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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线的标准方程课堂探究学案新人教B版选修2_12017110

2.3.1 双曲线及其标准方程 课堂探究 探究一 双曲线的定义及应用 若 F1,F2 分别表示双曲线的左、右焦点,点 P 满足|PF1|-|PF2|=2a,则点 P 在双曲线的 右支上;若点 P 满足|PF2|-|PF1|=2a,则点 P 在双曲线的左支上,反之亦成立.如果遇到动 点到两定点的距离之差的问题,应联想到利用双曲线的定义来解,但要注意 x 的范围. 【典型例题 1】 已知双曲线 - =1 的左、右焦点分别是 F1,F2,若双曲线上一点 P 使 9 16 得∠F1PF2=90°,求△F1PF2 的面积. 思路分析:利用双曲线的定义,结合勾股定理来求解. 解:由 - =1,知 a=3,b=4, 9 16 所以 c=5. 由双曲线定义及勾股定理,得 |PF1|-|PF2|=±6, |PF1| +|PF2| =|F1F2| =10 =100, 所以(|PF1|-|PF2|) =100-2|PF1|·|PF2|, 所以|PF1|·|PF2|=32. 所以 S 探究二 F1PF2 2 2 2 2 2 x2 y2 x2 y2 1 = |PF1|·|PF2|=16. 2 求双曲线的标准方程 解决求双曲线的标准方程问题,主要关注三个问题:(1)注意焦点的位置,以确定双曲线 标准方程的类型;(2)求方程的关键是确定 a ,b 的值;(3)充分利用 a +b =c . 【典型例题 2】 根据下列条件,求双曲线的标准方程. (1)以椭圆 + =1 的焦点为顶点,顶点为焦点; 8 5 (2)焦距为 2 6,经过点(-5,2),且焦点在 x 轴上; (3)与双曲线 - =1 有相同的焦点,且经过点(3 2,2); 16 4 2 2 2 2 2 x2 y2 x2 y2 ? 15? ? 16 ? (4)过点 P?3, ?,Q?- ,5?且焦点在坐标轴上. 4? ? 3 ? ? 思路分析:先根据条件确定焦点的位置再设出方程,确定参数的值. 解:(1)依题意,双曲线的焦点在 x 轴上,且 a= 3,c=2 2,所以 b =c -a =5. 所以双曲线的标准方程为 - =1. 3 5 2 2 2 x2 y2 1 (2)因为焦点在 x 轴上,且 c= 6, 所以设方程为 2- x2 y2 =1. a 6-a2 又因为过点(-5,2), 25 4 所以 2 - =1. a 6-a2 解得 a =5 或 a =30(舍去). 所以方程为 -y =1. 5 (3)设所求双曲线方程为 2 2 x2 2 x2 16-λ - =1(-4<λ <16). 4+λ y2 因为双曲线过点(3 2,2), 18 4 所以 - =1, 16-λ 4+λ 解得 λ =4 或 λ =-14(舍去). 所以所求双曲线方程为 - =1. 12 8 x2 y2 x2 y2 (4)设双曲线方程为 + =1(mn<0). m n 因为 P,Q 两点在双曲线上, 9 225 ? ?m+16n=1, 所以? 256 25 ? ? 9m + n =1, 解得? ? ?m=-16, ?n=9. ? 所以所求双曲线方程为 - =1. 9 16 点评: 在(3)中, 运用了与双曲线 - =1 有公共焦点的双曲线系方程 - =1 16 4 16-λ 4+λ 后,便可迅速求解.(4)中,焦点位置无法判断,可把双曲线方程设为 + =1(AB<0)或设为 y2 x2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A B mx2+ny2=1(mn<0),可避免分类讨论. 探究三 易错辨析 易错点 忽略双曲线方程中含有的字母的符号 【典型例题 3】 已知双曲线 8kx -ky =8 的一个焦点为(0,3),求 k 的值. 2 2 2 错解:将双曲线方程化为标准方程为 - =1. 1 8 x2 y2 k k 由题意知焦点在 y 轴上, 8 2 1 2 所以 a = ,b = , k k 所以 c= a -b = 7 即 =9, 2 2 8 k k 1 - =3, k 7 所以 k= . 9 8 2 1 2 2 2 错因分析:上述解法有两处错误:一是 a ,b 确定错误,应该是 a =- ,b =- ;二是 k k a,b,c 的关系式用错了,在双曲线中应为 c2=a2+b2. 正解:将双曲线方程化为 kx - y =1, 8 即 - =1. 1 8 2 k 2 x2 y2 k k 因为一个焦点是(0,3), 所以焦点在 y 轴上, 8 2 1 2 所以 c=3,a =- ,b =- , k k 8 1 2 2 2 所以 a +b =- - =c =9, k k 所以 k=-1. 3

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