、x2 是关于 x 的一元二次方程 4x2 ? 4(m ?1)x ? m2 ? 0 的两个非零实数根,问 x1 和 x2 能否同号?若能同 号,请求出相应的 m 的取值范围;若不能同号,请说明理由。 解: 说明:一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系,是分析研究有关一元二次方程根 的问题的重要工具,也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。知识的运用方法灵活多样,是设计考察创新能力 试题的良好载体,在中考中与此有联系的试题出现频率很高,是重点练习的内容。 五、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。 例 6:已知?、? 是方程 x2 ? 2x ? 5 ? 0 的两个实数根,求? 2 ? ?? ? 2? 的值。 精选资料,欢迎下载 。 分析:本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题,应摒弃常规的求根后,再带入的方法,力求简解。 解法一: 解法二: 说明:既要熟悉问题的常规解法,也要随时想到特殊的简捷解法,是解题能力提高的重要标志,是努力的方向。有关一 元二次方程根的计算问题,当根是无理数时,运算将十分繁琐,这时,如果方程的系数是有理数,利用根与系数的关系解题 可起到化难为易、化繁为简的作用。这类问题在解法上灵活多变,式子的变形具有创造性,重在考查能力。 六、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。 例 7:已知两方程 x2 ? mx ? m ? 5 ? 0 和 x2 ? (7m ?1)x ?13m ? 7 ? 0 至少有一个相同的实数根,求这两个方程的四个实 数根的乘积。 分析:可设两方程的相同根为? ,根据根的意义,可以构成关于? 和 m 的二元方程组,得解后再由根与系数的关系求值。 解: 说明:本题的易错点为求解出关于? 、m 的二元方程组后,忽略

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