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大一上学期期末考试高数2


04 至 05 学年第一学期高等数学(上) B
一、填空题(每题 3 分,共 15 分)

? x ?1? 1. lim ? ? x ?? ? x ?
2.直线

2x

? __________.

x ?1 y z ?1 与平面 4 x ? y ? mz ? 5 ? 0 平行,则 m ? _____ . ? ? 1 ?2 3 f ( x) 3.设 f (x ) 在点 x ? 0 的某邻域内连续,且 lim ? 2, 则 f ?(0) ? _______. x?0 tan 2 x
4.若 lim f ( x ) 存在,且 f ( x ) ? x 2 ? 3 lim f ( x ) ,则 f ( x) ? ___________ .
x?1
x?1

x ? 3 的水平渐近线方程为_____________. x ?1 二、选择题(每题 3 分,共 15 分)
5.曲线 y ?
2

1. lim

sin 2 mx ?[ x ?0 3 x 2

].,

( A) 0.

( B) ?.

(C )

m 3

(D)

m2 . 3

2. 设 f ( x ) ?

x 2 ? 3x ,则 x ? 0 为其 [ | x | ( x 2 ? 9)

]

(A) 连续点
5

(B) 跳跃间断点 (C ) 可去间断点
]

(D ) 无穷间断点.

3. 曲线 y ? ( x ? 3) 3 ? 2 ,则 [

(A) 有极值点 x ? 3 ,但无拐点. (B) 有极值点 x ? 3 和拐点 (3,2) . (C ) 无极值点,但有拐点 (3,2) . (D ) 既无极值点也无拐点.
4. 若

? f ( x)dx ? 3 ln sin 3x ? C, 则 f (x) ?

4

[

]

( A) 4 c o 3x. ( B) ? 4cot3x. (C ) cot 3x. ( D) ? cot 3x. t
? x 2 ? 3x ? 2 ? 5. 设 f (x ) 在 x ? 2 点连续,且 f ( x ) ? ? x ? 2 , x ? 2 ,则 a ? [ ? a x?2 ? ( A) ? 1. (B) 1. (C ) ? 2 (D) 2.
三、计算下列各题(每题 5 分,共 25 分) ]

sin t 2 dt 1 ? ? x 0 1. lim ? , 3. y ? x sin x ( x ? 0) ,求 dy ? ? , 2. lim 2 x ?0 x tan x x ?1? x ? 1 ln x ?

?

3x

? x ? 3e ? t dy d 2 y ,求 , 2 . 4. xe y ? y ? 0, 求 y ??(0) , 5.设 ? t dx dx ? y ? 2e
四、计算下列各题(每题 5 分,共 20 分) 1.

?

x ? arctan x dx , 2. 1? x2

?

4

0

e

x

3 ?1 ? x 2 , x ? 0 ,求 f ( x ? 2)dx dx , 3.设 f ( x ) ? ? ? x 1 ? e , x?0

?

4.已知 f (0) ? 1, f (2) ? 3, f ?(2) ? 5 ,求 xf ??(2 x )dx
0

?

1

1

五、 (每题 6 分,共 12 分) 1. 计算由曲线 y ? 4 ? x 2 与直线 x ? 4, y ? 4, x 轴所围平面图形绕 y 旋转所得旋转体 的体积. 2. 设 D1 由曲线 y ? ln x, x ? t, y ? 0 围成, D2 由曲线 y ? ln x, x ? t, y ? 1 围成 (1 ? t ? e) ,求点 t ? (1, e) ,使

D1 ? D2 面积最小,并求该最小面积.

x ?1 y ? 2 z ? 3 x y ?1 z ,且平行于直线 ? ? ? ? 的平面方程. 2 3 4 1 1 2 七、证明题(每题 4 分,共 8 分) x x dt 1. 设 f (x ) 在 [0,1] 上连续,且 f ( x ) ? 0 ,证明方程 f (t )dt ? ? 0 在区间 (0,1) 内有惟一实根. 0 1 f (t ) 2. 设 f (x ) 在 [a, b] 上连续,在 (a, b) 内可导, 0 ? a ? b ,证明存在 ? ,? ? (a, b) ,使得 a?b f ?(? ) ? f ?(? ) . 2?
六、(5 分)求过直线

?

?

2


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