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2017_2018学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面_图文

2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平 面 考 纲 定 位 重 难 突 破 1.了解平面的概念及表示方法. 重点:1.用符号语言描述空间点、 2.理解平面的公理 1,公理 2,公理 直线、平面之间的位置关系. 3. 2.用三种语言描述三个公理及三个 3.会用符号语言准确表述几何对象 公理的应用. 的位置关系. 难点:1.平面的概念. 2.三个公理的应用. 01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升 课时作业 [自主梳理] 一、平面的概念及相关知识 概念 几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出 来的, 是无限延展 的 常常把水平的平面画成一个 平行四边形 ,并且其锐 画法 角画成 45° , 且横边长等于邻边长的 2倍 , 为了增强 立体感,被遮挡部分用 虚线 画出来 ①一个希腊字母:如 α、β、 γ 等; 表示 方法 ②两个大写英文字母: 表示平面的平行四边形 的相对的两个顶点; ③四个大写英文字母: 表示平面的平行四边形 的四个顶点 二、点、线、面之间的关系 1.直线在平面内的概念:如果直线 l 上的 就说直线 l 在平面 α 内,或者说平面 α 所有点 都在平面 α 内, 经过 直线 l. 2.一些文字语言、图形与数学符号的对应关系 文字语言表达 点 A 在直线 l 上 点 A 在直线 l 外 点 A 在平面 α 内 图形语言表达 数学符号表示 A∈l A?l A∈α 文字语言表达 点 A 在平面 α 外 直线 l 在平面 α 内 直线 l 在平面 α 外 直线 l,m 相交于点 A 平面 α、β 相交于直线 l 图形语言表达 数学符号表示 A?α l?α l?α l∩m=A α∩β=l 三、平面的基本性质 公理 内容 如果一条直线上的 公理 1 两点 在一个平面内, 图形 符号 A∈l,B∈l,且 A∈ α,B∈ α? l?α 那么这条直线在 此平面内 过 不在一条直线上的 公理 2 三点, 有且只有 一 个平面 A,B, C 三点不共 线?存在唯一的平 面 α 使 A,B,C∈ α 公理 内容 如果两个不重合的平 图形 符号 公理 3 面有一个公共点, 那么 它们有且只有一条过 该点的 公共直线 P∈ α,且 P∈β? α∩β=l,且P∈l [双基自测] 1.用符号表示“点 A 在直线 l 上,l 在平面 α 外”,正确的是( A. A∈l,l?α C. A?l,l?α B.A∈ l,l?α D. A?l,l?α ) 答案:B 2.已知直线 m?平面 α,P?m,Q∈m,则 ( A.P? α,Q∈α C.P? α,Q?α 答案:D B.P∈α,Q? α D.Q∈ α ) 3.根据图形,填入相应的符号:A________平面 ABC,A________平面 BCD,BD________平面 ABC,平面 ABC∩平面 ACD= ________. 答案:∈ ? ? AC 探究一 [典例 1] 平面的概念及三种语言的转换 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系. (1)点 P 与直线 AB; (2)点 C 与直线 AB; (3)点 M 与平面 AC; (4)点 A1 与平面 AC; (5)直线 AB 与直线 BC; (6)直线 AB 与平面 AC; (7)平面 A1B 与平面 AC. [解析] (1)点 P∈直线 AB. (2)点 C?直线 AB. (3)点 M∈平面 AC. (4)点 A1?平面 AC. (5)直线 AB∩直线 BC=点 B. (6)直线 AB?平面 AC. (7)平面 A1B∩平面 AC=直线 AB. (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平 面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用 符号语言表示. (2)要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用 “∈ ” 或 “?”,直线与平面的位置关系只能用“?”或 “?”. (3)由符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别. 1.完成下列各题: (1)将下列文字语言转化为符号语言: ①点 A 在平面 α 内,但不在平面 β 内; ②直线 a 经过平面 α 外一点 M; ③直线 l 在平面 α 内,又在平面 β 内(即平面 α 和平面 β 相交于直线 l); (2)将下列符号语言转化为图形语言: ①a? α,b∩α= A,A?a; ② α∩β= c,a?α,b? β,a∥ c,b∩c=P. 解析:(1)① A∈ α, A?β.② M∈ a, M?α.③ α∩β= l. (2)① ② 探究二 点线共面问题 [典例 2] 已知 a,b,c,d 是两两相交且不共点的四条直线.求证:直 线 a,b, c,d 共面. [证明] (1)无三线共点情况,如图所示.设 a∩d= M, b∩d= N, c∩d = P, a∩b= Q, a∩c= R, b∩c= S. ∵ a∩d= M,∴ a,d 可确定一个平面 α. ∵ N∈ d, Q∈ a,∴ N∈ α, Q∈ α,∴ NQ?α,即 b?α. 同理, c?α.∴ a, b, c, d 共面. (2)有三线共点的情况,如图所示.设 b,c,d 三线相交于点 K,与 a 分 别交于点 N, P, M,且 K?a. ∵ K?a,∴ K 和 a 确定一个平面,设为 β. 又∵ N∈ a,P∈ a,M∈ a,∴ NK?β,PK? β,MK?β,即 b? β,c? β, d? β,∴ a, b, c, d 共面. 由 (1)、 (2),知 a, b, c, d 共面. 证明点、线共面问题的理论依据: (1)先由部分点、线确定一个面,再证其余的点、线都在这个平面内,即 用 “纳入法”; (2)先由其中一部分点、线确定一个平面

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