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指数函数及其性质


2.1.2 指数函数及其性质

情境导入
? 细胞分裂时,第一次有一个分裂成2个, 第二次由2个分裂成4个。。如此下去, 如果分裂了x次得到y个细胞。那么细胞 个数y与分裂次数x的关系是什么?

分裂 次数
一 个 细 胞

X

第 一 次

第 二 次

第 三 次

第 x 次

关系式

y?2

x

细胞 总数

Y

2

2

2

2

3

2

x

《庄子· 天下》
? 一尺之棰,日取其半,万世不竭。
设第x天木棒的长度y, 则y与x的关系是
第 一 天 第 二 天 第 三 天 第 四 天

?1? y?? ? ?2?

x

第 x 天

1 ? 1 ?2 ? ? 2 ?2?

?1? ? ? ?2?

3

?1? ? ? ?2?

4

?1? ? ? ?2?

x

四个函数有什么共同特征
1
y?2
x
x

x ? ?*
x ? ?*
x

2

?1? y ?? ? ?2?

3
4

y ? 1.073
?1? p?? ? ?2?
t 5730

x ? ?*,且x ? 20

t?0

定义
一般地,函数y ? a ?a ? 0且a ? 1?叫做指数函数,
x

其中x是自变量

思考
? 为什么规定a>0且a≠1 ? ?当a=0时,若x>0时,y恒为0 若x≤0时,y没有意义 ? ?当a<0时,取一个特殊值-2,当x=1/2时 1 ?- 2?2 ? - 2 在R上没有意义 ? ?当a=1时,y的值恒为1,没有研究的必要

在规定了a的取值范围后,我们可以看到当自变量x取任意 实数时, ? a x 都是有意义的,因此指数函数的定义域是 y 全体实数集R 用区间表示为 ?- ?, ? ? ?

练习
? 判断下列函数是否为指数函数

y ? ?2 x ?
y ? 4 ? 2x ?

⑤ ⑥ ⑦ ⑧

y ? ?a ? 1?

x

y ?? y?x

x 2



? y ? ?? 2?


x

y?x

x

y ? 3x ? 2

如何判断一个函数是否为指数 函数?
? 指数函数的特点是 ? (1)y=a ? 的形式 ? (2)底数a>0且a≠1

0

1

图象与性质
? 在坐标系中做出函数 y ? 2 象。并观察这两个函数有什么样的性质
x

?1? y ? ? ? 的图 与函数 ?2?

x

x

-2
x

-1.5

-1 -0.5
0.5 2 0.707 1.414

0

0.5

1 1.5
2

2

y??

y?2

0.25 0.354 4 2.828

1 1.414 1

2.828 4

1 x 2

?

0.707 0.5 0.354 0.25

y

?1? y?? ? ?2?

x

6 5 4 3

y ? 2x

2
1 -2 -1.5 -1 -0.5 O 0.5 1 1.5 2 x

你能把这个表填充完整吗
Y=2 ? 定义域 值域 单调性 R Y=(? ) ?

(0,+∞) 增函数 减函数 非奇非偶
(0,1)

奇偶性
定点

几何画板的妙用
? 指数函数的图象特征:
? 1、当a>1时,函数的图象从左向右是逐渐上升的;a 越大,函数图象越靠近y轴;图象在第Ⅰ象限内纵坐标 的值大于1,在第Ⅱ象限内纵坐标的值小于1,大于0. ? 2、当0<a<1时,函数的图象从左向右逐渐下降;a越 小,函数的图象越靠近y轴;图象在第Ⅰ象限内纵坐标 的值小于1,大于0,在第Ⅱ象限内纵坐标的值大于1.
? 指数函数的图象在第Ⅰ象限内沿着顺时针方向,底数 a的值逐渐减小

探究
用表格形式把指数函数y=a ? ,当a>1和 当0<a<1时的图象特征及函数性质比较 出来

指数函数的性质
Y=a ? 图象 a>1
y
1 O

0<a<1
y
1 O

x

x

定义域

值域
定点 单调性

R (0,+∞) (0,1) 增函数 减函数

奇偶性

非奇非偶

应用举例
? 例6.已知指数函数f(x)=a ? (a>0,且a≠1)的图象经过点 (3,л),求f(0),f(1),f(-3)的值 ? 分析:要求f(0),f(1),f(-3)的值,我们需要先求出指 数函数f(x)=a ? 的解析式,即要先求出a的值 ? 解:因为f(x)=a ?的图象经过点(3,л),所以f(3)= л 1 ? 即a? = л,解得

a ?? 3

于是 所以

f ( x) ? ?
0

x 3

f (0) ? ? ? 1
f (?3) ? ?
?1

f (1) ? ? ? 3 ?
1 3

?

1

?

探究
? 1、已知关于x的函数y=(a? -3a+3)a ? 是指数函数, 求a的取值

a=2

? 2、讨论函数y ? a 过哪个定点

x ?b

? c ,( a ? 0, 且a ? 1 )

(b,c)

探究
? 3、若函数f(x)=a ? -1 (a>0,且a≠1)的定义域和 值域都是[0,2],求实数a的值

a? 3

? 4、若a>b>0,c>0,则比较大小

a

c

>

b

c

小结
1、指数函数概念: 函数y = ax (a?0,且a ?1)叫做指数函数,

其中x是自变量 .函数的定义域是R .
2、指数函数的性质:
(1)定义域:R ; 值 域:[0, ?) ? (2)函数的特殊值:

(0, 1) 时,单调增 (3)函数的单调性:a ? 1
0 ? a ? 1时,单调减

课后探究
? 1、设0≤x≤2,求函数 y ? 4 的最大值和最小值
x? 1 2

a2 ? a ? 2x ? ?1 2

2、求下列函数的单调区间

y?3

x2 ?2 x?7
x x

y ? 12 ? 2 ? 4


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