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专题14 数列解答题-三年高考(2015-2017)数学(理)试题分项版解析(解析版)


1.【2017 山东,理 19】已知{xn}是各项均为正数的等比数列,且 x1+x2=3,x3-x2=2 (Ⅰ)求数列{xn}的通项公式; (Ⅱ) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 依次连接点 P1(x1, 1), P2(x2, 2)…Pn+1(xn+1, n+1)得到折线 P1 P2…Pn+1, 求由该折线与直线 y=0, x ? x1,x ? xn?1 所围成的区域的面积 Tn . 【答案】(I) xn ? 2n?1. (II) Tn ? (2n ? 1) ? 2n ? 1 . 2 【解析】试题分析:(I)依题意布列 x1 和公比 q 的方程组. (II)过 P 1 , Q2 , Q3 , …… Qn?1 , 1, P 2, P 3 , …… P n ?1 向 x 轴作垂线,垂足分别为 Q 由(I)得 xn?1 ? xn ? 2n ? 2n?1 ? 2n?1. 记梯形 P nP n ?1Qn ?1Qn 的面积为 bn . 由题意 bn ? 所以 (n ? n ? 1) n ?1 ? 2 ? (2n ? 1) ? 2n ? 2 , 2 Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ……+ bn = 3 ? 2?1 ? 5 ? 20 ? 7 ? 21 ? ……+ (2n ?1) ? 2n?3 ? (2n ? 1) ? 2n?2 ① 又 2Tn ? 3? 20 ? 5 ? 21 ? 7 ? 22 ? ……+ (2n ?1) ? 2n?2 ? (2n ? 1) ? 2n?1 ② ①-②得 ?Tn ? 3? 2?1 ? (2 ? 22 ? ...... ? 2n?1 ) ? (2n ?1) ? 2n?1 = 3 2(1 ? 2n ?1 ) ? ? (2n ? 1) ? 2n ?1. 2 1? 2 (2n ? 1) ? 2n ? 1 . 2 所 以 Tn ? 【考点】1.等比数列的通项公式;2.等比数列的求和;3.“错位相减法”. 2. 【 2017 北 京 , 理 20 】 设 {an } 和 {bn } 是 两 个 等 差 数 列 , 记 cn ? max{b1 ? a1n, b2 ? a2n, ???, bn ? ann} (n ? 1, 2,3, ???) , 其中 max{x1 , x2 , ???, xs } 表示 x1 , x2 , ???, xs 这 s 个数中最大的数. (Ⅰ)若 an ? n , bn ? 2n ? 1,求 c1 , c2 , c3 的值,并证明 {cn } 是等差数列; (Ⅱ)证明:或者对任意正数 M ,存在正整数 m ,当 n ? m 时, cn ? M ;或者存在正整数 m ,使得 n cm , cm?1 , cm?2 , ??? 是等差数列. 【答案】 (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ)详见解析. 【解析】 试题分析: (Ⅰ) 分别代入求 c , c , c , 观察规律, 再证明当 n ? 3 时,(b ? na ) ? (b ? na ) ? 2 ? n ? 0 , k ?1 k ?1 k k 1 2 3 所以 bk ? nak 关于 k ? N* 单调递减. 所以 cn ? max{b1 ? a1n, b2 ? a2 n,? , bn ? an n} ? b 1?a 1 n ? 1 ? n,即证 明; (Ⅱ)首先求 ?cn ? 的通项公式,分 d1 ? 0, d1 ? 0, d1 ? 0 三种情况讨论证明. 试题解析:解: (Ⅰ) c1 ? b1 ? a1 ? 1 ?1

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