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人教A版高中数学必修四课件:第三章3.1.1两角差的余弦公式

3.1.1 两角差的余弦公式 高一必修4 本节目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程. 2.理解用向量法导出公式的主要步骤. 3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征,并能利用该公式进行求值、计算. 前置学习 1.设 ? π? α∈?0,2 ?,若 ? ? 7 A. 5 解析 ? π? 3 sin α= ,则 2cos?α-4 ?等于 5 ? ? 1 7 1 B. C.- D.- 5 5 5 ? 2?cos ? ( A ) ? π? ? 2cos α-4?= ? ? π π? αcos 4+sin αsin 4? ? 4 3 7 =cos α+sin α=5+5=5. 前置学习 6 2 2.cos 15° +sin 15° =________. 解析 cos 15° +sin 15° = 2(cos 15° cos 45° +sin 15° sin 45° ) 6 = 2cos(45° -15° )= 2cos 30° =2. 前置学习 3 4 3.已知 sin α+sin β= ,cos α+cos β= ,求 cos(α-β)的值. 5 5 解 ∵(sin α+sin β) 2 ?3? =?5?2,(cos ? ? α+cos β) 2 ?4? =?5?2, ? ? 以上两式展开两边分别相加,得 2+2cos(α-β)=1, 1 ∴cos(α-β)=-2. 前置学习 4 1 4.已知锐角 α、β 满足 cos α= ,tan(α-β)=- ,求 cos β. 5 3 4 3 解 ∵α 为锐角,且 cos α= ,∴sin α= . 5 5 π π π π 又∵0<α<2,0<β<2,∴-2<α-β<2. 1 3 又∵tan(α-β)=-3<0,∴cos(α-β)= . 10 从而 sin(α-β)=tan(α-β)cos(α-β)=- 1 . 10 ∴cos β=cos[ α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) 1 ? 4 3 3 ? ? ? 9 10 - =5× +5×? = 50 . 10? 10 ? ? 探究点一 两角差余弦公式的探索 问题 1 有人认为 cos(α-β)=cos α-cos β, 你认为正确吗, 试 举两例加以说明. 答 不正确. π π 例如:当 α=2,β=4时, π 2 cos(α-β)=cos 4= 2 , π π 2 而 cos α-cos β=cos 2-cos 4=- 2 , cos(α-β)≠cos α-cos β; π π π 3 再如:当 α= ,β= 时,cos(α-β)=cos = , 3 6 6 2 π π 1- 3 而 cos α-cos β=cos 3-cos 6= 2 , cos(α-β)≠cos α-cos β. 问题 2 请你计算下列式子的值, 并根据这些式子的共同特征, 写出一个猜想. ①cos 45° cos 45° +sin 45° sin 45° =1; 3 ②cos 60° cos 30° +sin 60° sin 30° = 2 ; ③cos 30° cos 120° +sin 30° sin 120° =0 ; 1 ④cos 150° cos 210° +sin 150° sin 210° =2. 猜想: cos αcos β+sin αsin β= cos(α-β) ; 即: cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β . 探究点二 两角差余弦公式的证明 如图,以坐标原点为中心,作单位圆,以 Ox 为始边作角 α 与 β, 设它们的终边分别与单位 圆相交于点 P,Q,请回答下列问题: → (1)P 点坐标是 (cos α,sin α) ,向量OP= (cos α,sin α) , → |OP|= 1 . → Q 点坐标是 (cos β,sin β) ,向量OQ= (cos β,sin β) , → |OQ|= 1 . → → (2)当 α 为钝角,β 为锐角时,α-β 和向量OP与OQ的夹角 → → → → α - β =〈 OP ,OQ〉; 〈OP,OQ〉之间的关系是: → → → 当 α 为锐角, β 为钝角时, α-β 和向量OP与OQ的夹角 〈OP, → → → α - β =-〈 OP ,OQ〉 ; OQ〉之间的关系是: → → 当 α,β 均为任意角时,α-β 和〈OP,OQ〉的关系是: → → α-β=2kπ±〈OP,OQ〉 ,k∈Z . → → → → → → → → (3)向量OP与OQ的数量积OP· OQ=|OP||OQ|cos〈OP,OQ〉= → → cos(α-β) ;另一方面,OP 与OQ 的数量积用点坐标形式表示: → → OP· OQ=(cos α,sin α)· (cos β,sin β)= cos αcos β+sin αsin β 从而,对任意角 α,β 均有 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β. . 探究点三 两角差余弦公式的应用 根据两角差的余弦公式 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β 解 答下列问题,体验公式的正向、逆向应用的灵活选择. 问题 1 写出下列式子的化简结果: 1 (1)cos 80° cos 20° +sin 80° sin 20° = 2 ; (2)sin αsin(α+β)+cos αcos(α+β)= cos β ; 3 (3)sin 57° cos 63° +cos 57° sin 63° = 2 . 问题 2 利用公式 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,证明下 列诱导公式: (1)cos(π-x)=-cos ?3 ? ? x;(2)cos 2π-x?=-sin ? ? x. 证明 (1)cos(π-x)=cos πcos

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