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不等式恒成立、能成立、恰成立问题


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不等式恒成立、能成立、恰成立问题
一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值: (1)若不等式 f ?x ? ? A 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?min ? A , ? f ( x ) 的下界大于 A (2)若不等式 f ?x ? ? B 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?max ? B , f ( x ) 的上界小于 A 例 1、设 f(x)=x -2ax+2,当 x ? [-1,+ ? ]时,都有 f(x) ? a 恒成立,求 a 的取值范围。
2

例 2、已知 f ? x ? ?

x 2 ? 2x ? a , 对任意 x ? ?1,???, f ?x ? ? 0 恒成立,试求实数 a 的取值范围; x

2、主参换位法

例 3、对任意的 a ?? ?2, 2? ,函数 f ( x) ? x2 ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a 的值总是正数,求 x 的取值范围

3、分离参数法

(1) 将参数与变量分离,即化为 g ? ? ? ? f ? x ? (或 g ? ? ? ? f ? x ? )恒成立的形式; (2) 求 f ? x ? 在 x ? D 上的最大(或最小)值; (3) 解不等式 g ? ? ? ? f ( x)max (或 g ? ? ? ? f ? x ?min ) ,得 ? 的取值范围。 适用题型: (1) 参数与变量能分离; (2) 函数的最值易求出。 例 4、当 x ? (1, 2) 时,不等式 x
2

? mx ? 4 ? 0 恒成立,则 m 的取值范围是

.

4、数形结合 例 5、当 x ? (1,2)时,不等式 ( x ? 1) < loga x 恒成立,求 a 的取值范围。
2

二、不等式能成立问题的处理方法

若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ?x ? ? A 成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?max ? A ; 例 6、若关于 x 的不等式 x ? ax ? a ? ?3 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围是
2

若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ?x ? ? B 成立,则等价于在区间 D 上的 f ? x ?min ? B . .

例 7、已知函数 f ? x ? ? ln x ?

1 2 ax ? 2 x ( a ? 0 )存在单调递减区间,求 a 的取值范围 2

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三、不等式恰好成立问题的处理方法 例 8、不等式 ax ? bx ? 1 ? 0 的解集为 ? x | ?1 ? x ? ? 则 a ? b ? ___________
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