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三角函数数列综合试题


一.选择题(共 12 个小题,每题 5 分,满分 60 分) 1. 已知△ABC 中, a=4, b=4 3 , ∠A=30°, 则∠B 等于(
A.30° B.30°或 150° C.60° D.60°或 120

)

2. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边 分 别是 a, b, c ,若 a ?
A ? 2 B ,则 cos B ? (

5 b, 2



5 5 5 5 B. C. D. 3 4 5 6 ? ? 3.在 ?ABC 中, a ? 6 , B ? 30 , C ? 120 ,则 ?ABC 的面积是 ( )

A.

A. 9

B. 18

C. 9 3
a b c = ? , 则 cosA cosB cosC

D. 18 3
ABC 是

4. 在 ABC 中 , 若 ( ) A.直角三角形 D.等腰直角三角形

B.等边三角形

C.钝角三角形

5. 已知等差数列 {a n } 中, a 7 ? a 9 ? 16 , a4 ? 1 ,则 a12 的值是 A. 15 B. 30 C. 31 D. 64 6. 等比数列 ?an ? 中, a2 ? 9, a5 ? 243 , 则 ?an ? 的前 4 项和为 A.81 B.120 C.168 D.192 7. 在实数等比数列 ?an ? 中, a2 ? a6 ? 34, a3a5 ? 64 ,则 a4 ? A.8 B.16 C. ?8 D. ?16

8. 在△ABC 中,若 lg sin A ? lg cos B ? lg sin C ? lg 2 ,则△ABC

的形状是( ) A 直角三角形 B 三角形
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等边三角形

C

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不能确定

D

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等腰

9 在△ABC 中, A=60° , b=1, 其面积为 3 , 则 于 ( A.3 3 ) B.

a?b?c 等 s in A ? s in B ? s in C

2 39 3

C.

8 3 3

D.

39 2


10、等差数列 ?an ? 中, S10 ? 120 ,那么 a1 ? a10 ? ( A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 11 、已知等差数列 ?an ? 的公差 d ?

1 , a2 ? a4 ? ? ? a100 ? 80 ,那么 2

S100 ?
A.80 B.55 C.135 D.160. 12、已知等差数列 ?an ? 中, a2 ? a5 ? a9 ? a12 ? 60 ,那么 S13 ? ( A.390 B.195 C.180 D.120

一、选择题答案 1 2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

二.填空题(共 6 个小题,每题 4 分,满分 24 分) 13、从前 180 个正偶数的和中减去前 180 个正奇数的和,其差为( ) 1 14.已知等比数列{an}的公比是 q= ,且 a1+a3+a5+…+a99=60,则 a1 2
+a2+a3+…+a100.等于( )

15. ?ABC 中,若 b=2a , B=A+60°,则 A=

.

1 16.、 方程 ( x 2 ? 2 x ? m)(x 2 ? 2 x ? n) =0 的四个根组成一个首项为 的等 4
差数列,则|m-n|=…( )

17. 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S12 ? 21 ,则

a2 ? a5 ? a8 ? a11 ?

___________

18. 已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列,则 a2=___________
三 计算题 (本题共六小题,总共 76 分) 19. (本小题满分 12 分) 在 ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 且满足 c sin A ? a cos C. (I)求角 C 的大小;

(II)求 3 sin A ? cos(B ? 大小.

?
4

) 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的

20. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 ?ABC 中 ,

AC cos B ? . AB cosC
(Ⅰ)证明: B ? C . (Ⅱ)若 cos A ? ?

1 ?? ? .求 sin ? 4 B ? ? 的值. 3 3? ?

21. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、

b 、 c ,已知 a 2 ? c 2 ? 2b ,且 sin A cos C ? 3cos A sin C, 求 b

22. (本小题满分 12 分)设 {an } 是一个公差为 d (d ? 0) 的等差数列,它的 前 10 项和 S10 ? 110 ,且 a1 , a2 , a4 成等比数列.

(Ⅰ)证明:a1 ? d ;

(Ⅱ)求公差 d 的值和数列 {an } 的通项公式.

23. (本小题满分 14 分)已知数列 ?an ? 的前项和为 Sn ,且

1 a1 ? 1, an ?1 ? S n , n ? N * . 3
( Ⅰ ) 求 a2 , a3 , a4 的 值 及 数 列 ?an ? 的 通 项 公 式 ; (Ⅱ) 求

a2 ? a4 ? a6 ? ... ? a2n 的和.

24. (本小题满分 14 分) 已知等差数列{an}的公差是正数,且 a3·a7=-12,a4+a6=-4,求它的前 20 项的和 S20 的值.

参考答案:
选择题

1-5 DBCBA 11-12 CB 填空题 13 180 14 90 15 30 16 1/2 17 7 18 -6 计算题

6-10BCBBB

19.


解析: (I)由正弦定理得 sin C sin A ? sin A cos C. 为

0 ? A ??,





sin A ? 0.从而 sin C ? cos C.又 cos C ? 0, 所以 tan C ? 1, 则C ?
(II)由(I)知 B ?

?
4

3? ? A. 于是 4

3 sin A ? cos( B ? ) ? 3 sin A ? cos(? ? A) 4 ? 3 sin A ? cos A ? 2sin( A ? ). 6 3? ? ? 11? ? ? ? 0? A? ,? ? A ? ? , 从而当A ? ? , 即A ? 时, 4 6 6 12 6 2 3
2 sin( A ?

?

?

?
6

) 取最大值 2.

综上所述, 3 sin A ? cos( B ?

?
4

) 的最大值为 2,此时 A ?

?
3

,B ?

5? . 12

20.

【解】 ( Ⅰ ) 在 ?ABC 中 , 由

AC cos B ? 及正弦定理得 AB cos C

sin B cos B ? , sin C cos C

于是 sin B cos C ? cos B sin C ? 0 ,即 sin ? B ? C ? ? 0 , 因为 0 ? B ? ? , 0 ? C ? ? ,则 ?? ? B ? C ? ? , 因此 B ? C ? 0 ,所以 B ? C . ? 和 ( Ⅰ ) 得 A ? ? ? 2B , 所 以 ( Ⅱ ) 由 A? B ? C ?

c o sB 2 ? ?
又 由

?o ?c

1 2 ? ? A c, o ?s 3 B?C 0 ? 2B ? ? 知 s ?B ?







sin 2 B ?

2 2 4 2 . sin 4 B ? 2sin 2 B cos 2 B ? . 3 9

7 cos 4 B ? cos 2 2 B ? sin 2 2 B ? ? . 9
所以 sin ? 4B ?

? ?

??

? ? sin 4B cos ? cos 4B sin ? 3? 3 3

?

?

4 2 ?7 3 . 18

21 解法一:在 ?ABC 中

sin A cos C ? 3cos A sin C, 则由正弦定理

a 2 ? b2 ? c 2 b2 ? c2 ? a 2 ?3 c, 化简并整理得: 及余弦定理有: a 2ab 2bc

2(a 2 ? c2 ) ? b2 .又由已知 a 2 ? c 2 ? 2b ? 4b ? b2 .解得
. b ? 4或b ? 0(舍) 解法二:由余弦定理得: a ? c ? b ? 2bc cos A .又
2 2 2

a 2 ? c 2 ? 2b , b ? 0 .
所以 b ? 2c cos A ? 2 ① 又 sin A cos C ? 3cos A sin C ,

? sin A cos C ? cos A sin C ? 4 cos A sin C

sin( A ? C ) ? 4cos A sin C ,即 sin B ? 4cos A sin C
由正弦定理得 sin B ? 由①,②解得 b ? 4 .

b sin C ,故 b ? 4c cos A c



22. (Ⅰ)证明:∵ a1 , a2 , a4 成等比数列,∴ a22 ? a1a4 .
而 {an } 是 等 差 数 列 , 有 a2 ? a1 ? d , a4 ? a1 ? 3d , 于 是
2 (a1 ? d ) ? a 1 ( a 1 ? 3 d)

即 a12 ? 2a1d ? d 2 ? a12 ? 3a1d ,化简得 a1 ? d . ( Ⅱ ) 解 : 由 条 件 S10 ? 110 和 S10 ? 10a1 ?

10 ? 9 d, 得 到 2

10 a1 ? 4d 5? 110
由 ( Ⅰ ) 知 a1 ? d , 代 入 上 式 得 55d ? 110, 故

d ? 2, an ? a1 ? (n ?1)d ? 2n.

23. 解:(Ⅰ)

1 an ?1 ? Sn , n ? N * ,? 3an ?1 ? S n ,? 3an ? S n ?1 , 当n ? 2时, 3
n?2

?4? an ? Sn ? Sn?1 ? 3an?1 ? 3an ? 4an ? 3an?1 , an ? a2 ? ? ? ?3?
所 以

?

4n ? 2 . 3n?1


a2 ?

4 1 a1 ? 3 3



a3 ?

4 4 a2 ? 3 9

(n ? 1) ?1 4 16 ? n?2 a4 ? a3 ? . ? an ? ? 4 . 3 27 ( n ? 2) ? n?1 ?3

2


n



? ? ? ? ? a2 ? a ? a ? ... ? a n ? 1 ? ? 4 ? ? ... ? ? ? ? ? ? ? 3 3? 3? 3? 3? 3? 3?

1 ? ? [ ?? ? 13 ? 9 ? ? 16 1? 9

n 4

6

1 4

3 ? 16 ? ? [? ? ?1] 7 ?9?

n

24、

解法一

设等差数列{an}的公差为 d,则 d>0,由已知可得

?(a 1 + 2d)(a 1 +bd) =-12 ? ?a 1 + 3d+a 1 +5d = - 4

① ②

由②,有 a1=-2-4d,代入①,有 d2=4 再由 d>0,得 d=2 ∴a1=-10 最后由等差数列的前 n 项和公式,可求得 S20=180


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