浦东新区 2014 学年度第一学期期末质量测试
高三数学(理科)试卷
一、填空题: (本大题共有 14 题,满分 56 分)
n2 ? 1 ? 1、 lim 2 n ?? 2n ? n
2、不等式
x ? 0 的解是 1? x
3、已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ? an?1 ? 3 , ( n ? 2, n ? N * ) ,则 an ? 4、已知 tan ? 、 tan ? 是方程 x 2 ? 6 x ? 7 ? 0 的两根,则 tan(? ? ? ) ? 5、甲校有 3600 名学生,乙校有 5400 名学生,丙校有 1800 名学生,为统计三校学生某方面的情况, 计划采用分层抽样法,抽取一个样本容量为 90 人的样本,则应在甲校抽取的学生数是 6、已知函数 f ( x) ?
1 ?1 2 4
x x
的反函数为 f ?1 ( x) ,则 f ?1 (12) ?
7、已知复数 z1 ? 2 ? i , z2 ? a ? 3 i ( a ? R ) , z1 ? z2 是实数,则 z1 ? z2 ?
1 8、二项式 ( x 2 ? )9 的展开式中,含 x 3 的项的系数是 x
9、在锐角 ?ABC 中, AC ? 4 , BC ? 3 ,三角形的面积等于 3 3 ,则 AB 的长为 10、已知圆锥的底面半径为 3 ,体积是 12? ,则圆锥的侧面积等于 11、某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为社区志愿者,若用随机变量 ? 表示选出的志愿 者中女生的人数,则随机变量 ? 的数学期望 E? ? (结果用最简分数表示).
12、函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3 ,若 f ( x) ? a ? 2 恒成立的充分条件是 1 ? x ? 2 ,则实数 a 的取值范围是 13、用 S 表示集合 S 中的元素的个数,设 A 、 B 、 C 为集合,称 ( A, B, C ) 为有序三元组.
C 满足 A ? B ? B ? C ? C ? A ? 1, B C ? 如果集合 A 、 且 A? B、
??, 则称有序三元组 ( A, B, C )
为最小相交. 由集合 ?1, 2,3, 4? 的子集构成的所有有序三元组中,最小相交的有序三元组的个数 为 14、 已知函数 y ? f ( x) ( x ? N*, y ? N*) , 对任意 n ? N * 都有 f [ f (n)] ? 3n , 且 f ( x) 是增函数, 则 f (3) ?
二、选择题: (本大题共有 4 题,满分 20 分) 15、设 a 、 b ? R ,则下列不等式一定成立的是( (A) a 2 ? b 2 (B)
1 1 ? a b
) (D) 2 a ? 2b
(C) a2 ? ab ) (C) 4
16、方程 log5 x ? sin x 的解的个数为( (A) 1 17、已知函数 f ( x) ? (B) 3
x2 ,则 x2 ? 1
(D) 5
1 1 1 1 1 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2013) ? f (2014) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( )? f ( ) ? (A) 2010 2 2 3 2013 2014 1 1 1 (B) 2011 (C) 2012 (D) 2013 2 2 2
18、如图所示,点 A 、 B 、 C 是圆 O 上的三点,线段 OC 与线段 AB 交于圆内一点,若 ,则( (A) 0 ? m ? n ? 1 (C) m ? n ? ?1 )
(B) m ? n ? 1 (D) ?1 ? m ? n ? 0
三、解答题: (本大题共有 5 题,满分 74 分) 19、 (本题满分 12 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分) 如图,四棱锥 S ? ABCD 的底面是正方形, SD ? 平面 ABCD , SD ? AD ? 2 , (1)求证: AC ? SB ; (2)求二面角 C ? SA ? D 的大小.
20、 (本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分)
噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题. 实践证明,声音强度 D (分贝)由公 式 D ? a lg I ? b ( a 、 b 为非零常数)给出,其中 I ( W / cm2 )为声音能量. (1)当声音强度 D1 、 D2 、 D3 满足 D1 ? 2D2 ? 3D3 时,求对应的声音能量 I1 、 I 2 、 I 3 满足的等量关 系式; (2)当人们低声说话,声音能量为 10?13W / cm2 时,声音强度为 30 分贝;当人们正常说话,声音能 量为 10?12W / cm2 时, 声音强度为 40 分贝. 当声音强度大于 60 分贝时属于噪音, 一般人在 100 分贝~
120 分贝的空间内,一分钟就会暂时性失聪. 问声音能量在什么范围内时,人会暂时性失聪.
21、 (本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 如图,设 A(
3 1 , ) 是单位圆上一点,一个动点从点 A 出发,沿圆周 2 2
按逆时针方向匀速旋转, 12 秒旋转了一周. 2 秒时,动点到达点 B ,
t 秒时动点到达点 P . 设 P ( x, y ) ,其纵坐标满足 y ? f (t ) ? sin(? x ? ? )
(?
?
2
?? ?
?
2
) ,
(1)求点 B 的坐标,并求 f (t ) ; (2)若 0 ? t ? 6 ,求 的取值范围.
22、 (本题满分 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分)
已知 a 为实数,函数 f ( x) ?
1 ? x2 1 ? x2 . ?a 1 ? x2 1 ? x2
(1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 的最小值; (2)当 a ? 1 时,判断 f ( x) 的单调性,并说明理由; (3) 求实数 a 的范围, 使得对于区间 [?
f (t ) 为边长的三角形.
2 5 2 5 都存在以 f (r ) 、f ( s ) 、 , ] 上的任意三个实数 r 、 s、 t, 5 5
23、 (本题满分 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分) 设项数均为 k ( k ? 2, k ? N * )的数列 ?an ? 、 ?bn ? 、 ?cn ? 前 n 项的和分别为 Sn 、 Tn 、 U n . 已知集合 (1)已知 U n ? 2n ? 2n ,求数列 ?cn ? 的通项公式; (2)若 Sn ? Tn ? 2n ? 2n ( 1 ? n ? k , n ? N * ) ,试研 究 k ? 4 和 k ? 6 时是否存在符合条件的数列对 ??an ? ,?bn ?? ,并说明理由; (3)若 an ? bn ? 2n ( 1 ? n ? k , n ? N * ) ,对于固定的 k ,求证:符合条件的数列对
??a ?,?b ?? 有偶数对.
n n
浦东新区 2013 学年度第一学期期末质量测试
高三数学(理科)试卷参考答案
一、填空题 1.
1 2
2. 0 ? x ? 1 (或 (0,1) ) 8. -126 9.
3. 3n ? 2
4. 1
5. 30
6. log2 3
7. 4 2 11. (理)
13
10. 15? 14.6
4 7
12. 1< a <4
13. 96
二、选择题 15. D 16. B 17. D 18. B
三、解答题 19.解:(1)连接 BD,∵ SD ⊥平面 ABCD
AC ? 平面 ABCD
∴AC⊥SD ………………4 分
又四边形 ABCD 是正方形,∴AC⊥BD ∴AC ⊥平面 SBD ∴AC⊥SB. ………………6 分
(2)设 SA 的中点为 E ,连接 DE 、 CE , ∵SD=AD,CS=CA, ∴DE⊥SA, CE⊥SA. ∴ ?CED 是二面角 C ? SA ? D 的平面角. …………9 分 计算得:DE= 2 ,CE= 6 ,CD=2,则 CD⊥DE.
cos ?CED ?
3 3 , ?CED ? arccos 3 3
所以所求二面角的大小为 arccos 20.解: (1)? D1 ? 2D2 ? 3D3
3 .………12 分 3
? a lg I1 ? b ? 2(a lg I 2 ? b) ? 3(a lg I 3 ? b) ? lg I1 ? 2 lg I 2 ? 3 lg I 3
…………………………2 分
………………………………………………4 分 …………………………………………………6 分 ………………………………………8 分
? I1 ? I 2 ? I 3
(2)由题意得 ?
2
3
?? 13a ? b ? 30 ?? 12a ? b ? 40
?a ? 10 ? ?b ? 160
………………………………………10 分
? 100 ? 10lg I ? 160 ? 120
10?6 ? I ? 10?4
………………………………………………………13 分
答:当声音能量 I ? (10?6 ,10?4 ) 时,人会暂时性失聪. ………………………………14 分 21、解: (1)当 t ? 2 时, ?AOB ? 2 ? 所以 ?XOB ?
?
2
2? ? ? , 12 3
所以,点 B 的坐标是(0,1) ……………………………………………………2 分 又 t 秒时, ?XOP ?
?
6
?
?
6
t
………………………………………………………4 分
?? ?? ? y ? sin ? t ? ? , (t ? 0) . …………………………………………………………6 分 6? ?6
(2)由 A ?
??? ? ? ? 3 1? 3 1? , , B(0,1) ,得 AB ? ? ? ? ? 2 2? ? 2 ,2? ?, ? ? ? ?
又 P ? cos ?
? ?
?? ? ?? ?? ?? t ? ? ,sin ? t ? ? ? , 6? 6 ?? ?6 ?6
??? ? ? ?? 3 ? ? 1? ?? ?? ? AP ? ? cos t ? ? ,sin t ? ? ? ? ?? ? ? ? ,…………………………8 分 6 6 2 6 6 2 ? ? ? ? ? ?
??? ? ??? ? 3 3 ? ? 1 1 ?? ? ? ?? ? AP ? AB ? ? cos ? t ? ? ? ? sin ? t ? ? 4 2 6? 4 2 ?6 6? ?6
? 1 ? ?? 1 ?? ?? ?? ? sin ? t ? ? ? ? ? sin ? t ? ? ………………………………10 分 2 6 3? 2 6? ?6 ?6
? ? ? ? 5? ? ?? ? 1 ? ?? ? 0 ? t ? 6 ,? t ? ? ? ? , ? ,?sin ? t ? ? ? ?? ,1? …………12 分 6 6 ? 6 6 ? 6? ? 2 ? ?6
所以, AP ? AB 的取值范围是 ?0, ? 2
??? ? ??? ?
? 3? ? ?
………………………………14 分
22、解:易知 f ( x ) 的定义域为 (?1,1) ,且 f ( x ) 为偶函数. (1) a ? 1 时, f ? x ? ?
1 ? x2 1 ? x2 2 ………………………2 分 ? ? 2 2 1? x 1? x 1 ? x4
1 ? x2 1 ? x2 最小值为 2. ? 1 ? x2 1 ? x2
………………………4 分
x ? 0 时 f ? x? ?
(2) a ? 1 时, f ? x ? ?
1 ? x2 1 ? x2 2 ? ? 2 2 1? x 1? x 1 ? x4
x ??0,1? 时,
f ? x ? 递增;
x ? ? ?1,0? 时, f ? x ? 递减; ………………………6 分
f ( x) 为偶函数.所以只对 x ??0,1? 时,说明 f ? x ? 递增.
设 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,所以 1 ? x1 ? 1 ? x2 ? 0 ,得
4 4
1 1? x
4 1
?
1
4 1 ? x2
f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?
1 1 ? x14
?
1
4 1 ? x2
?0
所以 x ??0,1? 时, (3) t ?
f ? x ? 递增; ……………………………………………10 分
? 2 5 2 5? a 1 1 1 ? x2 ? x ? , , ?? ? ,? t ? [ ,1] ,? y ? t ? ( ? t ? 1) 2 t 3 5 ? 3 1? x ? 5
1 3
从而原问题等价于求实数 a 的范围,使得在区间 [ ,1] 上, 恒有 2 ymin ? ymax . ①当 0 ? a ? ……………………………………………………………11 分
1 a 1 时, y ? t ? 在 [ ,1] 上单调递增, 3 9 t 1 1 ? ymin ? 3a ? , ymax ? a ? 1, 由 2 ymin ? ymax 得 a ? , 15 3 1 1 ? a ? ; …………………………………………………………………12 分 从而 15 9 1 1 a 1 ②当 ? a ? 时, y ? t ? 在 [ , a ] 上单调递减,在 [ a ,1] 上单调递增, 9 3 t 3 1 ? ymin ? 2 a , ymax ? max{3a ? , a ? 1} ? a ? 1 , 3 1 1 由 2 ymin ? ymax 得 7 ? 4 3 ? a ? 7 ? 4 3 ,从而 ? a ? ;……………………13 分 9 3 1 a 1 ③当 ? a ? 1 时, y ? t ? 在 [ , a ] 上单调递减,在 [ a ,1] 上单调递增, 3 t 3 1 1 ? ymin ? 2 a , ymax ? max{3a ? , a ? 1} ? 3a ? , 3 3
由 2 ymin ? ymax 得 ④当 a ? 1 时, y ? t ?
1 7?4 3 7?4 3 ?a? ,从而 ? a ? 1 ; …………………14 分 3 9 9
a 1 在 [ ,1] 上单调递减, 3 t 1 ? ymin ? a ? 1, ymax ? 3a ? , 3 5 5 由 2 ymin ? ymax 得 a ? ,从而 1 ? a ? ;……………………………………………15 分 3 3
综上,
1 5 ? a ? . …………………………………………………………………16 分 15 3
23、解: (1) n ? 1 时, c1 ? U1 ? 4
n ? 2 时, cn ? Un ? Un ?1 ? 2n ? 2n ? 2(n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 ? 2n ?1 , c1 ? 4 不适合该式
故, cn ? ?
?4, n ? 1
n ?1 ?2 ? 2 , 2 ? n ? k
…………………………………………………………4 分
(2) a1 ? b1 ? S1 ? T1 ? 4 ,
n ? 2 时, an ? bn ? (Sn ? Sn?1 ) ? (Tn ? Tn?1 ) ? (Sn ? Tn ) ? (Sn?1 ? Tn?1 )
? 2n ? 2n ? 2(n ?1) ? 2n?1 ? 2 ? 2n?1
……………………6 分
当 k ? 4 时, a1 ? b1 ? 4 , a2 ? b2 ? 4 , a3 ? b3 ? 6 , a4 ? b4 ? 10
{a1 , a2 , a3 , a4 , b1, b2 , b3 , b4} = {2, 4, 6, 8,10,12,14,16}
数列 {an } 、 {bn } 可以为(不唯一) : ① 6,12,16,14;2,8,10,4 ② 16,10,8,14;12,6,2,4 …………………8 分
当 k ? 6 时, ak ? bk ? 2 ? 2k ?1 ? 2 ? 2k ?1 ? 2 ? (1 ? 1)k ?1
1 2 k ?2 k ?1 ? 2 ? Ck0?1 ? Ck ?1 ? Ck ?1 ? ?? Ck ?1 ? Ck ?1 1 2 2 ? 2 ? 2(Ck0?1 ? Ck ?1 ? Ck ?1 ) ? k ? k ? 4 ? (k ? 1)(k ? 4) ? 4k ? 4k
此时 ak 不存在. 故数列对( {an } , {bn } )不存在.
………………………………10 分
另证: ak ? bk ? 2 ? 2k ?1 ? 2 ? 2k ?1 ? 4k ? 2k ? 8k ? 4
0 1 1 当 k ? 6 时, 2k ? Ck ? Ck ? Ck2 ??? Ckk ?1 ? Ckk ? 2(Ck0 ? Ck ? Ck2 ) ? k 2 ? k ? 2 ? 8k ? 4
(3)令 dn ? 4k ? 2 ? bn , en ? 4k ? 2 ? an ( 1 ? n ? k , n ? N )
*
…………………12 分
dn ? en ? (4k ? 2 ? bn ) ? (4k ? 2 ? an ) ? an ? bn ? 2n
又 = ,得
= {2, 4, 6, ?, 4k} 所以,数列对( {an } , {bn } )与( {d n } , {en } )成对出现。 ……………………16 分 假设数列 {an } 与 {d n } 相同,则由 d2 ? 4k ? 2 ? b2 ? a2 及 a2 ? b2 ? 4 ,得 a2 ? 2k ? 3 , b2 ? 2k ? 1,均为 奇数,矛盾! 故,符合条件的数列对( {an } , {bn } )有偶数对。 ……………………18 分
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