2014年浦东新区高三数学一模试卷及参考答案(理科)

浦东新区 2014 学年度第一学期期末质量测试

高三数学（理科）试卷
一、填空题： （本大题共有 14 题，满分 56 分）
n2 ? 1 ? 1、 lim 2 n ?? 2n ? n

2、不等式

x ? 0 的解是 1? x

3、已知数列 ?an ? 中， a1 ? 1 ， an ? an?1 ? 3 ， （ n ? 2, n ? N * ） ，则 an ? 4、已知 tan ? 、 tan ? 是方程 x 2 ? 6 x ? 7 ? 0 的两根，则 tan(? ? ? ) ? 5、甲校有 3600 名学生，乙校有 5400 名学生，丙校有 1800 名学生，为统计三校学生某方面的情况， 计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为 90 人的样本，则应在甲校抽取的学生数是 6、已知函数 f ( x) ?

1 ?1 2 4
x x

的反函数为 f ?1 ( x) ，则 f ?1 (12) ?

7、已知复数 z1 ? 2 ? i ， z2 ? a ? 3 i （ a ? R ） ， z1 ? z2 是实数，则 z1 ? z2 ?
1 8、二项式 ( x 2 ? )9 的展开式中，含 x 3 的项的系数是 x

9、在锐角 ?ABC 中， AC ? 4 ， BC ? 3 ，三角形的面积等于 3 3 ，则 AB 的长为 10、已知圆锥的底面半径为 3 ，体积是 12? ，则圆锥的侧面积等于 11、某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为社区志愿者，若用随机变量 ? 表示选出的志愿 者中女生的人数，则随机变量 ? 的数学期望 E? ? （结果用最简分数表示）.

12、函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3 ，若 f ( x) ? a ? 2 恒成立的充分条件是 1 ? x ? 2 ，则实数 a 的取值范围是 13、用 S 表示集合 S 中的元素的个数，设 A 、 B 、 C 为集合，称 ( A, B, C ) 为有序三元组.
C 满足 A ? B ? B ? C ? C ? A ? 1， B C ? 如果集合 A 、 且 A? B、

??， 则称有序三元组 ( A, B, C )

为最小相交. 由集合 ?1, 2,3, 4? 的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数 为 14、 已知函数 y ? f ( x) （ x ? N*, y ? N*） ， 对任意 n ? N * 都有 f [ f (n)] ? 3n ， 且 f ( x) 是增函数， 则 f (3) ?

二、选择题： （本大题共有 4 题，满分 20 分） 15、设 a 、 b ? R ，则下列不等式一定成立的是（ （A） a 2 ? b 2 （B）
1 1 ? a b

） （D） 2 a ? 2b

（C） a2 ? ab ） （C） 4

16、方程 log5 x ? sin x 的解的个数为（ （A） 1 17、已知函数 f ( x) ? （B） 3
x2 ，则 x2 ? 1

（D） 5

1 1 1 1 1 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2013) ? f (2014) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( )? f ( ) ? （A） 2010 2 2 3 2013 2014 1 1 1 （B） 2011 （C） 2012 （D） 2013 2 2 2

18、如图所示，点 A 、 B 、 C 是圆 O 上的三点，线段 OC 与线段 AB 交于圆内一点，若 ，则（ （A） 0 ? m ? n ? 1 （C） m ? n ? ?1 ）

（B） m ? n ? 1 （D） ?1 ? m ? n ? 0

三、解答题： （本大题共有 5 题，满分 74 分） 19、 （本题满分 12 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 6 分） 如图，四棱锥 S ? ABCD 的底面是正方形， SD ? 平面 ABCD ， SD ? AD ? 2 , （1）求证： AC ? SB ； （2）求二面角 C ? SA ? D 的大小.

20、 （本题满分 14 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分）

噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题. 实践证明，声音强度 D （分贝）由公 式 D ? a lg I ? b （ a 、 b 为非零常数）给出，其中 I （ W / cm2 ）为声音能量. （1）当声音强度 D1 、 D2 、 D3 满足 D1 ? 2D2 ? 3D3 时，求对应的声音能量 I1 、 I 2 、 I 3 满足的等量关 系式； （2）当人们低声说话，声音能量为 10?13W / cm2 时，声音强度为 30 分贝；当人们正常说话，声音能 量为 10?12W / cm2 时， 声音强度为 40 分贝. 当声音强度大于 60 分贝时属于噪音， 一般人在 100 分贝～
120 分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪. 问声音能量在什么范围内时，人会暂时性失聪.

21、 （本题满分 14 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分） 如图，设 A(
3 1 , ) 是单位圆上一点，一个动点从点 A 出发，沿圆周 2 2

按逆时针方向匀速旋转， 12 秒旋转了一周. 2 秒时，动点到达点 B ，

t 秒时动点到达点 P . 设 P ( x, y ) ，其纵坐标满足 y ? f (t ) ? sin(? x ? ? )
（?

?
2

?? ?

?
2

） ，

（1）求点 B 的坐标，并求 f (t ) ； （2）若 0 ? t ? 6 ，求 的取值范围.

22、 （本题满分 16 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分）

已知 a 为实数，函数 f ( x) ?

1 ? x2 1 ? x2 . ?a 1 ? x2 1 ? x2

（1）当 a ? 1 时，求 f ( x) 的最小值； （2）当 a ? 1 时，判断 f ( x) 的单调性，并说明理由； （3） 求实数 a 的范围， 使得对于区间 [?
f (t ) 为边长的三角形.

2 5 2 5 都存在以 f (r ) 、f ( s ) 、 , ] 上的任意三个实数 r 、 s、 t， 5 5

23、 （本题满分 18 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 8 分） 设项数均为 k （ k ? 2, k ? N * ）的数列 ?an ? 、 ?bn ? 、 ?cn ? 前 n 项的和分别为 Sn 、 Tn 、 U n . 已知集合 （1）已知 U n ? 2n ? 2n ，求数列 ?cn ? 的通项公式； （2）若 Sn ? Tn ? 2n ? 2n （ 1 ? n ? k , n ? N * ） ，试研 究 k ? 4 和 k ? 6 时是否存在符合条件的数列对 ??an ? ,?bn ?? ，并说明理由； （3）若 an ? bn ? 2n （ 1 ? n ? k , n ? N * ） ，对于固定的 k ，求证：符合条件的数列对

??a ?,?b ?? 有偶数对.
n n

浦东新区 2013 学年度第一学期期末质量测试

高三数学（理科）试卷参考答案
一、填空题 1.

1 2

2. 0 ? x ? 1 （或 (0,1) ） 8． -126 9.

3. 3n ? 2

4. 1

5. 30

6. log2 3

7. 4 2 11. （理）

13

10. 15? 14.6

4 7

12. 1＜ a ＜4

13. 96

二、选择题 15. D 16. B 17. D 18. B

三、解答题 19.解:（1）连接 BD，∵ SD ⊥平面 ABCD

AC ? 平面 ABCD
∴AC⊥SD ………………4 分

又四边形 ABCD 是正方形，∴AC⊥BD ∴AC ⊥平面 SBD ∴AC⊥SB. ………………6 分

（2）设 SA 的中点为 E ，连接 DE 、 CE ， ∵SD=AD,CS=CA, ∴DE⊥SA, CE⊥SA. ∴ ?CED 是二面角 C ? SA ? D 的平面角. …………9 分 计算得：DE＝ 2 ，CE＝ 6 ，CD＝2，则 CD⊥DE.

cos ?CED ?

3 3 , ?CED ? arccos 3 3

所以所求二面角的大小为 arccos 20.解： （1）? D1 ? 2D2 ? 3D3

3 .………12 分 3

? a lg I1 ? b ? 2(a lg I 2 ? b) ? 3(a lg I 3 ? b) ? lg I1 ? 2 lg I 2 ? 3 lg I 3

…………………………2 分

………………………………………………4 分 …………………………………………………6 分 ………………………………………8 分

? I1 ? I 2 ? I 3
（2）由题意得 ?

2

3

?? 13a ? b ? 30 ?? 12a ? b ? 40

?a ? 10 ? ?b ? 160

………………………………………10 分

? 100 ? 10lg I ? 160 ? 120
10?6 ? I ? 10?4
………………………………………………………13 分

答：当声音能量 I ? (10?6 ,10?4 ) 时，人会暂时性失聪. ………………………………14 分 21、解: (1)当 t ? 2 时， ?AOB ? 2 ? 所以 ?XOB ?

?
2

2? ? ? ， 12 3

所以，点 B 的坐标是（0，1） ……………………………………………………2 分 又 t 秒时， ?XOP ?

?
6

?

?
6

t

………………………………………………………4 分

?? ?? ? y ? sin ? t ? ? , (t ? 0) . …………………………………………………………6 分 6? ?6
（2）由 A ?

??? ? ? ? 3 1? 3 1? , ， B(0,1) ，得 AB ? ? ? ? ? 2 2? ? 2 ,2? ?， ? ? ? ?

又 P ? cos ?

? ?

?? ? ?? ?? ?? t ? ? ,sin ? t ? ? ? ， 6? 6 ?? ?6 ?6

??? ? ? ?? 3 ? ? 1? ?? ?? ? AP ? ? cos t ? ? ,sin t ? ? ? ? ?? ? ? ? ，…………………………8 分 6 6 2 6 6 2 ? ? ? ? ? ?

??? ? ??? ? 3 3 ? ? 1 1 ?? ? ? ?? ? AP ? AB ? ? cos ? t ? ? ? ? sin ? t ? ? 4 2 6? 4 2 ?6 6? ?6
? 1 ? ?? 1 ?? ?? ?? ? sin ? t ? ? ? ? ? sin ? t ? ? ………………………………10 分 2 6 3? 2 6? ?6 ?6

? ? ? ? 5? ? ?? ? 1 ? ?? ? 0 ? t ? 6 ，? t ? ? ? ? , ? ，?sin ? t ? ? ? ?? ,1? …………12 分 6 6 ? 6 6 ? 6? ? 2 ? ?6
所以， AP ? AB 的取值范围是 ?0, ? 2

??? ? ??? ?

? 3? ? ?

………………………………14 分

22、解：易知 f ( x ) 的定义域为 (?1,1) ，且 f ( x ) 为偶函数. （1） a ? 1 时, f ? x ? ?

1 ? x2 1 ? x2 2 ………………………2 分 ? ? 2 2 1? x 1? x 1 ? x4
1 ? x2 1 ? x2 最小值为 2. ? 1 ? x2 1 ? x2
………………………4 分

x ? 0 时 f ? x? ?

（2） a ? 1 时, f ? x ? ?

1 ? x2 1 ? x2 2 ? ? 2 2 1? x 1? x 1 ? x4

x ??0,1? 时，

f ? x ? 递增；

x ? ? ?1,0? 时， f ? x ? 递减； ………………………6 分

f ( x) 为偶函数.所以只对 x ??0,1? 时，说明 f ? x ? 递增.
设 0 ? x1 ? x2 ? 1 ，所以 1 ? x1 ? 1 ? x2 ? 0 ，得
4 4

1 1? x
4 1

?

1
4 1 ? x2

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?

1 1 ? x14

?

1
4 1 ? x2

?0

所以 x ??0,1? 时， （3） t ?

f ? x ? 递增； ……………………………………………10 分

? 2 5 2 5? a 1 1 1 ? x2 ? x ? , ， ?? ? ,? t ? [ ,1] ，? y ? t ? ( ? t ? 1) 2 t 3 5 ? 3 1? x ? 5
1 3

从而原问题等价于求实数 a 的范围，使得在区间 [ ,1] 上， 恒有 2 ymin ? ymax . ①当 0 ? a ? ……………………………………………………………11 分

1 a 1 时， y ? t ? 在 [ ,1] 上单调递增， 3 9 t 1 1 ? ymin ? 3a ? , ymax ? a ? 1, 由 2 ymin ? ymax 得 a ? ， 15 3 1 1 ? a ? ； …………………………………………………………………12 分 从而 15 9 1 1 a 1 ②当 ? a ? 时， y ? t ? 在 [ , a ] 上单调递减，在 [ a ,1] 上单调递增， 9 3 t 3 1 ? ymin ? 2 a , ymax ? max{3a ? , a ? 1} ? a ? 1 ， 3 1 1 由 2 ymin ? ymax 得 7 ? 4 3 ? a ? 7 ? 4 3 ，从而 ? a ? ；……………………13 分 9 3 1 a 1 ③当 ? a ? 1 时， y ? t ? 在 [ , a ] 上单调递减，在 [ a ,1] 上单调递增， 3 t 3 1 1 ? ymin ? 2 a , ymax ? max{3a ? , a ? 1} ? 3a ? ， 3 3
由 2 ymin ? ymax 得 ④当 a ? 1 时， y ? t ?

1 7?4 3 7?4 3 ?a? ，从而 ? a ? 1 ； …………………14 分 3 9 9

a 1 在 [ ,1] 上单调递减， 3 t 1 ? ymin ? a ? 1, ymax ? 3a ? , 3 5 5 由 2 ymin ? ymax 得 a ? ，从而 1 ? a ? ；……………………………………………15 分 3 3

综上，

1 5 ? a ? . …………………………………………………………………16 分 15 3

23、解： （1） n ? 1 时， c1 ? U1 ? 4

n ? 2 时， cn ? Un ? Un ?1 ? 2n ? 2n ? 2(n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 ? 2n ?1 ， c1 ? 4 不适合该式
故， cn ? ?

?4, n ? 1
n ?1 ?2 ? 2 , 2 ? n ? k

…………………………………………………………4 分

（2） a1 ? b1 ? S1 ? T1 ? 4 ，

n ? 2 时， an ? bn ? (Sn ? Sn?1 ) ? (Tn ? Tn?1 ) ? (Sn ? Tn ) ? (Sn?1 ? Tn?1 )

? 2n ? 2n ? 2(n ?1) ? 2n?1 ? 2 ? 2n?1

……………………6 分

当 k ? 4 时， a1 ? b1 ? 4 ， a2 ? b2 ? 4 ， a3 ? b3 ? 6 ， a4 ? b4 ? 10

{a1 , a2 , a3 , a4 , b1, b2 , b3 , b4} = {2, 4, 6, 8,10,12,14,16}
数列 {an } 、 {bn } 可以为（不唯一） ： ① 6,12,16,14；2,8,10,4 ② 16,10,8,14；12,6,2,4 …………………8 分

当 k ? 6 时， ak ? bk ? 2 ? 2k ?1 ? 2 ? 2k ?1 ? 2 ? (1 ? 1)k ?1
1 2 k ?2 k ?1 ? 2 ? Ck0?1 ? Ck ?1 ? Ck ?1 ? ?? Ck ?1 ? Ck ?1 1 2 2 ? 2 ? 2(Ck0?1 ? Ck ?1 ? Ck ?1 ) ? k ? k ? 4 ? (k ? 1)(k ? 4) ? 4k ? 4k

此时 ak 不存在. 故数列对（ {an } ， {bn } ）不存在.

………………………………10 分

另证： ak ? bk ? 2 ? 2k ?1 ? 2 ? 2k ?1 ? 4k ? 2k ? 8k ? 4
0 1 1 当 k ? 6 时， 2k ? Ck ? Ck ? Ck2 ??? Ckk ?1 ? Ckk ? 2(Ck0 ? Ck ? Ck2 ) ? k 2 ? k ? 2 ? 8k ? 4

（3）令 dn ? 4k ? 2 ? bn ， en ? 4k ? 2 ? an （ 1 ? n ? k , n ? N ）
*

…………………12 分

dn ? en ? (4k ? 2 ? bn ) ? (4k ? 2 ? an ) ? an ? bn ? 2n
又 = ，得

= {2, 4, 6, ?, 4k} 所以，数列对（ {an } ， {bn } ）与（ {d n } ， {en } ）成对出现。 ……………………16 分 假设数列 {an } 与 {d n } 相同，则由 d2 ? 4k ? 2 ? b2 ? a2 及 a2 ? b2 ? 4 ，得 a2 ? 2k ? 3 ， b2 ? 2k ? 1，均为 奇数，矛盾！ 故，符合条件的数列对（ {an } ， {bn } ）有偶数对。 ……………………18 分