广东省东莞市南开实验学校2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试卷

南开实验学校 2015-2016 学年第一学期期中考试

高二数学（理科）
2015.10

本试卷共 2 面，21 小题，满分 150 分。考试用时 150 分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹的 钢笔或签字笔将自己所在的学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写 在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。 2． 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信 息点涂黑； 如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案。 答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各 题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的 答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4． 作答选做题时， 请先用 2B 铅笔填涂选做题题组号对应的信息点， 再作答。 漏涂、错涂、多涂的，答案无效。 5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，收卷时只交答题卷。
一．选择题（在每个小题提供的四个选项中，有且仅有一个正确答案。每题 5 分，满分 60 分） 1.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到其一个焦点的距离为 3， 则点 P 到另一个焦点的距离为 （ 25 16 A．2 B．3 C．5 D．7 2.下列命题中正确的是 （ ） A．若 a，b，c 是等差数列，则 log2a，log2b，log2c 是等比数列 B．若 a，b，c 是等比数列，则 log2a，log2b，log2c 是等差数列 a b c C．若 a，b，c 是等差数列，则 2 ，2 ，2 是等比数列 a b c D．若 a，b，c 是等比数列，则 2 ，2 ，2 是等差数列

）

3.若 a,b,c 成等比数列，m 是 a,b 的等差中项，n 是 b,c 的等差中项，则 A．4 B．3 C．2 ）

a c ? ?（ m n
D．1

）

4.如果命题“非 p”与命题“p 或 q”都是真命题，那么（ A．命题 p 与命题 q 的真值相同 C．命题 q 不一定是真命题 5. 过点 (3， ? 2) 且与 A．
2 2

B．命题 q 一定是真命题 D．命题 p 不一定是真命题 ） D．

x y ? ? 1 有相同焦点的椭圆方程是（ 9 4
B．

x2 y 2 ? ?1 15 10

x2 y2 ? ?1 225 100

C．

x2 y 2 ? ?1 10 15

x2 y2 ? ?1 100 225

6. 下列函数中，最小值为 2 2 的是

（

）
1

A． y ? x ?
x

2 x
?x

B． y ? sin x ?

2 (0 ? x ? ? ) sin x

C． y ? e ? 2e

D． y ? log 2 x ? 2 log x 2

7.在 ?ABC 中， “ A ? 60 0 ”是“ sin A ? A.充分不必要条件 C.充要条件 8.若不等式 ax +bx+2>0 的解集是{x| － A．-10
2 2
2

3 ”的（ 2

）

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 1 < x < }，则 a + b 的值为（ 3 2
D．14

）

B．-14

C．10

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的半焦距为 c ，若直线 y ? 2 x 与椭圆一个交点的横坐标恰为 c ， 2 a b 则椭圆的离心率为（ ）
9.椭圆 A．
2? 2 2

B．

2 2 ?1 2

C． 3 ? 1

D． 2 ? 1 （ ）

10.直线 y = kx + 1 的倾斜角为钝角的一个必要非充分条件是 A．k＜0
2

B．k＜－1
2

C．k＜1

D．k＞－2

11..已知方程 ( x ? 2x ? m)( x ? 2x ? n ) ? 0 的四根组成首项为 等于（ A ）

1 的等差数列， 则m?n 4

1 2

B

3 4

C

1

D

3 8

12.给出平面区域如图所示，若使目标函数 z ? ax ? y (a ? 0) 取得最大值的最优解有无穷多 个，则 a 值为( )

A．

1 4

B．

3 5

C．

5 3

D．4

二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13.命题“?x∈R，x≤1 或 x2>4”的否定为

．

3? x 14.不等式 ? 1 的解集为________. 2x ? 4
15. 椭圆

x2 ? y 2 ? 1上的点P与点Q(0,?2)的距离的最大值为 4

.

2

16. 在?ABC中 , C ? 60?, BC ? 1, AC ? AB ?

1 , 则AC的最小值是 ______ . 2

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共 70 分）. 17.（本小题满分 12 分） △ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a，b，c 成等比数列， cos B ?

3 ． 4

1 1 的值； ? tan A tan C 3 （Ⅱ）设 BA ? BC ? , 求a ? c 的值。 2
（Ⅰ）求

18.（本小题满分 10 分） 已知函数 f ( x) = | 2 x ? 1| ? | 2 x ? a | , g ( x) = x ? 3 . (Ⅰ)当 a =2 时,求不等式 f ( x) < g ( x) 的解集; (Ⅱ)设 a >-1,且当 x ∈[ ?

a 1 , )时, f ( x) ≤ g ( x) ,求 a 的取值范围. 2 2

19.(本题满分12分) 某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱 1 吨需耗一级子棉 2 吨、二级子棉 1 吨； 生产乙种棉纱需耗一级子棉 1 吨、二级子棉 2 吨，每 1 吨甲种棉纱的利润是 600 元，每 1 吨乙种棉纱的利润是 900 元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超 过 300 吨、二级子棉不超过 250 吨．甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利 润总额最大?

20.（本小题满分 12 分） 在数 1 和 100 之间插入 n 个实数，使得这 n +2 个数构成递增的等比数列，将这 n +2 个数的 乘积记作 Tn ，再令 an ? lg Tn ， n ? 1 （Ⅰ）求数列 ?an ? 的通项公式； （Ⅱ）设 bn ? tan an ? tan an?1 , 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n .

21.（本小题满分 12 分） 已知中心是原点、焦点在 y 轴上的椭圆 C 长轴长为 4，且椭圆 过点 ，
3

（1）求此椭圆的方程； （2）过点 P 作倾斜角互补的两条直线 线 的斜率. 、 ，分别交椭圆 于 、 两点.求直

22.（本小题满分 12 分） 已知曲线 C：xy=1，过 C 上一点 An(xn，yn)作一斜率为 kn= —

1 的直线交曲线 C 于 xn ? 2
11 7

另一点 An+1(xn+1，yn+1)，点列 An( n ? N * )的横坐标构成数列 ?x n ? ，其中 x1= (1) 求 xn 与 xn+1 的关系式； (2) 求证： ?

?

1 1? ? ? 是等比数列； ? xn ? 2 3 ?
2 3 n

(3) 求证： （-1）x1+(-1) x2+(-1) x3+??+(-1) xn<1(n ? N，n ? 1 )

4

高二理科数学试题答案 一、选择题 （1）D （2）C （3）C （4）B （5）A （6）C （7）B （8）B （9）D （10）C （11）A （12）D 二、填空题 （13） ?x∈R，x>1 且 x ≦4 （14） ? x | x ? 2，或x ?
2

? ?

2 21 7? ? （15） 3 3?

（16） 2 ? 3

三、解答题

17.解： （Ⅰ）由 cos B ?

3 3 7 , 得 sin B ? 1 ? ( ) 2 ? , 4 4 4
sin 2 B ? sin A sin C.

由 b2=ac 及正弦定理得 于是 1 ?
tan A

1 cos A cos C sin C cos A ? cos C sin A sin( A ? C ) ? ? ? ? tan C sin A sin C sin A sin C sin 2 B

?

sin B 1 4 ? ? 7. sin 2 B sin B 7

（Ⅱ）由 BA ? BC ?

3 3 3 得ca ? cos B ? ,由 cos B ? , 可得ca ? 2, 即b 2 ? 2. 2 2 4
得 a2+c2=b2+2ac·cosB=5.

由余弦定理 b2=a2+c2－2ac+cosB

(a ? c) 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? 5 ? 4 ? 9,

a?c ?3

18.当 a =-2 时,不等式 f ( x) < g ( x) 化为 | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 2 | ? x ? 3 ? 0 ,

1 ? x? ??5 x, 2 ? 1 ? ? x ?1, 设函数 y = | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 2 | ? x ? 3 , y = ? ? x ? 2, 2 ? ?3 x ? 6, x ? 1 ? ?
如图所示 从图像可知,当且仅当 x ? (0, 2) 时, y <0,∴原不等式解集是 {x | 0 ? x ? 2} . (Ⅱ)当 x ∈[ ?

其图像

a 1 , )时, f ( x) = 1 ? a ,不等式 f ( x) ≤ g ( x) 化为 1 ? a ? x ? 3 , 2 2

5

∴ x ? a ? 2 对 x ∈[ ?

4 a 1 a , )都成立,故 ? ? a ? 2 ,即 a ≤ , 3 2 2 2
4 ]. 3

∴ a 的取值范围为(-1,

19.分析：将已知数据列成下表：
y

消耗量 资源

产品

甲种棉纱 （1 吨） 2 1 600

乙种棉纱 （1 吨） 1 2 900

资源限额 （吨） 300 250
50

2x+y=300

一级子棉（吨） 二级子棉（吨） 利 润（元）

x+2y=250 50 x

解：设生产甲、乙两种棉纱分别为 x 吨、y 吨，利润总额为 z 元，

?2 x ? y ? 300 ? x ? 2 y ? 250 那么 ? ? ?x ? 0 ? ?y ? 0
z=600x+900y． 作出以上不等式组所表示的平面区域(如图)，即可行域． 作直线 l：600x+900y=0，即直线 l：2x+3y=0,把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时，直 线经过可行域上的点 M，且与原点距离最大，此时 z=600x+900y 取最大值．解方程组

; ?2 x ? y ? 300 　 350 200 得 M 的坐标为 x= ≈117，y= ≈67． ? 3 3 ? x ? 2 y ? 250
答：应生产甲种棉纱 117 吨，乙种棉纱 67 吨，能使利润总额达到最大．

20.（Ⅰ）设这 n +2 个数构成的等比数列为 cn ，则 c1 ? 1, cn?2 ? 100 ，则

q n?1 ? 100 ， q ? 100 n?1 ，又 Tn ? c1 ? c2 ? ? cn?2 ? 1 ? q ? q 2 ? ? q n?1 ? q
所以 an ? lg Tn ? lg q
( n ?1)( n ? 2 ) 2

1

( n ?1)( n ? 2 ) 2

? lg 100

n?2 2

? n ? 2, n ? 1.

（Ⅱ）由题意和（Ⅰ）中计算结果，知

bn ? tan(n ? 2) ? tan(n ? 3), n ? 1.
另一方面，利用

tan1 ? tan ? ( k ? 1) ? k ? ?

tan(k ? 1) ? tan k , 1 ? tan(k ? 1) ? tan k
6

得 所以

tan(k ? 1) ? tan k ?

tan(k ? 1) ? tan k ? 1. tan 1

S n ? ? bk ? ? tan(k ? 1) ? tan k
k ?1 k ?3

n

n?2

? tan(k ? 1) ? tan k ? ? ?? ? 1? tan1 ? k ?3 ? tan(n ? 3) ? tan 3 ? ? n. tan1
n?2

21．已知椭圆 ，分别交椭圆 【答案】 于 、

，过椭圆

上一点 的斜率为

作倾斜角互补的两条直线 .

、

两点.则直线

【解析】 试题分析：这题有一定的难度，考查的直线与圆锥曲线相交问题，考查同学们的计算打理能 力 ， 当 然 在 解 题 时 注 意 过 程 的 简 捷 性 ， 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ， 同 时 设 PA 的 方 程 为

y ? 2 ? k ( x ? 1) ，代入椭圆方程化简得：(k 2 ? 2) x 2 ? 2k (k ? 2) x ? k 2 ? 2 2k ? 2 ? 0 ，
显然 1 和 x1 是这个方程的两解，因此 x1 ?

k 2 ? 2 2k ? 2 ? 2k 2 ? 4k ? 2 2 ， ，用 ? k y ? 1 k2 ? 2 k2 ? 2

y ? y1 k 2 ? 2 2k ? 2 ? 2k 2 ? 4k ? 2 2 代替 x1 , y1 中的 k ， 得 x2 ? ， y2 ? ． 所以 2 ? 2． 2 2 k ?2 k ?2 x2 ? x1

22.解：

7

8