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三角函数部分高考题(带答案)2


3 △ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c ,且 a cos B ? b cos A ? c . 5 (Ⅰ)求 tan A cot B 的值;
22.设 (Ⅱ)求

tan( A ? B) 的最大值.

3 △ ABC 中,由正弦定理及 a cos B ? b cos A ? c 5 3 3 3 3 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B 可得 sin A cos B ? sin B cos A ? 5 5 5 5 sin A cos B ? 4 cos A sin B tan A cot B ? 4 即 ,则 ; (Ⅱ)由 tan A cot B ? 4 得 tan A ? 4 tan B ? 0 tan A ? tan B 3 tan B 3 3 tan( A ? B) ? ? ? ≤ 2 1 ? tan A tan B 1 ? 4 tan B cot B ? 4 tan B 4 1 , tan A ? 2 时,等号成立, 当且仅当 4 tan B ? cot B, tan B ? 2 1 3 故当 tan A ? 2, tan B ? 时, tan( A ? B ) 的最大值为 . 4 2 5 4 23.在 △ ABC 中, cos B ? ? , cos C ? . 13 5 (Ⅰ)求 sin A 的值; 33 (Ⅱ)设 △ ABC 的面积 S△ ABC ? ,求 BC 的长. 2
解析: (Ⅰ)在 解:

5 12 ,得 sin B ? , 13 13 4 3 由 cos C ? ,得 sin C ? . 5 5
(Ⅰ)由

cos B ? ?

所以

sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?
S△ ABC ?

33 . ······················ 65

5分

33 1 33 ? AB ? AC ? sin A ? 得 , 2 2 2 33 由(Ⅰ)知 sin A ? , 65 故 AB ? AC ? 65 , ················································· 8 分 AB ? sin B 20 ? AB , 又 AC ? sin C 13 20 13 AB 2 ? 65 , AB ? . 故 13 2 AB ? sin A 11 ? . ·········································· 10 分 所以 BC ? sin C 2
(Ⅱ)由 24.已知函数

π? ? f ( x) ? sin 2 ? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ? ? ( ? ? 0 )的最小正周期为 π . 2? ?

(Ⅰ)求

? 的值;

(Ⅱ)求函数

? 2π ? f ( x) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. ? 3?

解: (Ⅰ)

f ( x) ?

1 ? cos 2? x 3 3 1 1 ? sin 2? x ? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 2 2 2 2

π? 1 ? ? sin ? 2? x ? ? ? . 6? 2 ?
因为函数

f ( x) 的最小正周期为 π ,且 ? ? 0 ,

所以

2π ? π ,解得 ? ? 1 . 2?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得

π? 1 ? f ( x) ? sin ? 2 x ? ? ? . 6? 2 ?

2π , 3 π π 7π ≤ 2x ? ≤ , 所以 ? 6 6 6
因为

0≤ x≤

所以

1 π? ? ? ≤ sin ? 2 x ? ? ≤1 , 2 6? ? π? 1 3 ? 3? ? 0 ≤ sin ? 2 x ? ? ? ≤ ,即 f ( x) 的取值范围为 ?0, ? . 6? 2 2 ? 2? ?

因此

25.求函数

y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos2 x ? 4cos4 x 的最大值与最小值。

【解】 :

y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos2 x ? 4cos4 x

? 7 ? 2sin 2 x ? 4 cos 2 x ?1 ? cos 2 x ?

? 7 ? 2sin 2 x ? 4cos2 x sin 2 x ? 7 ? 2sin 2 x ? sin 2 2 x
? ?1 ? sin 2 x ? ? 6
2
由于函数

z ? ? u ? 1? ? 6 在 ??11 , ? 中的最大值为
2 2

zmax ? ? ?1 ? 1? ? 6 ? 10
最小值为

zmin ? ?1 ? 1? ? 6 ? 6
2

故当

sin 2 x ? ?1时 y 取得最大值 10 ,当 sin 2 x ? 1 时 y 取得最小值 6

26.知函数 (Ⅰ)求

f ( x) ? 2cos2 ? x ? 2sin ? x cos ? x ? 1 ( x ? R, ? ? 0 )的最小值正周期是

? 的值;
f ( x) 的最大值,并且求使 f ( x) 取得最大值的 x 的集合.

? 2



(Ⅱ)求函数

(17)本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数

y ? A sin(? x ? ? ) 的性质等基础知识,考查基本

运算能力.满分 12 分. (Ⅰ)解:

f ?x ? ? 2 ?

1 ? cos 2?x ? sin 2?x ? 1 2 ? sin 2?x ? cos 2?x ? 2

? ?? ? ? 2 ? sin 2?x cos ? cos 2?x sin ? ? 2 4 4? ? ?? ? ? 2 sin ? 2?x ? ? ? 2 4? ? ? 2? ? ? 由题设,函数 f ? x ? 的最小正周期是 ,可得 2 2? 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

,所以

? ?2.

?? ? f ?x ? ? 2 sin? 4 x ? ? ? 2 . 4? ?
? 2k?
,即



4x ?

?
4

?

?
2

x?

?
16

?

k? ?? ?k ? Z ? 时, sin ? ? 4 x ? ? 取得最大值 1,所以函数 f ?x ? 的最大值是 2 4? ?

? k? ? ? 2 ? 2 ,此时 x 的集合为 ? x | x ? ? , k ? Z ?. 16 2 ? ?
27.已知函数

f ( x) ? cos(2 x ? ) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4
f ( x) 的最小正周期和图象的对称轴方程 f ( x) 在区间 [?
, ] 上的值域 12 2

?

?

?

(Ⅰ)求函数

(Ⅱ)求函数

? ?

解: (1)

f ( x) ? cos(2 x ? ) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

?

?

?

1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? (sin x ? cos x)(sin x ? cos x) 2 2 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2

1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2
? sin(2 x ? ) 6 2? ∴周期T ? ?? 2


?

2x ?

?

6

? k? ?

?

2

(k ? Z ), 得x ?

∴ 函数图象的对称轴方程为 x ? k? ?
(2)

?
3

k? ? ? (k ? Z ) 2 3

(k ? Z )

x ? [?

? ? 5? , ],? 2 x ? ? [? , ] 12 2 6 3 6
?
? ?

? ?

因为

f ( x) ? sin(2 x ? ) 在区间 [? , ] 上单调递增,在区间 [ , ] 上单调递减, 3 2 6 12 3
所以 当

? ?

x?

?

3

时,

f ( x) 取最大值 1



f (?

?
12

)??

? 3 ? 1 3 ? f ( ) ? ,当 x ? ? 时, f ( x) 取最小值 ? 12 2 2 2 2
3 , ] 上的值域为 [? ,1] 12 2 2

所以 函数

f ( x) 在区间 [?

? ?

28.已知函数 f(x)=

3 sin(?x ? ? ) ? cos(?x ? ? )(0 ? ? ? π ,? ? 0) 为偶函数,且函数 y=f(x)图象的两相邻对称轴

π . 2 π (Ⅰ)美洲 f( )的值; 8
间的距离为 (Ⅱ) 将函数 y=f(x)的图象向右平移 求 g(x)的单调递减区间.

π 个单位后, 再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的 4 倍, 纵坐标不变, 得到函数 y=g(x)的图象, 6

解: (Ⅰ)f(x)=

3 sin(?x ? ? ) ? cos(?x ? ? )


? 3 ? 1 2? sin(?x ? ? ) ? cos(?x ? ? )? 2 ? 2 ?

=2sin( 因为 f(x)为偶函数,

?x ? ? -

π ) 6

所以 对 x∈R,f(-x)=f(x)恒成立,

因此 sin(-

?x ? ? -

π π )=sin( ? x ? ? ). 6 6

即-sin

?x cos( ? -

整理得

又因为

π π π π )+cos ?x sin( ? )=sin ?x cos( ? )+cos ?x sin( ? ), 6 6 6 6 π π sin ?x cos( ? )=0.因为 ? >0,且 x∈R,所以 cos( ? )=0. 6 6 π π π 0< ? <π ,故 ? = .所以 f(x)=2sin( ?x + )=2cos ?x . 6 2 2

2?
由题意得

?

? 2?

?
2

,   所以  ? =2.



f(x)=2cos2x.

因为

f ( ) ? 2 c o s ? 2. 8 4

?

?

(Ⅱ)将 f(x)的图象向右平移个

f(

?
4

?

?
6

? 6

个单位后,得到

f ( x ? ) 的图象,再将所得图象横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到 6

?

) 的图象.

? ? ? ? ? ? ? ? 所以     g ( x) ? f ( ? ) ? 2 cos?2( ? )? ? 2 cos f ( ? ). 4 6 2 3 ? 4 6 ?
?
?



2kπ ≤

?



2 3 2? 8? 4kπ +≤ ≤x≤4kπ + 3 3

≤2 kπ + π

(k∈Z),

(k∈Z)时,g(x)单调递减.

因此 g(x)的单调递减区间为

2? 8? ? ? 4k? ? ,4k? ? ? ? 3 3? ?

(k∈Z)

29.如图,在平面直角坐标系

xoy 中,以 ox 轴为始边做两个锐角 ? , ?

,它们的终边分别与单位圆相交于 A,B 两点,已知 A,B 的横坐标分

别为

2 2 5 , 10 5



(Ⅰ)求 tan(

? ? ? )的值;

(Ⅱ)求

? ? 2? 的值.
cos ? ? 2 2 5 ,cos ? ? ,因为 ? , ? 10 5
1 2
sin ?

由条件的

为锐角,所以

=

7 2 5 ,sin ? ? 10 5

因此

tan ? ? 7, tan ? ?

(Ⅰ)tan(

? ? ? )=

tan ? ? tan ? ? ?3 1 ? tan ? tan ?

(Ⅱ)

tan 2? ?

2 tan ? 4 tan ? ? tan 2? ? ,所以 tan ?? ? 2? ? ? ? ?1 2 1 ? tan ? 3 1 ? tan ? tan 2?
0 ? ? ? 2? ? 3? 2
,∴



?, ?

为锐角,∴

? ? 2? =

3? 4

30.在

?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c , a ? 2 3 , tan

A? B C ? tan ? 4, 2 2

2sin B cos C ? sin A ,求 A, B 及 b, c

A? B C C C ? tan ? 4 得 cot ? tan ? 4 2 2 2 2 C C cos sin 1 2 ? 2 ?4 ∴ ∴ ?4 C C C C sin cos sin cos 2 2 2 2 1 ∴ sin C ? ,又 C ? (0, ? ) 2 ? 5? ,或C ? ∴C ? 6 6
解:由

tan



2sin B cos C ? sin A 得 2sin B cos B ? sin( B ? C)



sin( B ? C ) ? 0



B?C

B?C ?

?
6
2? 3

A ? ? ? (B ? C) ?
由正弦定理

a b c ? ? 得 sin A sin B sin C 1 sin B b?c?a ? 2 3? 2 ? 2 sin A 3 2

31.已知函数

f (t ) ?

1? t 17? , g ( x) ? cos x ? f (sin x) ? sin x ? f (cos x), x ? (? , ). 1? t 12

(Ⅰ)将函数

g ( x) 化简成 A sin(? x ? ? ) ? B ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? [0, 2? ) )的形式; g ( x) 的值域.

(Ⅱ)求函数

本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识,考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.(满分 12 分)

解: (Ⅰ)

g ( x) ? cos x

1 ? sin x 1 ? cos x ? sin x 1 ? sin x 1 ? cos x

? cos x
? cos x

(1 ? sin x)2 ? sin x cos2 x

(1 ? cos x)2 sin 2 x

1 ? sin x 1 ? cos x ? sin x . cos x sin x

? 17? ? x ? ? ?, ? ,? cos x ? ? cos x, sin x ? ? sin x, ? 12 ?
? g ( x) ? cos x 1 ? sin x 1 ? cos x ? sin x ? cos x ? sin x ? sin x ? cos x ? 2



?? ? 2 sin ? x ? ? ? 2. 4? ?
17 ? 5? ? 5? , <x ? ? . 得 12 4 4 3

(Ⅱ)由

?<x ?

? 5? 3? ? ? 3? 5? ? sin t 在 ? , ? 上为减函数,在 ? , ? 上为增函数, ? 4 2? ? 2 3?


sin

5? 5? 3? ? 5? ? 17 ? ? <sin ,? sin ? sin( x ? )<sin (当 x ? ?, , ? ?) 3 4 2 4 4 2 ? ?



? 2 ? ?1 ? sin( x ? )< ? , ?? 2 ? 2 ? 2 sin( x ? ) ? 2< ? 3, 4 2 4
? ? 2 ? 2, ?3 . ?

故 g(x)的值域为

?

32.已知函数

x x x f ( x) ? 2sin cos ? 2 3 sin 2 ? 3 . 4 4 4
f ( x) 的最小正周期及最值;

(Ⅰ)求函数

(Ⅱ)令

π? ? g ( x) ? f ? x ? ? ,判断函数 g ( x) 的奇偶性,并说明理由. 3? ?
f ( x) ? sin
x x x x ? x π? ? 3(1 ? 2sin 2 ) ? sin ? 3 cos ? 2sin ? ? ? . 2 2 2 4 ?2 3?

解: (Ⅰ)

? f ( x) 的最小正周期 T ?

2π ? 4π . 1 2



? x π? ? x π? sin ? ? ? ? ?1 时, f ( x) 取得最小值 ?2 ;当 sin ? ? ? ? 1 时, f ( x) 取得最大值 2. ?2 3? ?2 3?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

π? ? x π? ? f ( x) ? 2sin ? ? ? .又 g ( x) ? f ? x ? ? . 3? ?2 3? ?

x ?1 ? π ? π? ? x π? ? g ( x) ? 2sin ? ? x ? ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? 2 cos . 2 3 ? 3? ?2 2? ?2 ?

x ? x? g (? x) ? 2cos ? ? ? ? 2cos ? g ( x) . 2 ? 2?

? 函数 g ( x) 是偶函数.
33.设

?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 A= 60

,c=3b.求:

(Ⅰ)

a c

的值;

(Ⅱ)cotB +cot C 的值. 解: (Ⅰ)由余弦定理得

a2 ? b2 ? c2 ? 2b cos A


1 1 1 7 ( c) 2 ?c 2 ? 2 c c ? c 2 , 3 3 2 9



a 7 ? . c 3

(Ⅱ)解法一:

cot B ? cot C cos B sin C ? cos C sin B = sin B sin C sin( B ? C ) sin A ? , = sin B sin C sin B sin C
由正弦定理和(Ⅰ)的结论得

sin A ? sin B sC in

7 2 c 1 a2 29 14 · ? · ? ? A s ibc n 3 1 c· 3 3 c 3
14 3 . 9

14 3 . 9



cot B ? cot C ?

解法二:由余弦定理及(Ⅰ)的结论有

7 2 1 c ? c 2? ( c) a 2 ? c 2? b 2 9 3 cos B ? ? 2ac 7 2 cc 3

2



5 2 7

.



sin B ? 1 ? cos 2 B ? 1 ?

25 3 ? . 28 2 7

同理可得

7 2 1 2 2 c ? c ?c a 2 ? b 2? c 2 9 1 9 cos C ? ? ?? , 2ab 7 1 2 7 2 c c 3 3
sin C? ? 1 c2 o Cs? 1 3 3 ? 1? 28 2 7 .

从而

cot B ? cot C ?

cos B cos C 5 1 14 3 ? ? 3? 3? . sin B sin C 3 9 9

34.已知向量 m=(sinA,cosA),n=

( 3, ?1) ,m·n=1,且 A 为锐角.
f ( x) ? cos 2 x ? 4cos A sin x( x ? R) 的值域.

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求函数

本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识,考查运算能力.满分 12 分.

解: (Ⅰ)由题意得

m n ? 3sin A ? cos A ? 1,
.

? ? 1 ? ) 1 ,As?i n (? ) 6 6 2 ? ? ? ? ,A? . 由 A 为锐角得 A ? 6 6 3 1 , (Ⅱ)由(Ⅰ)知 cos A ? 2 2 sin A( ?
所以

1 3 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x ? 1 ? 2sin 2 x ? 2sin s ? ?2(sin x ? ) 2 ? . 2 2 1 3 因为 x∈R,所以 sin x ?? ?1,1? ,因此,当 sin x ? 时,f(x)有最大值 . 2 2
当 sinx=-1 时,f(x)有最小值-3,所以所求函数 f(x)的值域是

? 3? ?3, . ? ? 2? ?

35.已知函数

?π 1? f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0, 0 ? ? ? π) , x ? R 的最大值是 1,其图像经过点 M ? , ? . (1)求 ? 3 2?

3 12 ? π? f ( x) 的解析式; (2)已知 ?,? ? 0, ,且 f (? ) ? , f (? ) ? ,求 f (? ? ? ) 的值. ? ? 5 13 ? 2?

? 1 ? 1 A ? 1 ,则 f ( x) ? sin( x ? ? ) ,将点 M ( , ) 代入得 sin( ? ? ) ? ,而 0 ? ? ? ? 3 2 3 2 ? 5 ? ? ? ? ? ? ? ,?? ? ,故 f ( x) ? sin( x ? ) ? cos x ; 3 6 2 2 3 12 ? , cos ? ? ,而 ? , ? ? (0, ) , (2)依题意有 cos ? ? 5 13 2
(1)依题意有



3 4 12 5 ?sin ? ? 1 ? ( )2 ? ,sin ? ? 1 ? ( )2 ? , 5 5 13 13
3 12 4 5 56 f (? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? 。 5 13 5 13 65 ? ,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , C ? . 36.在 △ ABC 中,内角 A 3
(Ⅰ)若

△ ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ;

(Ⅱ)若

sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 △ ABC 的面积.

本小题主要考查三角形的边角关系,三角函数公式等基础知识,考查综合应用三角函数有关知识的能力.满分 12 分.

解: (Ⅰ)由余弦定理及已知条件得,

a 2 ? b2 ? ab ? 4 ,
4分

又因为

1 △ ABC 的面积等于 3 ,所以 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 . ······················ 2

联立方程组

?a 2 ? b2 ? ab ? 4, 解得 a ? 2 , b ? 2 . ······························· ? ?ab ? 4,
sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A ,

6分

(Ⅱ)由题意得



sin B cos A ? 2sin A cos A , cos A ? 0 时, A ?

········································ 8 分



? ? 4 3 2 3 ,B ? ,a ? ,b ? , 2 6 3 3



cos A ? 0 时,得 sin B ? 2sin A ,由正弦定理得 b ? 2a ,

联立方程组

?a 2 ? b2 ? ab ? 4, 2 3 4 3 解得 a ? ,b ? . ? 3 3 ?b ? 2a,
1 2 3 ab sin C ? . 2 3
································· 12 分

所以

△ ABC 的面积 S ?


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