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广东省东莞市南开实验学校2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试卷


南开实验学校 2015-2016 学年第一学期期中考试

高二数学(理科)
2015.10

本试卷共 2 面,21 小题,满分 150 分。考试用时 150 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹的 钢笔或签字笔将自己所在的学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写 在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信 息点涂黑; 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案。 答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各 题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的 答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4. 作答选做题时, 请先用 2B 铅笔填涂选做题题组号对应的信息点, 再作答。 漏涂、错涂、多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,收卷时只交答题卷。
一.选择题(在每个小题提供的四个选项中,有且仅有一个正确答案。每题 5 分,满分 60 分) 1.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到其一个焦点的距离为 3, 则点 P 到另一个焦点的距离为 ( 25 16 A.2 B.3 C.5 D.7 2.下列命题中正确的是 ( ) A.若 a,b,c 是等差数列,则 log2a,log2b,log2c 是等比数列 B.若 a,b,c 是等比数列,则 log2a,log2b,log2c 是等差数列 a b c C.若 a,b,c 是等差数列,则 2 ,2 ,2 是等比数列 a b c D.若 a,b,c 是等比数列,则 2 ,2 ,2 是等差数列



3.若 a,b,c 成等比数列,m 是 a,b 的等差中项,n 是 b,c 的等差中项,则 A.4 B.3 C.2 )

a c ? ?( m n
D.1



4.如果命题“非 p”与命题“p 或 q”都是真命题,那么( A.命题 p 与命题 q 的真值相同 C.命题 q 不一定是真命题 5. 过点 (3, ? 2) 且与 A.
2 2

B.命题 q 一定是真命题 D.命题 p 不一定是真命题 ) D.

x y ? ? 1 有相同焦点的椭圆方程是( 9 4
B.

x2 y 2 ? ?1 15 10

x2 y2 ? ?1 225 100

C.

x2 y 2 ? ?1 10 15

x2 y2 ? ?1 100 225

6. 下列函数中,最小值为 2 2 的是




1

A. y ? x ?
x

2 x
?x

B. y ? sin x ?

2 (0 ? x ? ? ) sin x

C. y ? e ? 2e

D. y ? log 2 x ? 2 log x 2

7.在 ?ABC 中, “ A ? 60 0 ”是“ sin A ? A.充分不必要条件 C.充要条件 8.若不等式 ax +bx+2>0 的解集是{x| - A.-10
2 2
2

3 ”的( 2



B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 1 < x < },则 a + b 的值为( 3 2
D.14



B.-14

C.10

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的半焦距为 c ,若直线 y ? 2 x 与椭圆一个交点的横坐标恰为 c , 2 a b 则椭圆的离心率为( )
9.椭圆 A.
2? 2 2

B.

2 2 ?1 2

C. 3 ? 1

D. 2 ? 1 ( )

10.直线 y = kx + 1 的倾斜角为钝角的一个必要非充分条件是 A.k<0
2

B.k<-1
2

C.k<1

D.k>-2

11..已知方程 ( x ? 2x ? m)( x ? 2x ? n ) ? 0 的四根组成首项为 等于( A )

1 的等差数列, 则m?n 4

1 2

B

3 4

C

1

D

3 8

12.给出平面区域如图所示,若使目标函数 z ? ax ? y (a ? 0) 取得最大值的最优解有无穷多 个,则 a 值为( )

A.

1 4

B.

3 5

C.

5 3

D.4

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13.命题“?x∈R,x≤1 或 x2>4”的否定为



3? x 14.不等式 ? 1 的解集为________. 2x ? 4
15. 椭圆

x2 ? y 2 ? 1上的点P与点Q(0,?2)的距离的最大值为 4

.

2

16. 在?ABC中 , C ? 60?, BC ? 1, AC ? AB ?

1 , 则AC的最小值是 ______ . 2

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(共 70 分). 17.(本小题满分 12 分) △ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a,b,c 成等比数列, cos B ?

3 . 4

1 1 的值; ? tan A tan C 3 (Ⅱ)设 BA ? BC ? , 求a ? c 的值。 2
(Ⅰ)求

18.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) = | 2 x ? 1| ? | 2 x ? a | , g ( x) = x ? 3 . (Ⅰ)当 a =2 时,求不等式 f ( x) < g ( x) 的解集; (Ⅱ)设 a >-1,且当 x ∈[ ?

a 1 , )时, f ( x) ≤ g ( x) ,求 a 的取值范围. 2 2

19.(本题满分12分) 某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱,已知生产甲种棉纱 1 吨需耗一级子棉 2 吨、二级子棉 1 吨; 生产乙种棉纱需耗一级子棉 1 吨、二级子棉 2 吨,每 1 吨甲种棉纱的利润是 600 元,每 1 吨乙种棉纱的利润是 900 元,工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超 过 300 吨、二级子棉不超过 250 吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨),能使利 润总额最大?

20.(本小题满分 12 分) 在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这 n +2 个数构成递增的等比数列,将这 n +2 个数的 乘积记作 Tn ,再令 an ? lg Tn , n ? 1 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? tan an ? tan an?1 , 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n .

21.(本小题满分 12 分) 已知中心是原点、焦点在 y 轴上的椭圆 C 长轴长为 4,且椭圆 过点 ,
3

(1)求此椭圆的方程; (2)过点 P 作倾斜角互补的两条直线 线 的斜率. 、 ,分别交椭圆 于 、 两点.求直

22.(本小题满分 12 分) 已知曲线 C:xy=1,过 C 上一点 An(xn,yn)作一斜率为 kn= —

1 的直线交曲线 C 于 xn ? 2
11 7

另一点 An+1(xn+1,yn+1),点列 An( n ? N * )的横坐标构成数列 ?x n ? ,其中 x1= (1) 求 xn 与 xn+1 的关系式; (2) 求证: ?

?

1 1? ? ? 是等比数列; ? xn ? 2 3 ?
2 3 n

(3) 求证: (-1)x1+(-1) x2+(-1) x3+??+(-1) xn<1(n ? N,n ? 1 )

4

高二理科数学试题答案 一、选择题 (1)D (2)C (3)C (4)B (5)A (6)C (7)B (8)B (9)D (10)C (11)A (12)D 二、填空题 (13) ?x∈R,x>1 且 x ≦4 (14) ? x | x ? 2,或x ?
2

? ?

2 21 7? ? (15) 3 3?

(16) 2 ? 3

三、解答题

17.解: (Ⅰ)由 cos B ?

3 3 7 , 得 sin B ? 1 ? ( ) 2 ? , 4 4 4
sin 2 B ? sin A sin C.

由 b2=ac 及正弦定理得 于是 1 ?
tan A

1 cos A cos C sin C cos A ? cos C sin A sin( A ? C ) ? ? ? ? tan C sin A sin C sin A sin C sin 2 B

?

sin B 1 4 ? ? 7. sin 2 B sin B 7

(Ⅱ)由 BA ? BC ?

3 3 3 得ca ? cos B ? ,由 cos B ? , 可得ca ? 2, 即b 2 ? 2. 2 2 4
得 a2+c2=b2+2ac·cosB=5.

由余弦定理 b2=a2+c2-2ac+cosB

(a ? c) 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? 5 ? 4 ? 9,

a?c ?3

18.当 a =-2 时,不等式 f ( x) < g ( x) 化为 | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 2 | ? x ? 3 ? 0 ,

1 ? x? ??5 x, 2 ? 1 ? ? x ?1, 设函数 y = | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 2 | ? x ? 3 , y = ? ? x ? 2, 2 ? ?3 x ? 6, x ? 1 ? ?
如图所示 从图像可知,当且仅当 x ? (0, 2) 时, y <0,∴原不等式解集是 {x | 0 ? x ? 2} . (Ⅱ)当 x ∈[ ?

其图像

a 1 , )时, f ( x) = 1 ? a ,不等式 f ( x) ≤ g ( x) 化为 1 ? a ? x ? 3 , 2 2

5

∴ x ? a ? 2 对 x ∈[ ?

4 a 1 a , )都成立,故 ? ? a ? 2 ,即 a ≤ , 3 2 2 2
4 ]. 3

∴ a 的取值范围为(-1,

19.分析:将已知数据列成下表:
y

消耗量 资源

产品

甲种棉纱 (1 吨) 2 1 600

乙种棉纱 (1 吨) 1 2 900

资源限额 (吨) 300 250
50

2x+y=300

一级子棉(吨) 二级子棉(吨) 利 润(元)

x+2y=250 50 x

解:设生产甲、乙两种棉纱分别为 x 吨、y 吨,利润总额为 z 元,

?2 x ? y ? 300 ? x ? 2 y ? 250 那么 ? ? ?x ? 0 ? ?y ? 0
z=600x+900y. 作出以上不等式组所表示的平面区域(如图),即可行域. 作直线 l:600x+900y=0,即直线 l:2x+3y=0,把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时,直 线经过可行域上的点 M,且与原点距离最大,此时 z=600x+900y 取最大值.解方程组

; ?2 x ? y ? 300   350 200 得 M 的坐标为 x= ≈117,y= ≈67. ? 3 3 ? x ? 2 y ? 250
答:应生产甲种棉纱 117 吨,乙种棉纱 67 吨,能使利润总额达到最大.

20.(Ⅰ)设这 n +2 个数构成的等比数列为 cn ,则 c1 ? 1, cn?2 ? 100 ,则

q n?1 ? 100 , q ? 100 n?1 ,又 Tn ? c1 ? c2 ? ? cn?2 ? 1 ? q ? q 2 ? ? q n?1 ? q
所以 an ? lg Tn ? lg q
( n ?1)( n ? 2 ) 2

1

( n ?1)( n ? 2 ) 2

? lg 100

n?2 2

? n ? 2, n ? 1.

(Ⅱ)由题意和(Ⅰ)中计算结果,知

bn ? tan(n ? 2) ? tan(n ? 3), n ? 1.
另一方面,利用

tan1 ? tan ? ( k ? 1) ? k ? ?

tan(k ? 1) ? tan k , 1 ? tan(k ? 1) ? tan k
6

得 所以

tan(k ? 1) ? tan k ?

tan(k ? 1) ? tan k ? 1. tan 1

S n ? ? bk ? ? tan(k ? 1) ? tan k
k ?1 k ?3

n

n?2

? tan(k ? 1) ? tan k ? ? ?? ? 1? tan1 ? k ?3 ? tan(n ? 3) ? tan 3 ? ? n. tan1
n?2

21.已知椭圆 ,分别交椭圆 【答案】 于 、

,过椭圆

上一点 的斜率为

作倾斜角互补的两条直线 .



两点.则直线

【解析】 试题分析:这题有一定的难度,考查的直线与圆锥曲线相交问题,考查同学们的计算打理能 力 , 当 然 在 解 题 时 注 意 过 程 的 简 捷 性 , 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) , 同 时 设 PA 的 方 程 为

y ? 2 ? k ( x ? 1) ,代入椭圆方程化简得:(k 2 ? 2) x 2 ? 2k (k ? 2) x ? k 2 ? 2 2k ? 2 ? 0 ,
显然 1 和 x1 是这个方程的两解,因此 x1 ?

k 2 ? 2 2k ? 2 ? 2k 2 ? 4k ? 2 2 , ,用 ? k y ? 1 k2 ? 2 k2 ? 2

y ? y1 k 2 ? 2 2k ? 2 ? 2k 2 ? 4k ? 2 2 代替 x1 , y1 中的 k , 得 x2 ? , y2 ? . 所以 2 ? 2. 2 2 k ?2 k ?2 x2 ? x1

22.解:

7

8


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