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高二上学期期中考试 数学理科


哈尔滨市第六中学 2012-2013 学年度上学期期中考试 高二理科数学
考试时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题(本大题共 12 个小题,每个小题 5 分,共 60 分)
1.下列命题中,正确的个数有(
2



(1)抛物线 y ? 2x 的准线方程为

1 y?? ; 8

(2)双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的渐近线方程为 y ? ?2 x ; 4

(3)椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的长轴长为 2; 4

(4)双曲线 A. 1

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 的离心率与椭圆 ? ? 1 的离心率之积为 1. 9 7 16 7
B.2 C.3 D.4 )

2.若双曲线以 y ? ?2 x 为渐近线,且 A(1,0) 为一个顶点,则双曲线的方程为(

x2 ? y2 ? 1 A. 4
数为( )

x2 ?1 B. y ? 4
2

y2 ?1 C. x ? 4
2

y2 ? x2 ? 1 D. 4

3. 设 l , m, n 表示三条不同的直线,? , ? , ? 表示三个不同的平面,给出下列四个命题中真命题的个 ①若 l // ? , m // l , m ?

? ,则 ? ? ? ;

②若 m ? ? , m ? n ,则 n // ? ; ③若 m, n 为异面直线, m // ? , n // ? , m // ? , n // ? ,则 ? // ? ; ④若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ? A.1 B.2

?.
C. 3 D.4

4.已知 A1 , A2 分别是双曲线 E : 上的一

x2 y2 3 ? 2 ? 1 的左、右顶点, P 为直线 x ? c ( c 为半焦距) 2 2 a b

点, ?A2 PA1 是底角为 30? 的等腰三角形,则双曲线 E 的离心率为( A.

) D. 2

5 4

B.

4 3

C.

3 2

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5.直三棱柱 ABC ? 球的体积为( A. )

A1 B1C1 的底面是边长为 3 的正三角形,且侧棱长为 2,则这个三棱柱的外接

16?

4? 3

B.

4?

C.

32? 3

D.
P

6. 如图,三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC , ?ABC 是等边三角形,

C E

E 是 BC 中点,若 PA ? AB ,则异面直线 PE 与 AB 所成角的余弦值(
A.



3 7 14
2

B.

21 6

C.

5 10

D.

2 3

A

B

7.已知抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,过 F 且斜率为 1 的直线 l 与抛物线 C 相交于

A, B 两点,若线段 AB 的中点到抛物线 C 准线的距离为 4 ,则 p 的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4

8.一个几何体的正视图和俯视图如图所示,其中俯视图为边长为 2 3 的正三角形,且圆与三角形 内切,则该几何体侧视图的面积为( A. ) C.

4??

B. 4 3 ? ?

6 ? 3?

D.

6??

y2 ? 1 的右焦点, A(?2, 3 ) , P 是双曲线 9. 已知 F 是双曲线 x ? 8
2

右支上的动点,则 | PA | ? | PF | 的最小值为( A.2 ( ) B. 4

) C.6 D.8

10. 已知 M 是正四面体 ABCD 棱 AB 的中点, N 是棱 CD 的中点,则下列结论中,正确的个数有 (2) V A? MCD ? VB ? MCD ;

(1) MN ? AB ;

(3)平面 CDM ? 平面 ABN ; (4) CM 与 AN 是相交直线. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

11. 已知 A, B 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 长轴的两个端点, M , N 是椭圆上关于 x 轴对称 a 2 b2
3 , | k1 | ? | k 2 | 则 2

的两点, 直线 AM , BN 的斜率分别为 k1 , k 2 (k1k 2 ? 0) , 若椭圆的离心率为 的最小值为( )

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A. 1 D. 2

B. 2

C. 3

12. 设点 P 是椭圆

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与圆 x 2 ? y 2 ? 3b 2 的一个交点, F1 , F2 分别是椭圆 2 a b

的左、右焦点,且 | PF1

|? 3 | PF2 | ,则椭圆的离心率为( )

A.

10 4

B.

3 5

C.

7 4

D.

14 4

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在机读卡上相应的位置)
13. 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C 的中心为原点, 焦点 F1 , F2

x2 y2 在 x 轴上, 且椭圆 C 与椭圆 C1 : 过 ? ? 1 的离心率相同, F1 4 8
的直线交椭圆 C 于 A, B 两点,且 ?ABF2 的周长为 4 圆 C 的方程为 . .

2 ,那么椭

14.如图所示几何体的三视图,则该几何体的体积为

第 14 题图
15.抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l , M 是抛物线 C 上一动点, A(0, 3 ) ,
2

过 M 作 MN 垂直准线 l ,垂足为 N ,若 | MN | ? | MA | 的最小值为 2 ,则抛物线 C 的方程为

_______ .
16.已知点 P, A, B, C, D 都是直径为 3 的球 O 表面上的点,PA ? 平面 ABCD , 四边形 ABCD 是 正方形,若 PA ? 1 ,则几何体 P ?

ABCD 的体积为

.

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答时写出必要的文字说明和演算步骤)
17. (本小题满分 10 分) 如图, 四棱锥 P ? 其中 AB ? AD, CD ? AD ,CD ? (1)求证: BE // 平面 PAD ; (2)求异面直线 PD 与 BC 所成角的余弦值.
D

ABCD 的底面 ABCD 为直角梯形,PA ? 底面 ABCD
P E C

AD ? PA ? 2 AB ,E 是 PC 中点.

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A

B

18. (本小题满分 12 分)如图,三棱柱 ABC ?

A1 B1C1 中, ?CAA1 ? 60?, AA1 ? 2 AC ,
B B1

BC ? 平面 AA1C1C .
(1)证明: A1C (2)设 BC

? AB ;
A

C

C1 A1

? AC ? 2 ,求三棱锥 C ? A1 BC1 的体积.
2

19. (本小题满分 12 分)已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,过 F 且斜率为 3 直线与 抛物线在 x 轴上方的交点为 M ,过 M 作

y 轴的垂线,垂足为 N , O 为坐标原点,若四边形

OFMN 的面积为 4 3 .
(1)求抛物线的方程; (2)若 P, Q 是抛物线上异于原点 O 的两动点,且以线段 PQ 为直径的圆恒过原点 O ,求证:直 线 PQ 过定点,并指出定点坐标. 20. (本小题满分 12 分)如图,直四棱柱 ABCD ? 平面 A1 BC ? 平面 A1 ABB1 , AB ? (1)求证: BC (2)求直线

D1

C1

A1 B1C1 D1 中,

A1

B1

BC ? 2 , AA1 ? 2 2 .
D C

? 平面 A1 ABB1 ;
A

A1 B 与平面 A1 AC 成角的正弦值.

B

21. (本小题满分 12 分) 设过点 P ( x, y ) 的直线分别与 x 轴和 y 轴交于 A, B 两点, Q 与点 P 关 点 于 y 轴对称, O 为坐标原点,若 BP ? 3PA 且 OQ ? AB ? 4 . (1)求点 P 的轨迹 M 的方程; (2)过 F (2,0) 的直线与轨迹 M 交于 A, B 两点,求 FA ? FB 的取值范围.

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x2 y2 22. (本小题满分 12 分)已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点为 F1 , F2 ,且离心 a b
率为

3 . 2

(1)若过 F1 的直线交椭圆 E 于 P, Q 两点,且 PF1 ? 3F1Q ,求直线 PQ 的斜率; (2)若椭圆 E 过点 (0,1) ,且过 F1 作两条互相垂直的直线,它们分别交椭圆 E 于 A, C 和 B, D , 求四边形 ABCD 面积的最大值和最小值.

高二理科数学参考答案 1--5 BCBDC 6——10 ABDAC 11——12 AD 13.

x2 ? y 2 ? 1 ;14.4; 15. y 2 ? 4 x ; 2

16.

4 ; 3
P

17.解: (1)取 PD 中点 F ,连接 EF, AF ,证明 ABEF 为平行四边形即可;

(2)取 CD 中点 H ,连接 AH, PH , ?PHA 为所求,余弦值为 18.(1)证明略; (2)体积为

10 5
D

E C

4 3 ; 3

A

B

19.(1) y ? 4 x ; (2)恒过(4,0)
2

20.(1)略; (2)

6 6

21.(1)

x2 1 ? y2 ? 1; (2) ( ,1] 3 2
2; (2)最大值为 2 ,最小值为

22.(1) ?

32 ; 25

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